Bir xil tortishish maydonida cho'zilmaydigan vaznsiz ipga (uning massasi tananing og'irligiga nisbatan ahamiyatsiz) osilgan moddiy nuqtadan (tanadan) tashkil topgan mexanik tizim matematik mayatnik deb ataladi (boshqa nomi: osilator). Ushbu qurilmaning boshqa turlari mavjud. Ip o'rniga vaznsiz novda ishlatilishi mumkin. Matematik mayatnik ko'plab qiziqarli hodisalarning mohiyatini aniq ochib berishi mumkin. Kichik tebranish amplitudasi bilan uning harakati garmonik deb ataladi.
Mexanik tizim haqida umumiy ma'lumot
Bu mayatnikning tebranish davri formulasi golland olimi Gyuygens (1629-1695) tomonidan olingan. I. Nyutonning bu zamondoshi bu mexanik tizimni juda yaxshi ko'rardi. 1656 yilda u birinchi mayatnikli soatni yaratdi. Ular vaqtni istisno bilan o'lchadilaro'sha vaqtlar uchun aniqlik. Bu ixtiro jismoniy tajribalar va amaliy faoliyatlarning rivojlanishida muhim bosqichga aylandi.
Agar mayatnik muvozanat holatida boʻlsa (vertikal osilib tursa), unda tortishish kuchi ipning taranglik kuchi bilan muvozanatlanadi. Uzatmas ip ustidagi tekis mayatnik - bu ulanish bilan ikki darajali erkinlikka ega bo'lgan tizim. Faqat bitta komponentni o'zgartirsangiz, uning barcha qismlarining xususiyatlari o'zgaradi. Shunday qilib, agar ip novda bilan almashtirilsa, unda bu mexanik tizim faqat 1 daraja erkinlikka ega bo'ladi. Matematik mayatnik qanday xossalarga ega? Ushbu oddiy tizimda tartibsizlik davriy buzilish ta'sirida yuzaga keladi. Agar osma nuqtasi harakatlanmasa, lekin tebransa, mayatnik yangi muvozanat holatiga ega bo'ladi. Tez yuqoriga va pastga tebranishlar bilan bu mexanik tizim barqaror teskari holatga ega bo'ladi. Uning ham o'z ismi bor. U Kapitsa mayatnik deb ataladi.
Mayatnik xususiyatlari
Matematik mayatnik juda qiziqarli xususiyatlarga ega. Ularning barchasi ma'lum fizik qonunlar bilan tasdiqlangan. Har qanday boshqa mayatnikning tebranish davri turli holatlarga, masalan, jismning o'lchami va shakliga, osilgan nuqta va og'irlik markazi orasidagi masofaga, bu nuqtaga nisbatan massa taqsimotiga bog'liq. Shuning uchun osilgan tananing davrini aniqlash juda qiyin ishdir. Matematik mayatnikning davrini hisoblash ancha oson, uning formulasi quyida keltirilgan. Shunga o'xshash kuzatuvlar natijasidamexanik tizimlar quyidagi naqshlarni o'rnatishi mumkin:
• Agar mayatnikning uzunligi bir xil boʻlgan holda, biz har xil ogʻirliklarni osib qoʻysak, ularning massalari juda katta farq qilsa-da, ularning tebranish davri bir xil boʻladi. Shuning uchun bunday mayatnikning davri yukning massasiga bog'liq emas.
• Tizimni ishga tushirganda, mayatnik juda katta emas, balki turli burchaklar bilan burilsa, u bir xil davr bilan, lekin har xil amplitudalarda tebranish boshlaydi. Muvozanat markazidan og'ishlar unchalik katta bo'lmasa, ularning shaklidagi tebranishlar garmoniklarga juda yaqin bo'ladi. Bunday mayatnikning davri hech qanday tarzda tebranish amplitudasiga bog'liq emas. Bu mexanik tizimning bu xususiyati izoxronizm deb ataladi (yunoncha “xronos” – vaqt, “isos” – teng)
Matematik mayatnik davri
Bu koʻrsatkich tabiiy tebranishlar davrini bildiradi. Murakkab so'zlarga qaramay, jarayonning o'zi juda oddiy. Agar matematik mayatnik ipining uzunligi L, erkin tushish tezlanishi g bo'lsa, bu qiymat:
T=2p√L/g
Kichik tabiiy tebranishlar davri hech qanday holatda mayatnik massasiga va tebranishlar amplitudasiga bog'liq emas. Bu holda mayatnik qisqargan uzunlikdagi matematik mayatnik kabi harakat qiladi.
