Matritsalar va determinantlar XVIII-XIX asrlarda kashf etilgan. Dastlab, ularning rivojlanishi geometrik jismlarni o'zgartirish va chiziqli tenglamalar tizimini echish bilan bog'liq edi. Tarixiy jihatdan, dastlabki urg'u determinantga qaratilgan. Zamonaviy chiziqli algebrani qayta ishlash usullarida birinchi navbatda matritsalar ko'rib chiqiladi. Bu savol ustida biroz o'ylab ko'rishga arziydi.
Bu sohadagi javoblar
Matritsalar nazariy va amaliy jihatdan koʻp muammolarni hal qilishning foydali usulini taqdim etadi, masalan:
- chiziqli tenglamalar tizimlari;
- qattiq jismlar muvozanati (fizikadan);
- grafik nazariya;
- Leontiefning iqtisodiy modeli;
- o'rmon xo'jaligi;
- kompyuter grafikasi va tomografiya;
- genetika;
- kriptografiya;
- elektr tarmoqlari;
- fraktal.
Aslida, "qo'g'irchoqlar" uchun matritsa algebrasi soddalashtirilgan ta'rifga ega. U quyidagicha ifodalanadi: bu bilimlarning ilmiy sohasi bo'lib, undako'rib chiqilayotgan qadriyatlar o'rganiladi, tahlil qilinadi va to'liq o'rganiladi. Algebraning ushbu bo'limida o'rganilayotgan matritsalar ustida turli amallar o'rganiladi.
Matritsalar bilan qanday ishlash kerak
Bu qiymatlar bir xil oʻlchamlarga ega boʻlsa va birining har bir elementi ikkinchisining mos keladigan elementiga teng boʻlsa, teng hisoblanadi. Matritsani istalgan konstantaga ko'paytirish mumkin. Bu berilgan skalyar ko'paytirish deyiladi. Misol: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Bir xil oʻlchamdagi matritsalarni kiritish orqali qoʻshish va ayirish hamda mos oʻlchamdagi qiymatlarni koʻpaytirish mumkin. Misol: ikkita A va B qo‘shing: A=[21−10]B=[1423]. Bu mumkin, chunki A va B ikkala qatorli va bir xil sonli ustunli matritsalardir. A dagi har bir elementni B dagi mos elementga qo'shish kerak: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matritsalar algebrada xuddi shunday ayiriladi.
Matritsani koʻpaytirish biroz boshqacha ishlaydi. Bundan tashqari, ko'plab holatlar va variantlar, shuningdek, echimlar bo'lishi mumkin. Agar Apq va Bmn matritsalarini ko‘paytirsak, Ap×q+Bm×n=[AB]p×n ko‘paytma bo‘ladi. AB ning g-qatori va h-ustunidagi yozuv g A va h B dagi mos yozuvlar koʻpaytmasining yigʻindisidir. Faqat ikkita matritsani birinchi va ikkinchi qatordagi ustunlar soni boʻlsa, koʻpaytirish mumkin. teng. Misol: A va B uchun shartni bajaring: A=[1−130]B=[2−11214]. Bu mumkin, chunki birinchi matritsada 2 ta ustun, ikkinchisida esa 2 ta satr mavjud. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Matritsalar haqida asosiy ma'lumotlar
Ko'rib chiqilayotgan qiymatlar o'zgaruvchilar va konstantalar kabi ma'lumotlarni tartibga soladi va ularni satr va ustunlarda saqlaydi, odatda C deb ataladi. Matritsadagi har bir pozitsiya element deb ataladi. Misol: C=[1234]. Ikki qator va ikkita ustundan iborat. 4-element 2-qator va 2-ustunda joylashgan. Odatda matritsani uning oʻlchamlaridan keyin nomlashingiz mumkin, Cmk deb nomlangan matritsa m ta satr va k ustunga ega.
Kengaytirilgan matritsalar
Mulohazalar - bu juda ko'p turli xil ilovalar sohalarida paydo bo'ladigan juda foydali narsalar. Matritsalar dastlab chiziqli tenglamalar tizimiga asoslangan edi. Tengsizliklarning quyidagi tuzilishini hisobga olgan holda, quyidagi to'ldirilgan matritsani hisobga olish kerak:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Koeffitsientlarni yozing va qiymatlarga javob bering, shu jumladan barcha minus belgilari. Agar manfiy raqamga ega element bo'lsa, u "1" ga teng bo'ladi. Ya'ni, (chiziqli) tenglamalar sistemasi berilgan bo'lsa, u bilan matritsani (qavs ichidagi sonlar tarmog'i) bog'lash mumkin. U faqat chiziqli tizimning koeffitsientlarini o'z ichiga oladi. Bu "kengaytirilgan matritsa" deb ataladi. Har bir tenglamaning chap tomonidagi koeffitsientlarni o'z ichiga olgan katak har bir tenglamaning o'ng tomonidagi javoblar bilan "to'ldirilgan".
