Tsilindr: yon sirt maydoni. Tsilindrning lateral yuzasi maydoni uchun formula

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-02 17:58

Stereometriyani o'rganayotganda asosiy mavzulardan biri "Silindr". Yon sirt maydoni, agar asosiy bo'lmasa, u holda geometrik muammolarni hal qilishda muhim formula hisoblanadi. Biroq, misollar bo'ylab harakatlanish va turli teoremalarni isbotlashda yordam beradigan ta'riflarni eslab qolish muhimdir.

Tsilindr tushunchasi

Avval biz bir nechta ta'riflarni ko'rib chiqishimiz kerak. Ularni o'rganib chiqqandan keyingina silindrning lateral yuzasining maydoni formulasi haqidagi savolni ko'rib chiqish mumkin. Ushbu yozuv asosida boshqa ifodalarni hisoblash mumkin.

• Tsilindrsimon sirt deganda generatrix tomonidan tasvirlangan, harakatlanuvchi va ma'lum yo'nalishga parallel bo'lib qolgan, mavjud egri chiziq bo'ylab sirpanadigan tekislik tushuniladi.
• Ikkinchi ta'rif ham bor: silindrsimon sirt berilgan egri chiziqni kesib o'tuvchi parallel chiziqlar to'plamidan hosil bo'ladi.
• Generativ shartli ravishda silindr balandligi deb ataladi. U asosning markazidan o'tadigan o'q atrofida harakat qilganda,belgilangan geometrik jism olinadi.
• Oq ostida deganda rasmning ikkala asosi orqali oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tushuniladi.
• Tsilindr kesishuvchi lateral sirt va ikkita parallel tekislik bilan chegaralangan stereometrik jismdir.

Ushbu uch oʻlchamli figuraning turlari mavjud:

1. Dira - yoʻn altiruvchisi aylana boʻlgan silindr. Uning asosiy komponentlari asosning radiusi va generatrixdir. Ikkinchisi raqam balandligiga teng.
2. Toʻgʻri silindr bor. U oʻz nomini generatrixning shakl asoslariga perpendikulyarligi tufayli oldi.
3. Uchinchi turdagi qiyshiq silindr. Darsliklarda siz uning boshqa nomini ham topishingiz mumkin - "cheklangan asosli dumaloq silindr". Bu raqam taglikning radiusini, minimal va maksimal balandliklarini belgilaydi.
4. Teng yonli silindr deganda dumaloq tekislikning balandligi va diametri teng boʻlgan jism tushuniladi.

Rimzlar

An'anaviy ravishda silindrning asosiy "komponentlari" quyidagicha nomlanadi:

• Asosiy radiusi R (bu stereometrik raqamning bir xil qiymatini ham almashtiradi).
• General – L.
• Balandligi – H.
• Asosiy maydon - S_{baza(boshqacha qilib aytganda, belgilangan doira parametrini topishingiz kerak).}
• Qiysimon silindr balandligi – h₁, h_{2(minimal va maksimal).}
• Yon yuzaning maydoni - S_{side (agar uni kengaytirsangiz, olasizto'rtburchaklar turi).}
• Steremetrik figuraning hajmi - V.
• Umumiy sirt maydoni – S.

Steremetrik figuraning “komponentlari”

Tsilindrni o'rganishda lateral sirt maydoni muhim rol o'ynaydi. Buning sababi, bu formula bir nechta boshqa, murakkabroq bo'lganlarga kiritilgan. Shuning uchun nazariyani yaxshi bilish kerak.

Raqamning asosiy komponentlari:

1. Yon yuza. Ma'lumki, u generatrixning berilgan egri chiziq bo'ylab harakatlanishi tufayli olinadi.
2. Toʻliq sirt mavjud taglik va yon tekislikni oʻz ichiga oladi.
3. Tsilindrning kesimi, qoida tariqasida, shaklning o'qiga parallel joylashgan to'rtburchakdir. Aks holda, u samolyot deb ataladi. Ma'lum bo'lishicha, uzunlik va kenglik boshqa raqamlarning yarim vaqtda komponentlari hisoblanadi. Shunday qilib, shartli ravishda, uchastkaning uzunligi generatorlardir. Kenglik - stereometrik figuraning parallel akkordlari.
4. Oksial qism samolyotning tananing markazi orqali joylashishini bildiradi.
5. Va nihoyat, yakuniy ta'rif. Tangens silindrning generatrixidan o'tadigan va eksenel kesimga to'g'ri burchak ostida o'tadigan tekislikdir. Bunday holda, bitta shart bajarilishi kerak. Belgilangan generatrix eksenel qism tekisligiga kiritilishi kerak.

Tsilindr bilan ishlashning asosiy formulalari

Tsilindrning sirt maydonini qanday topish mumkinligi haqidagi savolga javob berish uchun stereometrik figuraning asosiy "komponentlari" va ularni topish formulalarini o'rganish kerak.

