Ayra ichiga yozilgan toʻrtburchak. ABCD to'rtburchak doira ichiga chizilgan

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-02 17:58

Matematikaning algebra va geometriyaga boʻlinishi bilan oʻquv materiali qiyinlashadi. Yangi raqamlar va ularning maxsus holatlari paydo bo'ladi. Materialni yaxshi tushunish uchun ob'ektlarning tushunchalari, xossalari va tegishli teoremalarni o'rganish kerak.

Umumiy tushunchalar

To'rtburchak geometrik figurani bildiradi. U 4 balldan iborat. Bundan tashqari, ulardan 3 tasi bir xil to'g'ri chiziqda joylashgan emas. Belgilangan nuqtalarni ketma-ket bog‘lovchi segmentlar mavjud.

Maktab geometriya kursida oʻrganilgan barcha toʻrtburchaklar quyidagi diagrammada koʻrsatilgan. Xulosa: taqdim etilgan rasmdagi har qanday ob'ekt oldingi rasmdagi xususiyatlarga ega.

To'rtburchak quyidagi turdagi bo'lishi mumkin:

Parallelogramma. Uning qarama-qarshi tomonlari parallelligi tegishli teoremalar bilan isbotlangan.
Trapesiya. Poydevorlari parallel bo'lgan to'rtburchak. Qolgan ikki tomon emas.
Toʻrtburchak. Barcha 4 burchagi bo'lgan raqam=90º.
Romb. Barcha tomonlari teng boʻlgan raqam.
Kvadrat. Oxirgi ikki raqamning xususiyatlarini birlashtiradi. Uning barcha tomonlari teng va barcha burchaklari to‘g‘ri.

Bu mavzuning asosiy ta'rifi aylana ichiga chizilgan to'rtburchakdir. U quyidagilardan iborat. Bu aylana tasvirlangan rasm. U barcha burchaklardan o'tishi kerak. Aylana ichiga chizilgan to‘rtburchakning ichki burchaklari yig‘indisi 360º ga teng.

Har bir toʻrtburchakni yozib boʻlmaydi. Buning sababi shundaki, 4 tomonning perpendikulyar bissektrisalari bir nuqtada kesishmasligi mumkin. Bu 4 burchakli aylana markazini topishni imkonsiz qiladi.

Maxsus holatlar

Har bir qoidada istisnolar mavjud. Shunday qilib, ushbu mavzuda alohida holatlar ham mavjud:

Parallelogrammani aylana ichiga yozib bo'lmaydi. Faqat uning maxsus ishi. Bu toʻrtburchak.
Agar rombning barcha uchlari aylana chizig'ida bo'lsa, u kvadratdir.
Trapezoidning barcha uchlari aylana chegarasida joylashgan. Bu holda ular teng yonli figura haqida gapiradi.

Aylanaga chizilgan toʻrtburchakning xossalari

Mavzuga oid oddiy va murakkab masalalarni echishdan oldin bilimingizni tekshirishingiz kerak. O'quv materialini o'rganmay turib, bitta misolni yechish mumkin emas.

Teorema 1

Aylana ichiga chizilgan toʻrtburchakning qarama-qarshi burchaklarining yigʻindisi 180º ga teng.

aylanaga chizilgan to'rtburchakning xossalari

Isbot

Berilgan: ABCD to'rtburchak aylana ichiga chizilgan. Uning markazi O nuqta. Biz _<A + _<C=180º va _< ekanligini isbotlashimiz kerak. B + _<D=180º.

Taqdim etilgan raqamlarni hisobga olish kerak.

_{<A markazi O nuqtada joylashgan aylana ichiga yozilgan. U ½ BCD (yarim yoy) orqali o'lchanadi.}

_{<C xuddi shu doira ichiga yozilgan. U ½ BAD (yarim yoy) orqali o'lchanadi.}
BAD va BCD butun aylana hosil qiladi, ya'ni ularning kattaligi 360º.

_<A + _{<C ifodalangan yarim yoylar yigʻindisining yarmiga teng.}

Demak, _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

aylana ichiga chizilgan to'rtburchakning burchaklari

Xuddi shunday, _<B va _{<D uchun dalil. Biroq, muammoning ikkinchi yechimi bor.}

Ma'lumki, to'rtburchakning ichki burchaklarining yig'indisi 360º ga teng.

Chunki _<A + _<C=180º. Shunga ko'ra, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

2-teorema

(Koʻpincha teskari deyiladi) Agar toʻrtburchakda _<A + _<C=180º va _{<B +} <_{D=180º (agar ular qarama-qarshi bo'lsa), unda bunday raqam atrofida aylana tasvirlanishi mumkin.}

Isbot

180º ga teng ABCD toʻrtburchakning qarama-qarshi burchaklari yigʻindisi berilgan. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. ABCD atrofida aylana chegaralanishi mumkinligini isbotlashimiz kerak.}

Geometriya kursidan ma'lumki, to'rtburchakning 3 nuqtasi orqali aylana o'tkazish mumkin. Masalan, A, B, C nuqtalaridan foydalanishingiz mumkin. D nuqtasi qayerda joylashgan bo'ladi? 3 ta taxmin bor:

U doira ichida tugaydi. Bu holda D chiziqqa tegmaydi.
Doiradan tashqarida. U belgilangan chiziqdan ancha uzoqqa qadam tashlaydi.
U aylana boʻlib chiqdi.

