Maktablarda 9-sinfda algebra fanining umumiy kursida «Arifmetik progressiya» mavzusi o’rganiladi. Bu mavzu raqamlar qatorlari matematikasini yanada chuqurroq o‘rganish uchun muhim ahamiyatga ega. Ushbu maqolada biz arifmetik progressiya, uning farqi, shuningdek, maktab o'quvchilari duch kelishi mumkin bo'lgan tipik vazifalar bilan tanishamiz.
Algebraik progressiya tushunchasi
Raqamli progressiya - bu qandaydir matematik qonun qoʻllanilsa, har bir keyingi elementni oldingisidan olish mumkin boʻlgan raqamlar ketma-ketligi. Progressiyaning ikkita oddiy turi mavjud: geometrik va arifmetik, uni algebraik deb ham atashadi. Keling, bu haqda batafsil toʻxtalib oʻtamiz.
Keling, qandaydir ratsional sonni tasavvur qilaylik, uni a1 belgisi bilan belgilaymiz, bunda indeks uning koʻrib chiqilayotgan qatordagi tartib raqamini bildiradi. 1 ga boshqa raqam qo'shamiz, uni d bilan belgilaymiz. Keyin ikkinchiqator elementi quyidagicha aks ettirilishi mumkin: a2=a1+d. Endi yana d qo'shing, biz quyidagilarga erishamiz: a3=a2+d. Ushbu matematik amalni davom ettirsangiz, arifmetik progressiya deb ataladigan butun bir qator raqamlarni olishingiz mumkin.
Yuqoridagilardan tushunilganidek, ushbu ketma-ketlikning n-elementini topish uchun quyidagi formuladan foydalanish kerak: a =a1+ (n -1)d. Haqiqatan ham, ifodaga n=1 o‘rniga 1=a1 ni olamiz, agar n=2 bo’lsa, formula quyidagini bildiradi: a2=a1 + 1d va hokazo.
Masalan, arifmetik progressiyaning ayirmasi 5 boʻlsa va a1=1 boʻlsa, bu koʻrib chiqilayotgan turdagi raqamlar qatori quyidagicha koʻrinishini bildiradi: 1, 6, 11, 16, 21, … Koʻrib turganingizdek, uning har bir sharti avvalgisidan 5 ga katta.
Arifmetik progressiya farqi formulalari
Ko'rib chiqilgan raqamlar qatorining yuqoridagi ta'rifidan kelib chiqadiki, uni aniqlash uchun siz ikkita raqamni bilishingiz kerak: a1 va d. Ikkinchisi bu progressiyaning farqi deb ataladi. Bu butun seriyaning xatti-harakatlarini aniq belgilaydi. Haqiqatan ham, agar d musbat bo'lsa, u holda raqamlar qatori doimiy ravishda ortib boradi, aksincha, manfiy d holatida seriyadagi raqamlar faqat modul bo'yicha ortadi, ularning mutlaq qiymati esa n sonining ortishi bilan kamayadi.
Arifmetik progressiyaning farqi nimada? Ushbu qiymatni hisoblash uchun ishlatiladigan ikkita asosiy formulani ko'rib chiqing:
- d=an+1-a , bu formula toʻgʻridan-toʻgʻri koʻrib chiqilayotgan raqamlar qatori taʼrifidan kelib chiqadi.
- d=(-a1+a)/(n-1), bu ifoda berilgan formuladan d ni ifodalash orqali olinadi. maqolaning oldingi bandida. E'tibor bering, agar n=1 bo'lsa, bu ifoda noaniq bo'ladi (0/0). Buning sababi, uning farqini aniqlash uchun seriyaning kamida 2 ta elementini bilish zarur.
Ushbu ikkita asosiy formuladan progressiya farqini topishga oid har qanday muammoni hal qilishda foydalaniladi. Biroq, siz bilishingiz kerak bo'lgan yana bir formula bor.
Birinchi elementlar yig'indisi
Tarixiy dalillarga ko'ra, algebraik progressiyaning istalgan soni a'zolarining yig'indisini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan formulani birinchi marta 18-asr matematikasining "shahzodasi" Karl Gauss qo'lga kiritgan. Nemis olimi, hali qishloq maktabining boshlang'ich sinflarida o'qiyotganida, 1 dan 100 gacha bo'lgan qatordagi natural sonlarni qo'shish uchun birinchi element va oxirgi elementni yig'ish kerakligini payqagan (natijadagi qiymat teng bo'ladi). oxirgi va ikkinchi, oxirgi va uchinchi elementlarning yig'indisiga va hokazo), so'ngra bu raqam ushbu miqdorlar soniga, ya'ni 50 ga ko'paytirilishi kerak.