Matematik mayatnikning tebranishlari
Matematik mayatnik tebranadi, uni oddiy differensial tenglama bilan tasvirlash mumkin:
x + ō2 sin x=0, bu erda x (t) noma'lum funksiya (bu pastdan og'ish burchagit vaqtidagi muvozanat holati, radyanlarda ifodalangan); ō - musbat konstanta, u mayatnik parametrlaridan aniqlanadi (ō=√g/L, bu erda g - erkin tushish tezlanishi va L - matematik mayatnikning uzunligi (to'xtatib turish).
Muvozanat holatiga yaqin boʻlgan kichik tebranishlar tenglamasi (garmonik tenglama) quyidagicha koʻrinadi:
x + ō2 sin x=0
Mayatnikning tebranish harakatlari
Kichik tebranishlarni amalga oshiradigan matematik mayatnik sinusoid bo'ylab harakat qiladi. Ikkinchi tartibli differentsial tenglama bunday harakatning barcha talablari va parametrlariga javob beradi. Traektoriyani aniqlash uchun siz tezlik va koordinatani belgilashingiz kerak, undan keyin mustaqil konstantalar aniqlanadi:
x=A gunoh (th0 + ōt), bu yerda th0 - boshlang'ich faza, A - tebranish amplitudasi, ō - harakat tenglamasidan aniqlangan tsiklik chastota.
Matematik mayatnik (katta amplitudalar uchun formulalar)
O'z tebranishlarini sezilarli amplituda bilan amalga oshiradigan bu mexanik tizim harakatning yanada murakkab qonunlariga bo'ysunadi. Bunday mayatnik uchun ular quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
sin x/2=usn(ōt/u), bu yerda sn - Yakobi sinus, u uchun u < 1 davriy funksiya, kichik u uchun esa oddiy trigonometrik sinus bilan mos keladi. u qiymati quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:
u=(e + ʼn2)/2ō2, bu yerda e=E/mL2 (mL2 - mayatnik energiyasi).
Chiziqsiz mayatnikning tebranish davrini aniqlashformula bo'yicha amalga oshiriladi:
T=2p/ũ, bu erda Ō=p/2ō/2K(u), K - elliptik integral, p - 3, 14.
Maatnikning ajratuvchi boʻylab harakati
Ajratish - bu ikki o'lchovli fazali fazoga ega dinamik tizimning traektoriyasi. Matematik mayatnik u bo'ylab davriy bo'lmagan holda harakat qiladi. Vaqtning cheksiz masofasida u o'ta yuqori holatdan nol tezlik bilan yon tomonga tushadi, keyin uni asta-sekin ko'taradi. Oxir-oqibat u toʻxtab, asl holatiga qaytadi.
Agar mayatnik tebranishlarining amplitudasi p soniga yaqinlashsa, bu faza tekisligidagi harakatning ajratuvchiga yaqinlashayotganligini bildiradi. Bunday holda, kichik harakatlantiruvchi davriy kuch ta'sirida, mexanik tizim xaotik xatti-harakatlarni namoyon qiladi.
Matematik mayatnik muvozanat holatidan ma'lum ph burchak bilan chetlashganda Ft=–mg sin ph ga teng og'irlik kuchi paydo bo'ladi. Minus belgisi bu tangensial komponentning mayatnik egilishidan teskari yo'nalishda yo'n altirilganligini bildiradi. Mayatnikning radiusi L bo'lgan aylana yoyi bo'ylab siljishi x bilan belgilansa, uning burchak siljishi ph=x/L ga teng bo'ladi. Tezlanish vektori va kuchi proektsiyalari uchun mo'ljallangan Isaak Nyutonning ikkinchi qonuni kerakli qiymatni beradi:
mg t=Ft=–mg sin x/L
Ushbu nisbatdan kelib chiqqan holda, bu mayatnik chiziqli bo'lmagan tizim ekanligi ayon bo'ladi, chunki orqaga qaytishga intilayotgan kuchu muvozanat holatiga, har doim x siljishiga emas, balki x/L ga proporsionaldir.