D aylana ichida joylashgan deb taxmin qilish kerak. Ko'rsatilgan cho'qqining o'rnini D' egallaydi. Bu ABCD´ to'rtburchak bo'lib chiqdi.

Natija:_<B + _{<D´=2 kun.}

Agar biz AD´ ni markazida E nuqtada joylashgan mavjud aylana bilan kesishmagacha davom ettirsak va E va C ni tutashtirsak, chizilgan ABCE toʻrtburchakka ega boʻlamiz. Birinchi teoremadan tenglik kelib chiqadi:

Geometriya qonunlariga koʻra, ifoda haqiqiy emas, chunki _<D´ CD´E uchburchakning tashqi burchagidir. Shunga koʻra, u _{<E dan ortiq boʻlishi kerak. Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, D aylanada yoki uning tashqarisida bo'lishi kerak.}

Shunga oʻxshab, D´´ tasvirlangan raqam chegarasidan tashqariga chiqqanda uchinchi taxmin notoʻgʻri ekanligi isbotlanishi mumkin.

Ikkita gipotezadan yagona toʻgʻrisi chiqadi. Vertex D doira chizig'ida joylashgan. Boshqacha qilib aytganda, D E bilan mos keladi. Bundan kelib chiqadiki, to'rtburchakning barcha nuqtalari tasvirlangan chiziqda joylashgan.

Bulardanikkita teorema, xulosalar quyidagicha:

Har qanday toʻrtburchakni aylana ichiga yozish mumkin. Yana bir oqibat bor. Har qanday toʻrtburchak atrofida aylana chizilishi mumkin

Bir xil sonli trapezoidni aylana ichiga yozish mumkin. Boshqacha qilib aytganda, bu shunday eshitiladi: trapezoid atrofida aylana teng qirralarga ega bo'lishi mumkin

Bir nechta misollar

Muammo 1. ABCD to'rtburchak doira ichiga chizilgan. _<ABC=105º, _<SAPR=35º. _{<ABD ni topish kerak. Javob darajalarda yozilishi kerak.}

Qaror. Avvaliga javob topish qiyindek tuyulishi mumkin.

1. Ushbu mavzudagi xususiyatlarni eslab qolishingiz kerak. Ya'ni: qarama-qarshi burchaklar yig'indisi=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

Geometriyada printsipga sodiq qolgan ma'qul: qo'lingizdan kelganini toping. Keyinchalik foydali.

2. Keyingi qadam: uchburchak yig‘indisi teoremasidan foydalaning.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 75º=70º}

_<ABD va _{<ACD yozilgan. Shartga ko'ra, ular bitta yoyga tayanadilar. Shunga ko'ra, ular teng qiymatlarga ega:}

_<ABD=_<ACD=70º

Javob: _<ABD=70º.

Muammo 2. BCDE - aylana ichiga chizilgan to'rtburchak. _<B=69º, _<C=84º. Doira markazi E nuqta. Toping - _<E.

to'rtburchak ABCD aylana ichiga chizilgan

Qaror.

1-teorema boʻyicha _{<E ni topish kerak.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Javob: _{< E=96º.}

Muammo 3. Aylana ichiga chizilgan toʻrtburchak berilgan. Ma'lumotlar rasmda ko'rsatilgan. Noma'lum qiymatlarni topish kerak x, y, z.

Yechim:

z=180º – 93º=87º (1-teorema boʻyicha)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (1-teorema boʻyicha)

Javob: z=87º, x=82º, y=98º.

Muammo 4. Aylana ichiga chizilgan to'rtburchak bor. Qiymatlar rasmda ko'rsatilgan. x, y ni toping.

Yechim:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Javob: x=100º, y=109º.

Mustaqil yechim uchun muammolar

Misol 1. Doira berilgan. Uning markazi O nuqtadir. AC va BD diametrlari. _<ACB=38º. _{<AOD topish kerak. Javob darajalarda berilishi kerak.}

2-misol. ABCD to'rtburchak va uning atrofida aylana berilgan. _<ABC=110º, _<ABD=70º. _{<CAD toping. Javobingizni darajalarda yozing.}

3-misol. Aylana va chizilgan ABCD to'rtburchak berilgan. Uning ikkita burchagi 82º va58º. Qolgan burchaklarning eng kattasini topib, javobni darajalarda yozishingiz kerak.

to'rtburchak abcd aylana ichiga yozilgan

Misol 4. ABCD to'rtburchakli berilgan. A, B, C burchaklar 1:2:3 nisbatda berilgan. Belgilangan to'rtburchakni aylanaga yozish mumkin bo'lsa, D burchagini topish kerak. Javob darajalarda berilishi kerak.

Misol 5. ABCD to'rtburchakli berilgan. Uning yon tomonlari aylana yoylarini hosil qiladi. AB, BC, CD va AD daraja qiymatlari mos ravishda: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Berilgan toʻrtburchakdan _{<topishingiz va javobni darajalarda yozishingiz kerak.}