Muayyan misolda aytilgan natijani aks ettiruvchi formulani ixtiyoriy holatga umumlashtirish mumkin. Bu shunday bo'ladi: S =n/2(a +a1). Belgilangan qiymatni topish uchun d farqini bilish shart emasligini unutmang,agar progressiyaning ikkita sharti ma'lum bo'lsa (a va a1).
1-misol. a1 va an
qatorining ikkita shartini bilib, farqni aniqlang
Maqolada yuqorida tilga olingan formulalarni qanday qoʻllashni koʻrsatamiz. Oddiy misol keltiramiz: arifmetik progressiyaning farqi noma’lum, agar a13=-5, 6 va a1 bo’lsa, u nimaga teng bo’lishini aniqlash kerak. =-12, 1.
Raqamli ketma-ketlikning ikkita elementining qiymatlarini bilganimiz uchun va ulardan biri birinchi raqam bo'lganligi sababli, d farqini aniqlash uchun №2 formuladan foydalanishimiz mumkin. Bizda: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Ifodada biz n=13 qiymatidan foydalandik, chunki bu tartib raqamiga ega aʼzo ma'lum.
Hosil boʻlgan farq muammo shartida berilgan elementlar manfiy qiymatga ega boʻlishiga qaramay, progressiyaning ortib borayotganligini koʻrsatadi. Ko'rinib turibdiki, a13>a1, garchi |a13|<|a 1 |.
Misol №2. №1
misolidagi progressiyaning ijobiy a'zolari
Yangi masalani yechish uchun oldingi misolda olingan natijadan foydalanamiz. U quyidagicha tuzilgan: №1 misoldagi progressiyaning elementlari qaysi tartib raqamidan musbat qiymatlarni olishni boshlaydi?
Ko'rsatilganidek, a1=-12, 1 va d=0. 54167 ortib bormoqda, shuning uchun ba'zi raqamlardan raqamlar faqat ijobiy qabul qila boshlaydi. qiymatlar. Bu n sonni aniqlash uchun oddiy tengsizlikni yechish kerak, ya'nimatematik tarzda quyidagicha yoziladi: a >0 yoki tegishli formuladan foydalanib, tengsizlikni qayta yozamiz: a1 + (n-1)d>0. Noma'lum n ni topish kerak, uni ifodalaymiz: n>-1a1/d + 1. Endi farq va birinchi a'zoning ma'lum qiymatlarini almashtirish qoladi. ketma-ketlikning. Biz quyidagilarga erishamiz: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 yoki n>23, 338. n faqat butun son qiymatlarni qabul qilishi mumkinligi sababli, hosil bo'lgan tengsizlikdan kelib chiqadiki, qatorning istalgan a'zolari. 23 dan katta bo'lgan raqam ijobiy bo'ladi.
Ushbu arifmetik progressiyaning 23 va 24-elementlarini hisoblash uchun yuqoridagi formuladan foydalanib javobingizni tekshiring. Bizda: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (salbiy raqam); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (ijobiy qiymat). Shunday qilib, olingan natija to'g'ri: n=24 dan boshlab, raqamlar qatorining barcha a'zolari noldan katta bo'ladi.
Misol №3. Qancha jurnal mos keladi?
Keling, bitta qiziq muammoni keltiraylik: kesish paytida quyidagi rasmda ko'rsatilganidek, kesilgan jurnallarni bir-birining ustiga qo'yishga qaror qilindi. Hammasi bo'lib 10 ta qator sig'ishini bilib, nechta jurnalni shu tarzda yig'ish mumkin?
Jurnallarni stackirovka qilishning bu usulida siz bitta qiziq narsani ko'rishingiz mumkin: har bir keyingi qatorda oldingisiga qaraganda bitta kamroq log bo'ladi, ya'ni algebraik progressiya mavjud bo'lib, ularning farqi d=1. Har bir qatordagi jurnallar soni ushbu progressiyaning a'zosi deb faraz qilsak,va shuningdek, a1=1 ekanligini hisobga olsak (faqat bitta jurnal eng yuqori qismida joylashadi), biz a10 raqamini topamiz. Bizda: a10=1 + 1(10-1)=10. Ya'ni yerda yotgan 10-qatorda 10 ta log bo'ladi.
Ushbu "piramidal" konstruktsiyaning umumiy miqdorini Gauss formulasi yordamida olish mumkin. Biz quyidagilarni olamiz: S10=10/2(10+1)=55 ta jurnal.
