Logarifmlar: misollar va yechimlar

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-02 17:58

Ma'lumki, ifodalarni darajalar bilan koʻpaytirishda ularning koʻrsatkichlari har doim qoʻshiladi (a^ba^c=a^{b+ c). Bu matematik qonun Arximed tomonidan olingan bo'lib, keyinchalik 8-asrda matematik Virasen butun son ko'rsatkichlari jadvalini yaratdi. Aynan ular logarifmlarning keyingi kashfiyoti uchun xizmat qilganlar. Ushbu funktsiyadan foydalanish misollarini oddiy qo'shishga og'ir ko'paytirishni soddalashtirish kerak bo'lgan deyarli hamma joyda topish mumkin. Agar siz ushbu maqolani o'qishga 10 daqiqa vaqt ajratsangiz, biz sizga logarifm nima ekanligini va ular bilan qanday ishlashni tushuntiramiz. Oddiy va tushunarli til.}

Matematikada ta'rif

Logarifm quyidagi shaklning ifodasidir: log_ab=c c" bunda nihoyat "qiymatini olish uchun "a" bazasini ko'tarish kerak. b". Keling, misollar yordamida logarifmni tahlil qilaylik, deylik log_{28 ifoda bor. Javobni qanday topish mumkin? Bu juda oddiy, siz shunday darajani topishingiz kerakki, 2 dan kerakli darajaga qadar siz 8 ball olasiz. O'zingizning fikringizcha hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz 3 raqamini olamiz! Va bu haqiqat, chunki2 soni 3 ning darajasiga ko‘tarilganda 8 javobi beriladi.}

Logarifm turlari

Ko'pgina o'quvchilar va talabalar uchun bu mavzu murakkab va tushunarsiz bo'lib tuyuladi, lekin aslida logarifmlar unchalik qo'rqinchli emas, asosiysi ularning umumiy ma'nosini tushunish va ularning xususiyatlarini va ba'zi qoidalarini eslab qolishdir. Logarifmik ifodalarning uchta alohida turi mavjud:

Natural logarifm ln a, bu yerda asos Eyler soni (e=2, 7).
Oʻnlik logarifm lg a, bu yerda asos 10 raqami.
Istalgan b sonining a>1 asosiga logarifmi.

Ularning har biri logarifmik teoremalardan foydalangan holda soddalashtirish, qisqartirish va keyinchalik bitta logarifmga qisqartirish kabi standart usulda echiladi. Logarifmlarning to'g'ri qiymatlarini olish uchun ularning xususiyatlarini va ularni echishdagi harakatlar tartibini eslab qolish kerak.

Qoidalar va ba'zi cheklovlar

Matematikada bir nechta qoida-cheklovlar mavjud boʻlib, ular aksioma sifatida qabul qilinadi, yaʼni ular kelishib boʻlmaydi va haqiqatdir. Masalan, sonlarni nolga bo'lish mumkin emas, manfiy sonlardan juft ildiz olish ham mumkin emas. Logarifmlarning ham o'z qoidalari bor, ularga rioya qilgan holda siz hatto uzoq va sig'imli logarifmik ifodalar bilan ham ishlashni oson o'rganishingiz mumkin:

"a" ning asosi har doim noldan katta bo'lishi va bir vaqtning o'zida 1 ga teng bo'lmasligi kerak, aks holda ifoda o'z ma'nosini yo'qotadi, chunki "1" va "0" har qanday darajada har doim ularning qiymatlariga teng;
agar > 0 boʻlsa, ab>0,“c” ham noldan katta bo‘lishi kerak ekan.

Logarifmlarni qanday yechish mumkin?

Masalan, 10^x=100 tenglamaga javob topish vazifasi berilgan. Bu juda oson, siz o'n sonini ko'tarib, bunday quvvatni tanlashingiz kerak, biz olish 100. Bu, albatta, Xo'sh, kvadratik kuch! 10^2=100.

