Har bir talaba dumaloq konus haqida eshitgan va bu uch oʻlchamli figuraning qanday koʻrinishini tasavvur qiladi. Ushbu maqola konusning rivojlanishini belgilaydi, uning xususiyatlarini tavsiflovchi formulalar beradi va uni kompas, transportyor va to'g'ri chiziq yordamida qanday qurishni tasvirlaydi.
Geometriyada aylana konus
Bu figuraga geometrik ta'rif beraylik. Dumaloq konus - bu ma'lum bir doiraning barcha nuqtalarini kosmosdagi bitta nuqta bilan bog'laydigan to'g'ri chiziq segmentlaridan hosil bo'lgan sirt. Bu yagona nuqta aylana yotadigan tekislikka tegishli bo'lmasligi kerak. Agar aylana o‘rniga aylana olsak, bu usul ham konusga olib keladi.
Doira figuraning asosi deyiladi, uning aylanasi direktrisadir. Nuqtani direktrisa bilan bog‘laydigan segmentlar generatrislar yoki generatorlar deb ataladi va ularning kesishgan nuqtasi konusning cho‘qqisidir.
Dumaloq konus tekis va qiya bo'lishi mumkin. Ikkala raqam ham quyidagi rasmda ko'rsatilgan.
Ular orasidagi farq quyidagicha: agar konusning tepasidan perpendikulyar aylana markaziga toʻgʻri tushsa, u holda konus toʻgʻri boʻladi. Uning uchun figuraning balandligi deb ataladigan perpendikulyar uning o'qining bir qismidir. Qiya konusda balandlik va o'q o'tkir burchak hosil qiladi.
Shaklning soddaligi va simmetriyasi tufayli biz faqat dumaloq asosli to'g'ri konusning xususiyatlarini ko'rib chiqamiz.
Burish yordamida shakl olinmoqda
Konus yuzasining rivojlanishini ko'rib chiqishdan oldin, bu fazoviy raqamni aylanish yordamida qanday olish mumkinligini bilish foydalidir.
Tomonlari a, b, c boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchak bor deylik. Ulardan birinchi ikkitasi oyoqlar, c gipotenuzadir. Uchburchakni a oyog'iga qo'yib, uni b oyog'i atrofida aylantira boshlaymiz. Keyin c gipotenuzasi konusning sirtini tasvirlaydi. Ushbu oddiy konusning texnikasi quyidagi diagrammada ko'rsatilgan.
Shubhasiz, a oyogʻi figura asosining radiusi, b oyogʻi uning balandligi, c gipotenuzasi esa dumaloq oʻng konusning generatrisasiga toʻgʻri keladi.
Konusning rivojlanishining koʻrinishi
Siz taxmin qilganingizdek, konus ikki turdagi sirtdan hosil bo'ladi. Ulardan biri tekis asosli doiradir. Faraz qilaylik, uning radiusi r. Ikkinchi sirt lateral bo'lib, konus deyiladi. Uning generatori g ga teng bo'lsin.
Agar bizda qog'oz konus bo'lsa, biz qaychi olib, undan poydevorni kesib tashlashimiz mumkin. Keyin, konusning sirtini kesish kerakhar qanday generatrix bo'ylab va uni samolyotda joylashtiring. Shu tarzda biz konusning lateral yuzasining rivojlanishini oldik. Ikki yuza asl konus bilan birgalikda quyidagi diagrammada ko'rsatilgan.
Asosiy doira pastki oʻng tomonda tasvirlangan. Ochilmagan konusning yuzasi markazda ko'rsatilgan. Ma'lum bo'lishicha, u aylananing qandaydir aylana sektoriga to'g'ri keladi, uning radiusi g generatrix uzunligiga teng.
Burchak va maydonni tekshirish
Endi biz ma'lum g va r parametrlaridan foydalanib, konusning maydoni va burchagini hisoblash imkonini beruvchi formulalarni olamiz.
Shubhasiz, rasmda yuqorida ko'rsatilgan dumaloq sektor yoyi asosning aylanasiga teng uzunlikka ega, ya'ni:
l=2pir.
