Doira geometriyaning asosiy figurasi bo'lib, uning xususiyatlari maktabda 8-sinfda ko'rib chiqiladi. Doira bilan bog'liq bo'lgan odatiy muammolardan biri uning aylana sektori deb ataladigan qismining maydonini topishdir. Maqolada sektorning maydoni va yoyi uzunligi uchun formulalar, shuningdek, ma'lum bir muammoni hal qilish uchun ulardan foydalanish misoli keltirilgan.
Doira va aylana tushunchasi
Doira sektorining maydoni formulasini berishdan oldin, ko'rsatilgan raqam nima ekanligini ko'rib chiqaylik. Matematik ta'rifga ko'ra, aylana deganda tekislikdagi shunday figura tushuniladi, uning barcha nuqtalari qaysidir bir nuqtadan (markazdan) teng masofada joylashgan.
Doirani ko'rib chiqishda quyidagi terminologiyadan foydalaniladi:
- Radius - markaziy nuqtadan aylananing egri chizig'igacha chizilgan segment. Odatda R harfi bilan belgilanadi.
- Diametr - aylananing ikkita nuqtasini bir-biriga bog'laydigan, lekin ayni paytda figuraning markazidan o'tuvchi segment. Odatda D harfi bilan belgilanadi.
- Ark egri doiraning bir qismidir. U uzunlik birliklarida yoki burchaklar yordamida o'lchanadi.
Doira geometriyaning yana bir muhim figurasi boʻlib, u egri doira bilan chegaralangan nuqtalar toʻplamidir.
Doira maydoni va atrofi
Element sarlavhasida qayd etilgan qiymatlar ikkita oddiy formula yordamida hisoblanadi. Ular quyida keltirilgan:
- Atrof: L=2piR.
- Doira maydoni: S=piR2.
Bu formulalarda pi - Pi deb ataladigan ba'zi doimiydir. Bu irratsionaldir, ya'ni uni oddiy kasr sifatida aniq ifodalab bo'lmaydi. Pi taxminan 3,1416.
Yuqoridagi ifodalardan koʻrinib turibdiki, maydon va uzunlikni hisoblash uchun faqat aylananing radiusini bilish kifoya.
Doira sektorining maydoni va yoyi uzunligi
Tegishli formulalarni koʻrib chiqishdan oldin geometriyadagi burchak odatda ikkita asosiy usulda ifodalanishini eslaymiz:
- kichik darajalarda va uning oʻqi atrofida toʻliq aylanish 360o;
- radianlarda, pi ning kasrlari sifatida ifodalangan va darajalar bilan quyidagi tenglama bilan bogʻlangan: 2pi=360o.
Doira sektori uchta chiziq bilan chegaralangan figuradir: aylana yoyi va bu yoyning uchlarida joylashgan ikkita radius. Quyidagi rasmda dumaloq sektorga misol keltirilgan.
Doira uchun sektor nima ekanligi haqida tasavvurga ega boʻlish juda osonuning maydoni va mos keladigan yoy uzunligini qanday hisoblashni tushunish. Yuqoridagi rasmdan sektor yoyi th burchakka mos kelishini ko'rish mumkin. Biz bilamizki, to‘liq aylana 2pi radianga to‘g‘ri keladi, shuning uchun aylana sektorining maydoni formulasi quyidagi shaklni oladi: S1=Sth/(2 pi)=piR 2th/(2pi)=thR2/2. Bu yerda th burchak radianlarda ifodalanadi. Sektor maydoni uchun shunga o'xshash formula, agar th burchagi darajalarda o'lchanadigan bo'lsa, quyidagicha ko'rinadi: S1=pithR2 /360.
Sektorni tashkil etuvchi yoyning uzunligi formula bilan hisoblanadi: L1=th2piR/(2pi)=thR. Va agar th darajalarda ma'lum bo'lsa, u holda: L1=pithR/180.
Muammo yechishga misol
Doira sektorining maydoni va yoyi uzunligi formulalaridan qanday foydalanishni koʻrsatish uchun oddiy masala misolidan foydalanamiz.
Ma'lumki, g'ildirakda 12 ta spiker bor. G'ildirak bir marta to'liq aylanishni amalga oshirganda, u 1,5 metr masofani bosib o'tadi. G'ildirakning ikkita qo'shni shpallari orasidagi maydon qancha va ular orasidagi yoy uzunligi qancha?
Tegishli formulalardan koʻrinib turibdiki, ulardan foydalanish uchun siz ikkita miqdorni bilishingiz kerak: aylananing radiusi va yoyning burchagi. Radiusni g'ildirakning aylanasini bilish orqali hisoblash mumkin, chunki uning bir aylanishda bosib o'tgan masofasi unga to'liq mos keladi. Bizda: 2Rpi=1,5, bu erda: R=1,5 / (2pi)=0,2387 metr. Eng yaqin spikerlar orasidagi burchak ularning sonini bilish orqali aniqlanishi mumkin. Agar barcha 12 ta burchak aylanani teng sektorlarga ajratsa, biz 12 ta bir xil sektorni olamiz. Shunga ko'ra, ikkita spiral orasidagi yoyning burchak o'lchami: th=2pi/12=pi/6=0,5236 radian.
Biz barcha kerakli qiymatlarni topdik, endi ularni formulalarga almashtirish va muammo sharti uchun talab qilinadigan qiymatlarni hisoblash mumkin. Biz quyidagilarni olamiz: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, yoki 149 sm2; L1=0,52360,2387=0,125 m yoki 12,5 sm.