Yozuvlar, ya'nimatritsaning B qiymatlari asl tizimdagi x-, y- va z qiymatlariga mos keladi. Agar u to'g'ri tartibga solingan bo'lsa, birinchi navbatda uni tekshiring. Baʼzan oʻrganilayotgan yoki oʻrganilayotgan matritsaga shartlarni oʻzgartirish yoki nollarni qoʻshish kerak boʻladi.
Quyidagi tenglamalar tizimini hisobga olsak, biz darhol bogʻlangan kengaytirilgan matritsani yozishimiz mumkin:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Avvalo, tizimni quyidagicha tartibga solishni unutmang:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Unda bogʻlangan matritsani quyidagicha yozish mumkin: [11000113-1012]. Kengaytirilgan tenglamani yaratishda chiziqli tenglamalar tizimidagi tegishli nuqta bo'sh bo'lgan har qanday yozuv uchun noldan foydalanishga arziydi.
Matritsali algebra: Amallarning xossalari
Agar elementlarni faqat koeffitsient qiymatlaridan hosil qilish zarur boʻlsa, koʻrib chiqilayotgan qiymat quyidagicha boʻladi: [110011-101]. Bu "koeffitsient matritsasi" deb ataladi.
Quyidagi kengaytirilgan matritsali algebrani hisobga olgan holda, uni takomillashtirish va unga bog'liq chiziqli tizimni qo'shish kerak. Aytish kerakki, ular o'zgaruvchilarning yaxshi tartibga solinishi va toza bo'lishini talab qilishini yodda tutish kerak. Odatda uchta o'zgaruvchi mavjud bo'lganda, shu tartibda x, y va z dan foydalaning. Shuning uchun bog'langan chiziqli tizim quyidagicha bo'lishi kerak:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Matrisa hajmi
Koʻrilayotgan elementlar koʻpincha ishlashiga koʻra nazarda tutiladi. Algebrada matritsaning kattaligi quyidagicha berilgano'lchovlar, chunki xonani boshqacha chaqirish mumkin. Qiymatlarning o'lchanadigan o'lchovlari kenglik va uzunlik emas, balki satrlar va ustunlardir. Masalan, A matritsasi:
[1234]
[2345]
[3456].
A uchta qator va toʻrtta ustundan iborat boʻlgani uchun A oʻlchami 3 × 4.
→
↓
Chiziqlar yon tomonga ketadi. Ustunlar yuqoriga va pastga tushadi. "Qator" va "ustun" - spetsifikatsiyalar va bir-birini almashtirib bo'lmaydi. Matritsa o'lchamlari har doim qatorlar soni, keyin esa ustunlar soni bilan belgilanadi. Ushbu konventsiyadan keyin quyidagi B:
[123]
[234] 2 × 3. Agar matritsaning qatorlari ustunlar soniga teng boʻlsa, u “kvadrat” deyiladi. Masalan, yuqoridagi koeffitsient qiymatlari:
[110]
[011]
[-101] 3×3 kvadrat matritsa.
Matrisa belgilari va formatlash
Formatlash eslatmasi: Masalan, matritsa yozish kerak boʻlganda, qavslardan foydalanish muhim. Mutlaq qiymat satrlari || ishlatilmaydi, chunki ular bu kontekstda boshqa yo'nalishga ega. Qavslar yoki jingalak qavslar {} hech qachon ishlatilmaydi. Yoki boshqa guruhlash belgisi yoki umuman yo'q, chunki bu taqdimotlar hech qanday ma'noga ega emas. Algebrada matritsa har doim kvadrat qavs ichida bo'ladi. Faqat to'g'ri belgi qo'llanilishi kerak, aks holda javoblar noto'g'ri deb hisoblanishi mumkin.