Endi bu ifodani logarifmik sifatida ifodalaylik. Biz log_{10100=2 ni olamiz. Logarifmlarni yechishda barcha amallar amalda berilgan sonni olish uchun logarifm asosini kiritish kerak boʻlgan quvvatni topishga yaqinlashadi.}

Noma'lum daraja qiymatini aniq aniqlash uchun siz darajalar jadvali bilan ishlashni o'rganishingiz kerak. Bu shunday ko'rinadi:

Koʻrib turganingizdek, agar sizda texnik fikrlash va koʻpaytirish jadvalini bilsangiz, baʼzi koʻrsatkichlarni intuitiv tarzda taxmin qilish mumkin. Biroq, kattaroq qiymatlar quvvat jadvalini talab qiladi. Bu murakkab matematik mavzularda umuman hech narsani tushunmaydiganlar ham foydalanishi mumkin. Chap ustunda raqamlar mavjud (a asosi), raqamlarning yuqori qatori c kuchining qiymati bo'lib, a soni ko'tariladi. Chorrahada hujayralar javob bo'lgan raqamlarning qiymatlarini belgilaydi (ac=b). Masalan, 10 raqami bo'lgan birinchi katakchani olaylik va uning kvadratini olamiz, biz ikkita katakchamizning kesishmasida ko'rsatilgan 100 qiymatini olamiz. Hammasi shu qadar sodda va osonki, hatto eng haqiqiy gumanist ham tushunadi!

Tenglamalar va tengsizliklar

Ma'lum bo'lishicha, qachonMuayyan sharoitlarda ko'rsatkich logarifmdir. Shuning uchun har qanday matematik sonli ifodalarni logarifmik tenglama sifatida yozish mumkin. Misol uchun, 3⁴=81 81 ning 3 ta asosga logarifmi sifatida yozilishi mumkin, bu to'rtta (log₃81=4). Salbiy darajalar uchun qoidalar bir xil: 2^-5=1/32 logarifm sifatida yoziladi, biz log_{2 (1/32) olamiz)=-5. Matematikaning eng qiziqarli bo'limlaridan biri "logarifmlar" mavzusidir. Biz misollar va tenglamalarning yechimlarini ularning xususiyatlarini o'rgangandan so'ng, biroz pastroq ko'rib chiqamiz. Hozircha tengsizliklar qanday ko‘rinishini va ularni tenglamalardan qanday ajratish mumkinligini ko‘rib chiqamiz.}

Quyidagi ifoda berilgan: log_{2(x-1) > 3 - bu logarifmik tengsizlik, chunki noma'lum qiymat "x" belgisi ostida joylashgan. logarifm. Ifoda shuningdek, ikkita qiymatni solishtiradi: kerakli sonning asosiy ikki logarifmi uchinchi raqamdan katta.}

Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar orasidagi eng muhim farq shundaki, logarifmli tenglamalar (misol - logarifm₂x=√9) _{javobda bir yoki bir nechta aniq raqamli qiymatlar, tengsizlikni yechishda ham qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni, ham ushbu funktsiyaning to'xtash nuqtalari aniqlanadi. Natijada, javob tenglamaning javobidagi kabi oddiy raqamlar to‘plami emas, balki uzluksiz qator yoki raqamlar to‘plamidir.}

misollar bilan logarifmlarning xossalari

Logarifmlar haqidagi asosiy teoremalar

Logarifmning qiymatlarini topish uchun ibtidoiy vazifalarni yechishda siz uning xususiyatlarini bilmasligingiz mumkin. Biroq, logarifmik tenglamalar yoki tengsizliklar haqida gap ketganda, birinchi navbatda, logarifmlarning barcha asosiy xususiyatlarini aniq tushunish va amalda qo'llash kerak. Tenglamalar misollari bilan keyinroq tanishamiz, avval har bir xususiyatni batafsil tahlil qilaylik.

Asosiy identifikator quyidagicha koʻrinadi: alogaB=B. Bu faqat a 0 dan katta, birga teng emas va B noldan katta bo‘lsa amal qiladi.

Mahsulotning logarifmini quyidagi formulada ifodalash mumkin: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{Bunda majburiy shart: d, s}1 _{va s}2 _{> 0; a≠1. Siz logarifmlarning ushbu formulasini misollar va yechim bilan isbotlashingiz mumkin. log}a_s1 _=f1 _{va log}a_{s ruxsat bering} 2_=f2_{, keyin a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Biz shuni tushunamizki, s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(darajali xususiyatlar) va ta'rifi bo'yicha: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{bu isbotlanishi kerak edi.}

Qismning logarifmi quyidagicha ko'rinadi: log_a(s_1/s₂)=log _as₁- log_as_2.

Formula koʻrinishidagi teorema quyidagi koʻrinishga ega: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Ushbu formula "logarifm darajasining xossasi" deb ataladi. Bu oddiy darajalarning xususiyatlariga o'xshaydi va bu ajablanarli emas, chunki barcha matematika muntazam postulatlarga tayanadi. Keling, dalilni ko'rib chiqaylik.