Agar radiusi g boʻlgan butun aylana qurilgan boʻlsa, uning uzunligi quyidagicha boʻlar edi:
L=2pig.
L uzunligi 2pi radianga toʻgʻri kelganligi sababli, l yoyi tayangan burchakni mos keladigan nisbatdan aniqlash mumkin:
L==>2pi;
l==> ph.
Unda noma'lum burchak ph ga teng bo'ladi:
ph=2pil/L.
l va L uzunliklari uchun ifodalarni almashtirib, konusning lateral yuzasining rivojlanish burchagi formulasiga erishamiz:
ph=2pir/g.
Bu yerda ph burchagi radyanlarda ifodalangan.
Diraviy sektorning Sbsudini aniqlash uchun ph ning topilgan qiymatidan foydalanamiz. Biz yana bitta proportsiya qilamiz, faqat hududlar uchun. Bizda:
2pi==>pig2;
ph==> Sb.
Sb ni qayerdan ifodalash kerak va keyin ph burchagi qiymatini almashtiring. Biz olamiz:
Sb=phg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Konussimon yuzaning maydoni uchun biz juda ixcham formulani oldik. Sb qiymati uchta omil koʻpaytmasiga teng: pi, rasm radiusi va uning generatrix.
Unda rasmning butun yuzasining maydoni Sb va So yigindisiga teng bo'ladi (dumaloq tayanch maydoni). Biz formulani olamiz:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Qog'ozda konusni supurish
Bu vazifani bajarish uchun sizga qog'oz varag'i, qalam, transportyor, o'lchagich va kompas kerak bo'ladi.
Avval tomonlari 3 sm, 4 sm va 5 sm boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchak chizamiz. Uning oyoq atrofida 3 sm ga aylanishi kerakli konusni beradi. Rasmda r=3 sm, h=4 sm, g=5 sm.
Supurishni qurish kompas bilan r radiusli doira chizishdan boshlanadi. Uning uzunligi 6pi sm ga teng bo'ladi. Endi uning yonida biz yana bir doira chizamiz, lekin radiusi g. Uning uzunligi 10pi sm ga to'g'ri keladi. Endi biz katta doiradan dumaloq sektorni kesib olishimiz kerak. Uning ph burchagi:
ph=2pir/g=2pi3/5=216o.
Endi biz bu burchakni transportyor yordamida radiusi g boʻlgan doira ustiga qoʻyamiz va dumaloq sektorni cheklaydigan ikkita radius chizamiz.
Shunday qilibShunday qilib, biz radius, balandlik va generatrixning belgilangan parametrlari bilan konusning ishlanmasini yaratdik.
Geometrik masalani yechishga misol
Dumaloq tekis konus berilgan. Ma'lumki, uning lateral supurish burchagi 120o. Konusning balandligi h 10 sm ekanligi ma'lum bo'lsa, bu raqamning radiusi va generatrisini topish kerak.
Dumaloq konus to'g'ri burchakli uchburchakning aylanish figurasi ekanligini eslasak, vazifa qiyin emas. Ushbu uchburchakdan balandlik, radius va generatrix o'rtasidagi aniq munosabat kelib chiqadi. Tegishli formulani yozamiz:
g2=h2+ r2.
Yechishda ishlatiladigan ikkinchi ifoda ph burchagi formulasi:
ph=2pir/g.
Shunday qilib, ikkita noma'lum miqdorga (r va g) tegishli ikkita tenglama mavjud.
Ikkinchi formuladan g ni ifodalang va natijani birinchisiga almashtiring, biz quyidagilarni olamiz:
g=2pir/ph;
h2+ r2=4pi2r 2/ph2=>
r=h /√(4pi2/ph2 - 1).
Radianlarda ph=120o burchak 2pi/3. Biz bu qiymatni almashtiramiz, r va g uchun yakuniy formulalarni olamiz:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Balandlik qiymatini almashtirish va muammoli savolga javob olish qoladi: r ≈ 3,54 sm, g ≈ 10,61 sm.
