Doimiy olti burchakli piramida. Hajmi va sirt maydoni uchun formulalar. Geometrik masalani yechish

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-02 17:58

Stereometriya geometriyaning fazodagi boʻlimi sifatida prizma, silindr, konus, shar, piramida va boshqa uch oʻlchamli figuralarning xossalarini oʻrganadi. Ushbu maqola olti burchakli oddiy piramidaning xususiyatlari va xususiyatlarini batafsil ko'rib chiqishga bag'ishlangan.

Qaysi piramida oʻrganiladi

Muntazam olti burchakli piramida - bu bitta teng yonli va teng burchakli olti burchakli va oltita bir xil yon tomonli uchburchaklar bilan chegaralangan kosmosdagi figura. Bu uchburchaklar ma'lum sharoitlarda ham teng yonli bo'lishi mumkin. Bu piramida quyida ko'rsatilgan.

Bu erda xuddi shu rasm ko'rsatilgan, faqat bir holatda u lateral yuzi o'quvchi tomonga, ikkinchisida esa lateral qirrasi bilan burilgan.

Doimiy olti burchakli piramida yuqorida aytib oʻtilgan 7 ta yuzga ega. Bundan tashqari, 7 ta uchi va 12 qirrasi bor. Prizmalardan farqli o'laroq, barcha piramidalar yon tomonlarning kesishishidan hosil bo'lgan bitta maxsus cho'qqiga ega.uchburchaklar. Oddiy piramida uchun u muhim rol o'ynaydi, chunki undan rasmning poydevoriga tushirilgan perpendikulyar balandlikdir. Bundan tashqari, balandlik h harfi bilan belgilanadi.

Koʻrsatilgan piramida ikki sababga koʻra toʻgʻri deb nomlanadi:

• uning tagida yon uzunligi teng a va teng burchaklari 120o; boʻlgan oltiburchak joylashgan.
• Piramidaning balandligi h olti burchakni aynan uning markazida kesib o'tadi (kesishish nuqtasi olti burchakning barcha tomonlari va barcha cho'qqilaridan bir xil masofada joylashgan).

Yuza maydoni

Doimiy olti burchakli piramidaning xossalari uning maydonini aniqlashda koʻrib chiqiladi. Buning uchun birinchi navbatda figurani tekislikda ochish foydalidir. Uning sxematik ko'rinishi quyida ko'rsatilgan.

Ko'rinib turibdiki, supurish maydoni va demak, ko'rib chiqilayotgan rasmning butun yuzasi oltita bir xil uchburchak va bitta olti burchakli maydonlar yig'indisiga teng.

Olti burchakli S_{6 maydonini aniqlash uchun oddiy n-burchak uchun universal formuladan foydalaning:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Bu erda a - olti burchakli tomonning uzunligi.

Uchburchakning yon tomonining S₃ maydonini, agar siz uning balandligi qiymatini bilsangiz, h_{b topish mumkin.:}

S₃=1/2h_ba.

Chunki oltitasi hamuchburchaklar bir-biriga teng bo'lsa, biz to'g'ri asosga ega olti burchakli piramidaning maydonini aniqlash uchun ishchi ifodani olamiz:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Piramida hajmi

Huddi maydon kabi, olti burchakli muntazam piramidaning hajmi ham uning muhim xususiyati hisoblanadi. Bu hajm barcha piramidalar va konuslar uchun umumiy formula bo'yicha hisoblanadi. Keling, yozamiz:

V=1/3S_oh.

Bu yerda S_o belgisi olti burchakli asosning maydoni, ya'ni S_o=S _6.

Yuqoridagi ifodani S_{6 formulasiga V formulasiga almashtirsak, oddiy olti burchakli piramida hajmini aniqlashning yakuniy tengligiga erishamiz:}

V=√3/2a2h.

Geometrik masalaga misol

Muntazam olti burchakli piramidada lateral qirrasi taglikning uzunligidan ikki baravar katta. Ikkinchisining 7 sm ekanligini bilib, bu raqamning sirt maydoni va hajmini hisoblash kerak.

Siz taxmin qilganingizdek, bu muammoni hal qilish S va V uchun yuqorida olingan iboralardan foydalanishni oʻz ichiga oladi. Shunga qaramay, ularni darhol ishlatib boʻlmaydi, chunki biz apotem va soʻzlarni bilmaymiz. muntazam olti burchakli piramidaning balandligi. Keling, ularni hisoblaylik.

h_b apotemasini b, a/2 va h_{b tomonlarida qurilgan to'g'ri burchakli uchburchakni hisobga olgan holda aniqlash mumkin. Bu erda b - yon chetining uzunligi. Muammoning shartidan foydalanib, biz olamiz:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 sm.}

Piramidaning h balandligini xuddi apotema kabi aniqlash mumkin, ammo endi piramida ichida joylashgan h, b va a tomonlari bo'lgan uchburchakni ko'rib chiqishimiz kerak. Balandligi:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 sm.}

Koʻrinib turibdiki, hisoblangan balandlik qiymati apotemadan kichikroq, bu har qanday piramida uchun toʻgʻri.

Endi siz hajm va maydon uchun ifodalardan foydalanishingiz mumkin:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96 sm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48 sm^3.

Shunday qilib, oddiy olti burchakli piramidaning har qanday xarakteristikasini aniq aniqlash uchun uning istalgan ikkita chiziqli parametrini bilishingiz kerak.