Let log_ab=t, biz ^t=b olamiz. Agar ikkala tomonni m kuchiga ko'tarsangiz: a^tn=b^;

lekin chunki a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, shuning uchun log}aq _bn=(nt)/t, keyin log^a_q b_n=n/q log^ab. Teorema isbotlangan.

Muammolar va tengsizliklarga misollar

Logarifm masalalarining eng keng tarqalgan turlari tenglamalar va tengsizliklarga misollardir. Ular deyarli barcha muammoli kitoblarda uchraydi, shuningdek, matematikadan imtihonlarning majburiy qismiga kiritilgan. Universitetga kirish yoki matematikadan kirish testlaridan o‘tish uchun bunday masalalarni qanday to‘g‘ri yechish kerakligini bilish kerak.

Afsuski, logarifmning noma’lum qiymatini yechish va aniqlashning yagona rejasi yoki sxemasi yo’q, lekin har bir matematik tengsizlik yoki logarifmik tenglamaga ma’lum qoidalar qo’llanilishi mumkin. Avvalo, ifodani soddalashtirish yoki umumiy shaklga qisqartirish mumkinligini aniqlashingiz kerak. Uzoq logarifmik ifodalarni ularning xossalaridan to‘g‘ri foydalansangiz, soddalashtirishingiz mumkin. Tez orada ular bilan tanishamiz.

Logarifmik tenglamalarni yechishda,oldimizda qanday logarifm borligini aniqlashimiz kerak: ifoda misolida natural logarifm yoki kasr bo‘lishi mumkin.

Mana oʻnlik logarifmlarga misollar: ln100, ln1026. Ularning yechimi shundan iboratki, siz 10-bazasi mos ravishda 100 va 1026 ga teng bo'lish darajasini aniqlashingiz kerak. Tabiiy logarifmlarning yechimlari uchun logarifmik identifikatsiyalar yoki ularning xossalarini qo'llash kerak. Keling, har xil turdagi logarifmik masalalarni yechish misollarini ko'rib chiqaylik.

Logarifm formulalaridan qanday foydalanish kerak: misollar va yechimlar bilan

Demak, keling, logarifmlar haqidagi asosiy teoremalardan foydalanish misollarini koʻrib chiqaylik.

Mahsulot logarifmi xossasidan b sonining katta qiymatini oddiyroq omillarga ajratish zarur boʻlgan vazifalarda foydalanish mumkin. Masalan, log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. Javob: 9.}

log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - koʻrib turganingizdek, logarifm darajasining toʻrtinchi xususiyatini qoʻllash orqali biz birinchi qarashdayoq hal qilishga muvaffaq boʻldik. murakkab va yechilmaydigan ifoda. Bazani koeffitsientga kiritish va logarifm belgisidan quvvatni olish kifoya.}

Imtihon topshiriqlari

Logarifmlar ko'pincha kirish imtihonlarida uchraydi, ayniqsa Yagona davlat imtihonida ko'plab logarifmik muammolar (barcha maktab bitiruvchilari uchun davlat imtihoni). Odatda bu vazifalar nafaqat A qismida (eng ko'pimtihonning oson test qismi), balki C qismida (eng qiyin va hajmli vazifalar). Imtihon "Tabiiy logarifmlar" mavzusini aniq va mukammal bilishni talab qiladi.

Misollar va muammo yechimlari imtihonning rasmiy versiyalaridan olingan. Keling, bunday vazifalar qanday hal qilinishini ko'rib chiqaylik.

Belgilangan log₂(2x-1)=4. Yechim:

ifodani biroz soddalashtirib qayta yozing log_2(2x-1)=22^{, logarifm ta'rifiga ko'ra biz 2x-1=2}4 ^{ni olamiz, shuning uchun 2x=17; x=8, 5.}

Bir nechta koʻrsatmalarga amal qilgan holda logarifm belgisi ostidagi ifodalarni oʻz ichiga olgan barcha tenglamalarni osonlikcha yechish mumkin.

Yechish qiyin va chalkash boʻlmasligi uchun barcha logarifmlarni bir xil asosga qisqartirgan maʼqul.
Logarifm belgisi ostidagi barcha ifodalar musbat deb koʻrsatilgan, shuning uchun logarifm belgisi ostidagi va uning asosi sifatidagi ifodaning koʻrsatkichini koʻpaytirishda logarifm ostida qolgan ifoda musbat boʻlishi kerak.