Kosmosdagi raqamlarni ko'rib chiqayotganda, ko'pincha ularning sirt maydonini aniqlashda muammolar paydo bo'ladi. Bunday figuralardan biri konusdir. Maqolada ko'rib chiqing, dumaloq asosli konusning yon yuzasi, shuningdek, kesilgan konus.
Dumaloq asosli konus
Konusning lateral yuzasini ko'rib chiqishga o'tishdan oldin uning qanday figura ekanligini va uni geometrik usullar yordamida qanday olish mumkinligini ko'rsatamiz.
Toʻgʻri burchakli ABC uchburchakni oling, bu erda AB va AC oyoqlardir. Keling, bu uchburchakni AC oyog'iga qo'yamiz va uni AB oyog'i atrofida aylantiramiz. Natijada, AC va BC tomonlari quyida ko'rsatilgan rasmning ikkita yuzasini tasvirlaydi.
Burish natijasida olingan figuraga dumaloq tekis konus deyiladi. U dumaloq, chunki uning asosi aylana bo'lib, to'g'ri, chunki figuraning yuqori qismidan chizilgan perpendikulyar (B nuqta) uning markazida aylana bilan kesishadi. Ushbu perpendikulyarning uzunligi balandlik deb ataladi. Shubhasiz, u AB oyog'iga teng. Balandlik odatda h harfi bilan belgilanadi.
Balandlikdan tashqari, ko'rib chiqilgan konus yana ikkita chiziqli xarakteristikalar bilan tavsiflanadi:
- generator yoki generatrix (miloddan avvalgi gipotenuza);
- tayanch radiusi (oyoq AC).
Radius r harfi bilan, generatoratrix esa g bilan belgilanadi. Keyin, Pifagor teoremasini hisobga olgan holda, biz ko'rib chiqilayotgan raqam uchun muhim bo'lgan tenglikni yozishimiz mumkin:
g2=h2+ r2
Konussimon yuza
Barcha generatrisalarning yigʻindisi konusning konussimon yoki lateral yuzasini hosil qiladi. Tashqi ko'rinishida, qaysi tekis raqamga mos kelishini aytish qiyin. Ikkinchisi konusning sirt maydonini aniqlashda bilish muhimdir. Ushbu muammoni hal qilish uchun tozalash usuli qo'llaniladi. U quyidagilardan iborat: sirt ixtiyoriy generatrix bo'ylab aqliy ravishda kesiladi, so'ngra u tekislikda ochiladi. Supurishni olishning ushbu usuli bilan quyidagi tekis raqam hosil bo'ladi.
Siz taxmin qilganingizdek, doira asosga toʻgʻri keladi, lekin aylana sektor konussimon sirt boʻlib, uning maydoni bizni qiziqtiradi. Sektor ikkita generatris va yoy bilan chegaralangan. Ikkinchisining uzunligi taglik aylanasining perimetriga (uzunligi) to'liq tengdir. Bu xususiyatlar aylana sektorining barcha xususiyatlarini o'ziga xos tarzda aniqlaydi. Biz oraliq matematik hisoblarni bermaymiz, lekin darhol yakuniy formulani yozamiz, uning yordamida konusning lateral yuzasining maydonini hisoblashingiz mumkin. Formula:
Sb=pigr
Konussimon yuzaning maydoni Sb ikki parametr va Pi koʻpaytmasiga teng.
Kesik konus va uning yuzasi
Agar oddiy konusni olib, uning tepasini parallel tekislik bilan kesib olsak, qolgan rasm kesilgan konus bo'ladi. Uning lateral yuzasi ikkita dumaloq asos bilan cheklangan. Ularning radiuslarini R va r deb belgilaymiz. Shaklning balandligini h, generatrixni esa g bilan belgilaymiz. Quyida bu raqam uchun qog‘oz kesilgan.
Ko'rinib turibdiki, yon sirt endi aylana bo'lmagan sektor emas, uning maydoni kichikroq, chunki undan markaziy qism uzilgan. Rivojlanish to'rtta chiziq bilan cheklangan, ulardan ikkitasi to'g'ri chiziqli segmentlar-generatorlar, qolgan ikkitasi kesilgan konusning asoslarining mos keladigan doiralari uzunliklari bilan yoylar.
Yon yuza Sbquyidagicha hisoblangan:
Sb=pig(r + R)
Generatrix, radius va balandlik quyidagi tenglik bilan bog'langan:
g2=h2+ (R - r)2
Raqamlar maydonlarining tengligi bilan bog'liq muammo
Balandligi 20 sm va tayanch radiusi 8 sm bo'lgan konus berilgan. Yana yuzasi shu konus bilan bir xil maydonga ega bo'lgan kesilgan konusning balandligini topish kerak. Kesilgan figura bir xil asosda qurilgan va yuqori poydevorning radiusi 3 sm.
Avval konus va kesilgan figuraning maydonlari tenglik shartini yozamiz. Bizda:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Endi har bir shaklning generatrisalari uchun ifodalarni yozamiz:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Teng maydonlar uchun formulaga g1 va g2 oʻrniga qoʻying va chap va oʻng tomonlarini kvadratga aylantiring, biz:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
H2 ifodasini qayerdan olamiz:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Biz bu tenglikni soddalashtirmaymiz, shunchaki shartdan ma'lum bo'lgan ma'lumotlarni almashtiramiz:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 sm
Shunday qilib, raqamlarning yon yuzalarining maydonlarini tenglashtirish uchun kesilgan konus quyidagi parametrlarga ega bo'lishi kerak: R=8 sm, r=3 sm, h2≈ 14, 85 sm.