Faqat matematik mayatnik kichik tebranishlarni amalga oshirganda, u garmonik osilator hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, u garmonik tebranishlarni amalga oshirishga qodir mexanik tizimga aylanadi. Bu yaqinlik amalda 15–20° burchaklar uchun amal qiladi. Katta amplitudali mayatnik tebranishlari garmonik emas.
Maatnikning kichik tebranishlari uchun Nyuton qonuni
Agar bu mexanik tizim kichik tebranishlarni amalga oshirsa, Nyutonning 2-qonuni quyidagicha ko'rinadi:
mg t=Ft=–m g/L x.
Bundan kelib chiqib, matematik mayatnikning tangensial tezlanishi uning minus belgisi bilan siljishiga proporsional degan xulosaga kelishimiz mumkin. Bu tizim garmonik osilatorga aylanadigan holat. Ko‘chirish va tezlanish o‘rtasidagi proportsional daromad moduli aylana chastotasining kvadratiga teng:
ō02=g/L; ō0=√ g/L.
Bu formula ushbu turdagi mayatnikning kichik tebranishlarining tabiiy chastotasini aks ettiradi. Shunga asoslanib, T=2p/ ō0=2p√ g/L.
Energiyaning saqlanish qonuniga asoslangan hisoblar
Mayatnikning tebranish harakatlarining xossalarini energiyaning saqlanish qonuni yordamida ham tasvirlash mumkin. Bunday holda, mayatnikning tortishish maydonidagi potentsial energiyasi:
ekanligini hisobga olish kerak.
E=mg∆h=mgL(1 – cos a)=mgL2sin2 a/2
Jami mexanik energiyakinetik yoki maksimal potensialga teng: Epmax=Ekmsx=E
Energiyaning saqlanish qonuni yozilgandan keyin tenglamaning oʻng va chap tomonlari hosilasi olinadi:
Ep + Ek=const
Doimiy qiymatlarning hosilasi 0 boʻlgani uchun (Ep + Ek)'=0. Yigʻindining hosilasi hosilalar yigʻindisiga teng:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv a, shuning uchun:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m a)=0.
Oxirgi formulaga asoslanib, biz topamiz: a=- g/Lx.
Matematik mayatnikning amaliy qoʻllanilishi
Erkin tushishning tezlashishi geografik kenglik boʻyicha oʻzgaradi, chunki butun sayyorada er qobigʻining zichligi bir xil emas. Yuqori zichlikka ega bo'lgan jinslar paydo bo'lgan joylarda u biroz yuqoriroq bo'ladi. Matematik mayatnikning tezlanishi ko'pincha geologik qidiruv ishlarida qo'llaniladi. U turli xil minerallarni qidirish uchun ishlatiladi. Mayatnikning tebranishlar sonini hisoblab, siz Yerning tubida ko'mir yoki rudani topishingiz mumkin. Buning sababi, bunday qazilmalarning zichligi va massasi ular ostidagi bo'sh jinslardan kattaroqdir.
Matematik mayatnikdan Sokrat, Aristotel, Platon, Plutarx, Arximed kabi taniqli olimlar foydalangan. Ularning ko'pchiligi bu mexanik tizim insonning taqdiri va hayotiga ta'sir qilishi mumkinligiga ishonishdi. Arximed o'z hisob-kitoblarida matematik mayatnikdan foydalangan. Hozirgi kunda ko'plab okkultistlar va ruhshunoslarbashoratlarini bajarish yoki bedarak yoʻqolganlarni qidirish uchun ushbu mexanik tizimdan foydalaning.
Mashhur frantsuz astronomi va tabiatshunosi K. Flammarion ham oʻz tadqiqotida matematik mayatnikdan foydalangan. Uning ta'kidlashicha, uning yordami bilan u yangi sayyora kashf etilishi, Tunguska meteoritining paydo bo'lishi va boshqa muhim voqealarni bashorat qilishga muvaffaq bo'lgan. Ikkinchi jahon urushi davrida Germaniyada (Berlin) ixtisoslashtirilgan Sarkaç instituti ishlagan. Bugungi kunda Myunxen Parapsixologiya instituti shunga o'xshash tadqiqotlar bilan shug'ullanadi. Ushbu muassasa xodimlari mayatnik bilan ishlashlarini "radiesteziya" deb atashadi.
