Moddiy nuqta va qattiq jismning inersiya momenti: formulalar, Shtayner teoremasi, masalani yechish misoli

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2023-12-17 05:45

Aylanma harakatining dinamikasi va kinematikasini miqdoriy o’rganish uchun moddiy nuqta va qattiq jismning aylanish o’qiga nisbatan inersiya momentini bilish kerak. Biz maqolada qaysi parametr haqida gapirayotganimizni ko'rib chiqamiz, shuningdek uni aniqlash formulasini beramiz.

Jismoniy miqdor haqida umumiy ma'lumot

Avval moddiy nuqta va qattiq jismning inersiya momentini aniqlaymiz, soʻngra undan amaliy masalalarni yechishda qanday foydalanish kerakligini koʻrsatamiz.

Oʻq atrofida r masofada aylanuvchi massasi m boʻlgan nuqta uchun koʻrsatilgan jismoniy xarakteristikada quyidagi qiymat tushuniladi:

I=mr².

Bundan kelib chiqadiki, oʻrganilayotgan parametrning oʻlchov birligi kvadrat metr uchun kilogramm (kgm²).

Agar oʻq atrofidagi nuqta oʻrniga oʻz ichida massasi ixtiyoriy taqsimlangan murakkab shakldagi jism aylansa, uning inersiya momenti aniqlanadi.shunday:

I=∫_m(r²dm)=r∫_V(r²dV).

Bu yerda r - tananing zichligi. Integral formuladan foydalanib, har qanday aylanish tizimi uchun I qiymatini aniqlashingiz mumkin.

Inersiya momenti aylanma uchun xuddi massa translatsiya harakati uchun qanday ma'noga ega. Misol uchun, hamma biladiki, pol mopini perpendikulyar o'qdan o'tadigan o'q atrofida aylantirish osonroq. Buning sababi birinchi holatda inersiya momenti ikkinchisiga qaraganda ancha kichik.

Men turli shakldagi jismlarni qadrlayman

Fizikadan aylanishga oid masalalarni yechishda koʻpincha maʼlum geometrik shakldagi jism uchun, masalan, silindr, shar yoki novda uchun inersiya momentini bilish kerak boʻladi. Agar yuqorida yozilgan formulani I uchun qo'llasak, unda barcha belgilangan jismlar uchun mos ifodani olish oson bo'ladi. Quyida ulardan ba'zilari uchun formulalar keltirilgan:

tayoq: I=1/12ML²;

silindr: I=1/2MR²;

sfera: I=2 / 5MR².

Bu erda men tananing massa markazidan o'tadigan aylanish o'qi uchun berilgan. Silindr bo'lsa, o'q shaklning generatoriga parallel. Boshqa geometrik jismlar uchun inersiya momentini va aylanish o'qlarini joylashtirish variantlarini mos keladigan jadvallarda topish mumkin. E'tibor bering, I turli raqamlarni aniqlash uchun faqat bitta geometrik parametr va tananing massasini bilish kifoya.

Shtayner teoremasi va formulasi

Agar aylanish oʻqi tanadan maʼlum masofada joylashgan boʻlsa, inersiya momentini aniqlash mumkin. Buni amalga oshirish uchun siz ushbu segmentning uzunligini va uning massasi markazidan o'tadigan o'qga nisbatan tananing I_O qiymatini bilishingiz kerak, bu esa ostidagi qismga parallel bo'lishi kerak. hisobga olish. I_O parametri bilan I noma'lum qiymat o'rtasida bog'lanishni o'rnatish Shtayner teoremasida o'rnatiladi. Moddiy nuqta va qattiq jismning inersiya momenti matematik tarzda quyidagicha yoziladi:

I=I_O+ Mh².

Bu erda M - jismning massasi, h - massa markazidan aylanish o'qigacha bo'lgan masofa, unga nisbatan I hisoblash kerak. Bu ifodani mustaqil ravishda olish oson, agar siz I uchun integral formuladan foydalaning va tananing barcha nuqtalari masofada ekanligini hisobga oling r=r₀ + h.

Shtayner teoremasi ko'pgina amaliy vaziyatlar uchun I ning ta'rifini sezilarli darajada soddalashtiradi. Masalan, uzunligi L va massasi M bo'lgan novda uchun uning uchidan o'tuvchi o'qga nisbatan I topish kerak bo'lsa, Shtayner teoremasini qo'llash sizga quyidagilarni yozishga imkon beradi:

I=I_O+ M(L / 2)²=1 / 12ML ²+ ML² / 4=ML² / 3.

Tegishli jadvalga murojaat qilib, uning oxirida aylanish oʻqi boʻlgan yupqa novda uchun aynan shu formula borligini koʻrishingiz mumkin.

Moment tenglamasi

Aylanish fizikasida momentlar tenglamasi deb ataladigan formula mavjud. Bu shunday ko'rinadi:

M=Mena.

Bu yerda M - kuch momenti, a - burchak tezlanishi. Ko'rib turganingizdek, moddiy nuqta va qattiq jismning inersiya momenti va kuch momenti bir-biriga chiziqli bog'liqdir. M qiymati ba'zi F kuchning tizimda a tezlanishi bilan aylanish harakatini yaratish imkoniyatini aniqlaydi. M ni hisoblash uchun quyidagi oddiy ifodadan foydalaning:

M=Fd.

Bu erda d momentning yelkasi, F kuch vektoridan aylanish o'qigacha bo'lgan masofaga teng. Qo'l d qanchalik kichik bo'lsa, kuchning tizimning aylanishini yaratish qobiliyati shunchalik kam bo'ladi.

Momentlar tenglamasi oʻz maʼnosiga koʻra Nyutonning ikkinchi qonuniga toʻliq mos keladi. Bu holda, men inertial massa rolini o'ynaydi.

Muammo yechishga misol

Keling, vaznsiz gorizontal tayoq bilan vertikal o'qga mahkamlangan silindr bo'lgan tizimni tasavvur qilaylik. Ma'lumki, silindrning aylanish o'qi va asosiy o'qi bir-biriga parallel bo'lib, ular orasidagi masofa 30 sm. Tsilindrning massasi 1 kg, radiusi esa 5 sm. Kuch 10 ga teng. N aylanish traektoriyasiga teginish vektori silindrning asosiy o'qi orqali o'tadigan shaklga ta'sir qiladi. Bu kuch sabab bo'ladigan figuraning burchak tezlanishini aniqlash kerak.

Avval I silindrning inersiya momentini hisoblaymiz. Buning uchun Shtayner teoremasini qo'llang, bizda:

I=I_O+ M d²=1/2MR² + Md²=1/210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².

Moment tenglamasidan foydalanishdan oldin kerakM kuch momentini aniqlang. Bu holda bizda:

M=Fd=100, 3=3 Nm.

Endi siz tezlanishni aniqlashingiz mumkin:

a=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².

Hisoblangan burchak tezlashuvi silindr tezligi har soniyada sekundiga 5,2 aylanishga oshishini bildiradi.