Yuqorida aytib o'tilganidek, matritsadagi qiymatlar yozuvlar deb ataladi. Nima sababdan, ko'rib chiqilayotgan elementlar odatda yoziladibosh harflar, masalan, A yoki B va yozuvlar tegishli kichik harflar yordamida, lekin pastki belgilar bilan belgilanadi. A matritsasida qiymatlar odatda "ai, j" deb ataladi, bu erda i - A qatori va j - A ustuni. Masalan, a3, 2=8. a1, 3 uchun yozuv 3 ga teng.
Kichikroq matritsalar, oʻndan kam satr va ustunlarga ega boʻlgan matritsalar uchun baʼzan pastki vergul qoʻyilmaydi. Masalan, "a1, 3=3" ni "a13=3" deb yozish mumkin. Bu katta matritsalar uchun ishlamasligi aniq, chunki a213 noaniq boʻladi.
Matrisa turlari
Ba'zan rekord konfiguratsiyalariga ko'ra tasniflanadi. Misol uchun, diagonali yuqori-chap-pastki-o'ng diagonali ostida barcha nol yozuvlari bo'lgan bunday matritsa yuqori uchburchak deb ataladi. Boshqa narsalar bilan bir qatorda, boshqa turlar va turlar ham bo'lishi mumkin, ammo ular juda foydali emas. Odatda, asosan, yuqori uchburchak sifatida qabul qilinadi. Ko'rsatkichlari nolga teng bo'lmagan qiymatlar faqat gorizontal ravishda diagonal qiymatlar deb ataladi. Shunga o'xshash turlar nolga teng bo'lmagan yozuvlarga ega bo'lib, ularning barchasi 1 ga teng, bunday javoblar bir xil deb ataladi (sabablarga ko'ra, ko'rib chiqilayotgan qiymatlarni qanday ko'paytirishni o'rgangan va tushunilganida aniq bo'ladi). Shunga o'xshash ko'plab tadqiqot ko'rsatkichlari mavjud. 3 × 3 identifikatori I3 bilan belgilanadi. Xuddi shunday, 4 × 4 identifikatori I4.
Matritsali algebra va chiziqli fazolar
Uchburchak matritsalar kvadrat ekanligini unutmang. Ammo diagonallar uchburchakdir. Buni hisobga olgan holda, ularkvadrat. Va identifikatsiyalar diagonallar va shuning uchun uchburchak va kvadrat deb hisoblanadi. Agar matritsani tavsiflash kerak bo'lsa, odatda o'zining eng aniq tasnifini belgilaydi, chunki bu boshqa barcha tasniflarni nazarda tutadi. Quyidagi tadqiqot variantlarini tasniflang:3 × 4. Bu holda ular kvadrat emas. Shuning uchun qadriyatlar boshqa narsa bo'lishi mumkin emas. Quyidagi tasnif:3 × 3 sifatida mumkin. Lekin u kvadrat hisoblanadi va bunda alohida narsa yo'q. Quyidagi ma'lumotlarning tasnifi:3 × 3 yuqori uchburchak sifatida, lekin u diagonal emas. To'g'ri, ko'rib chiqilayotgan qiymatlarda joylashgan va ko'rsatilgan bo'shliqda yoki uning ustida qo'shimcha nollar bo'lishi mumkin. O'rganilayotgan tasnif yanada kengroq: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], bu erda u diagonal sifatida ko'rsatilgan va bundan tashqari, barcha yozuvlar 1 ga teng. Keyin bu 3 × 3 identifikatordir., I3.
Oʻxshash matritsalar taʼrifi boʻyicha kvadrat boʻlgani uchun ularning oʻlchamlarini topish uchun faqat bitta indeksdan foydalanishingiz kerak. Ikki matritsa teng bo'lishi uchun ular bir xil parametrga ega bo'lishi va bir xil joylarda bir xil yozuvlarga ega bo'lishi kerak. Masalan, ko'rib chiqilayotgan ikkita element bor deylik: A=[1 3 0] [-2 0 0] va B=[1 3] [-2 0]. Bu qiymatlar bir xil boʻlishi mumkin emas, chunki ular oʻlchamlari jihatidan farq qiladi.
A va B bo'lsa ham: A=[3 6] [2 5] [1 4] va B=[1 2 3] [4 5 6] - ular baribir bir xil emas birhil narsa. A va B har biriga egaoltita yozuv va bir xil raqamlarga ega, ammo bu matritsalar uchun etarli emas. A 3×2. B esa 2×3 matritsadir.3×2 uchun A 2×3 emas. A va Bda bir xil miqdordagi ma’lumotlar yoki hattoki yozuvlar soni bir xil bo‘lishi muhim emas. Agar A va B bir xil oʻlcham va shaklda boʻlmasa, lekin oʻxshash joylarda bir xil qiymatlarga ega boʻlsa, ular teng emas.