Bu formulalar avval qiyshiq silindr uchun, soʻngra toʻgʻrisi uchun iboralar berilganligi bilan farqlanadi.

Dekonstruksiyasiz misollar

1-topshiriq.

Tsilindrning lateral yuzasi maydonini bilish kerak. AC=8 sm kesmaning diagonali berilgan (bundan tashqari, u ekseneldir). Generator bilan aloqa qilganda, _{<ACD=30° chiqadi.}

Qaror. Diagonal va burchak qiymatlari ma'lum bo'lganligi sababli, bu holda:

CD=ACcos 30°

Izoh. Ushbu misolda ACD uchburchagi to'g'ri burchakli uchburchakdir. Bu shuni anglatadiki, CD va AC ning bo'linish qismi=berilgan burchakning kosinusidir. Trigonometrik funksiyalarning qiymatini maxsus jadvalda topish mumkin.

Shunga oʻxshab, siz AD qiymatini topishingiz mumkin:

AD=ACsin 30°

Endi siz quyidagi formuladan foydalanib kerakli natijani hisoblashingiz kerak: silindrning lateral yuzasining maydoni "pi" ni, raqam radiusi va uning balandligini ko'paytirish natijasining ikki barobariga teng. Yana bir formuladan foydalanish kerak: silindr asosining maydoni. Bu "pi" ni radius kvadratiga ko'paytirish natijasiga teng. Va nihoyat, oxirgi formula: umumiy sirt maydoni. Bu avvalgi ikki maydon yig‘indisiga teng.

2-topshiriq.

Tsilindrlar berilgan. Ularning hajmi=128n sm³. Qaysi silindr eng kichigiga egato'liq yuzami?

Qaror. Avval figuraning hajmi va balandligini topish uchun formulalardan foydalanishingiz kerak.

Tsilindrning umumiy sirt maydoni nazariyadan ma'lum bo'lgani uchun uning formulasi qo'llanilishi kerak.

Agar natijada olingan formulani silindr maydonining funktsiyasi sifatida ko'rib chiqsak, u holda minimal "ko'rsatkich" ekstremum nuqtasida erishiladi. Oxirgi qiymatni olish uchun farqlashdan foydalanish kerak.

Formulalarni hosilalarni topish uchun maxsus jadvalda koʻrish mumkin. Kelajakda topilgan natija nolga tenglashtiriladi va tenglamaning yechimi topiladi.

Javob: S_{min h=1/32 sm, R=64 sm da erishiladi.}

Muammo 3.

Steremetrik raqam berilgan - silindr va kesma. Ikkinchisi stereometrik tananing o'qiga parallel ravishda joylashgan tarzda amalga oshiriladi. Silindr quyidagi parametrlarga ega: VK=17 sm, h=15 sm, R=5 sm. Kesma va eksa orasidagi masofani topish kerak.

Qaror.

Tsilindrning kesmasi VSCM, ya'ni to'rtburchak deb tushunilganligi sababli, uning tomoni VM=h. WMC ni hisobga olish kerak. Uchburchak to'rtburchak shaklida. Ushbu bayonotga asoslanib, biz MK=BC degan to'g'ri taxminni chiqarishimiz mumkin.

VK²=VM² + MK²

MK²=VK² - VM²

MK²=17² - 15²

MK²=64

MK=8

Bu yerdan MK=BC=8 sm degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Keyingi qadam - rasmning asosi orqali kesma chizish. Olingan tekislikni hisobga olish kerak.

AD – stereometrik figuraning diametri. U muammo bayonotida ko'rsatilgan bo'limga parallel.

BC - mavjud to'rtburchaklar tekisligida joylashgan to'g'ri chiziq.

ABCD trapetsiyadir. Muayyan holatda, u teng yon tomonli deb hisoblanadi, chunki uning atrofida aylana tasvirlangan.

Olingan trapetsiyaning balandligini topsangiz, masalaning boshida berilgan javobni olishingiz mumkin. Ya'ni: eksa va chizilgan kesim orasidagi masofani topish.

Buni amalga oshirish uchun siz AD va OS qiymatlarini topishingiz kerak.

Javob: boʻlim oʻqdan 3 sm masofada joylashgan.

Materialni birlashtirishda muammolar

1-misol.

Tsilindr berilgan. Keyingi eritmada lateral sirt maydoni ishlatiladi. Boshqa variantlar ma'lum. Poydevorning maydoni Q, eksenel kesimning maydoni M. S ni topish kerak. Boshqacha aytganda, silindrning umumiy maydoni.

2-misol.

Tsilindr berilgan. Yon sirt maydoni muammoni hal qilish bosqichlaridan birida topilishi kerak. Ma'lumki, balandligi=4 sm, radius=2 sm. Steremetrik figuraning umumiy maydonini topish kerak.