Koʻrib chiqilayotgan hududdagi oʻxshash operatsiyalar
Matritsalar tengligining bu xossasini mustaqil tadqiqot uchun topshiriqlarga aylantirish mumkin. Masalan, ikkita matritsa berilgan va ular teng ekanligi ko'rsatilgan. Bunday holda, o‘zgaruvchilar qiymatlarini o‘rganish va ularga javob olish uchun ushbu tenglikdan foydalanishingiz kerak bo‘ladi.
Algebrada matritsalarga misollar va yechimlar turlicha boʻlishi mumkin, ayniqsa tenglik haqida gap ketganda. Quyidagi matritsalar ko'rib chiqilishini hisobga olib, x va y qiymatlarini topish kerak. A va B teng bo'lishi uchun ular bir xil o'lcham va shaklga ega bo'lishi kerak. Aslida, ular shunday, chunki ularning har biri 2 × 2 matritsadir. Va ular bir xil joylarda bir xil qiymatlarga ega bo'lishi kerak. U holda a1, 1 teng b1, 1, a1, 2 teng b1, 2, va hokazo. ular). Lekin, a1, 1=1 aniq b1, 1=x ga teng emas. A ning B bilan bir xil bo'lishi uchun yozuvda a1, 1=b1, 1 bo'lishi kerak, shuning uchun u 1=x bo'lishi mumkin. Xuddi shunday indekslar a2, 2=b2, 2, shuning uchun 4=y. U holda yechim: x=1, y=4. Quyidagini hisobga olsakmatritsalar teng, siz x, y va z qiymatlarini topishingiz kerak. A=B bo'lishi uchun koeffitsientlar barcha yozuvlar teng bo'lishi kerak. Ya'ni, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 va hokazo. Xususan:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Tanlangan matritsalardan koʻrib turganingizdek: 1, 1-, 2, 2- va 3, 1-elementlar bilan. Ushbu uchta tenglamani yechish orqali biz javob olamiz: x=4, y=-6 va z=9. Matritsalar algebrasi va matritsa amallari hamma uchun o‘rganilganidan farq qiladi, lekin ularni takrorlash mumkin emas.
Bu sohada qoʻshimcha maʼlumotlar
Chiziqli matritsa algebrasi oʻxshash tenglamalar toʻplami va ularning oʻzgartirish xossalarini oʻrganadi. Ushbu bilim sohasi fazoda aylanishlarni tahlil qilish, eng kichik kvadratlarni taxmin qilish, bog'langan differensial tenglamalarni echish, berilgan uchta nuqtadan o'tuvchi aylanani aniqlash va matematika, fizika va texnologiyaning boshqa ko'plab masalalarini hal qilish imkonini beradi. Matritsaning chiziqli algebrasi aslida ishlatilgan so'zning texnik ma'nosi emas, ya'ni f maydonidagi v vektor fazosi va hokazo.
Matritsa va determinant juda foydali chiziqli algebra vositalaridir. Markaziy vazifalardan biri x uchun Ax=b matritsa tenglamasini yechishdir. Buni nazariy jihatdan teskari x=A-1 b yordamida hal qilish mumkin. Boshqa usullar, masalan, Gaussni yo'q qilish, raqamli jihatdan ishonchliroq.
Chiziqli tenglamalar toʻplamini oʻrganishni tavsiflash uchun ishlatilishidan tashqari, belgilanganyuqoridagi atama algebraning ma'lum bir turini tavsiflash uchun ham qo'llaniladi. Xususan, F maydon ustidagi L distributiv qonunlar bilan birgalikda ichki qo‘shish va ko‘paytirish uchun barcha odatiy aksiomalarga ega bo‘lgan halqa tuzilishiga ega. Shuning uchun, u halqadan ko'ra ko'proq tuzilishni beradi. Chiziqli matritsa algebrasi asosiy F maydonining elementlari bo'lgan skalerlar bilan ko'paytirishning tashqi amalini ham tan oladi. Masalan, V vektor fazodan o'ziga F maydoni bo'yicha barcha ko'rib chiqilgan o'zgarishlar to'plami F maydonida hosil bo'ladi. Chiziqlilikning yana bir misoli algebra - bu maydon ustidagi barcha haqiqiy kvadrat matritsalar to'plami R haqiqiy sonlar.
