Inersiya momentini hisoblash uchun Shtayner teoremasi yoki parallel oʻqlar teoremasi

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2023-12-17 05:45

Aylanma harakatining matematik tavsifida sistemaning o’qga nisbatan inersiya momentini bilish muhim ahamiyatga ega. Umumiy holda, bu miqdorni topish tartibi integratsiya jarayonini amalga oshirishni o'z ichiga oladi. Shtayner teoremasi hisobni osonlashtiradi. Keling, buni maqolada batafsil ko'rib chiqaylik.

Inersiya momenti nima?

Shtayner teoremasining formulasini berishdan oldin, inersiya momenti tushunchasi bilan shug'ullanish kerak. Aytaylik, ma'lum bir massa va ixtiyoriy shakldagi tana bor. Bu jism moddiy nuqta yoki har qanday ikki o'lchovli yoki uch o'lchovli ob'ekt (tayoq, silindr, shar va boshqalar) bo'lishi mumkin. Agar ko'rib chiqilayotgan ob'ekt doimiy burchak tezlanishi a bo'lgan o'q atrofida aylanma harakatni amalga oshirsa, u holda quyidagi tenglama yozilishi mumkin:

M=Ia

Bu yerda M qiymati kuchlarning umumiy momentini ifodalaydi, bu butun tizimga a tezlanishni beradi. Ular orasidagi mutanosiblik koeffitsienti - I, deyiladiinersiya momenti. Ushbu jismoniy miqdor quyidagi umumiy formula yordamida hisoblanadi:

I=∫_m (r²dm)

Bu yerda r - massasi dm bo'lgan element va aylanish o'qi orasidagi masofa. Bu ifoda kvadrat masofalar r² va elementar massa dm ko’paytmalarining yig’indisini topish zarurligini bildiradi. Ya'ni, inersiya momenti jismning sof xarakteristikasi emas, uni chiziqli inersiyadan ajratib turadi. Bu aylanadigan ob'ekt bo'ylab massaning taqsimlanishiga, shuningdek o'qgacha bo'lgan masofaga va tananing unga nisbatan yo'nalishiga bog'liq. Masalan, novda massa markazi va oxiri atrofida aylantirilsa, uning I belgisi boshqacha bo'ladi.

Inersiya momenti va Shtayner teoremasi

Mashhur shveytsariyalik matematigi Yakob Shtayner parallel oʻqlar va inersiya momenti haqidagi teoremani isbotlab berdi, hozir uning nomini olgan. Bu teorema ixtiyoriy geometriyadagi mutlaq har qanday qattiq jismning qaysidir aylanish o‘qiga nisbatan inersiya momenti jismning massa markazini kesib o‘tuvchi va birinchisiga parallel bo‘lgan o‘qga nisbatan inersiya momentining yig‘indisiga teng ekanligini ta’kidlaydi., va tana massasining ko'paytmasi bu o'qlar orasidagi masofaning kvadratiga teng. Matematik jihatdan bu formula quyidagicha yozilgan:

I_Z=I_O + ml²

I_Z va I_O - Z o'qi va unga parallel bo'lgan O o'qiga nisbatan inersiya momentlari, u o'tadi tananing massa markazi orqali, l - Z va O chiziqlar orasidagi masofa.

Teorema I_O qiymatini bilib, hisoblash imkonini beradi.boshqa har qanday lahzada men _Z O ga parallel boʻlgan oʻq atrofida.

Teorema isboti

Shtayner teorema formulasini o'zingiz osongina olishingiz mumkin. Buning uchun xy tekislikdagi ixtiyoriy jismni ko'rib chiqing. Koordinatalarning kelib chiqishi shu jismning massa markazidan o'tsin. Xy tekisligiga perpendikulyar koordinatalar koordinatalaridan o‘tuvchi I_O inersiya momentini hisoblaymiz. Tananing istalgan nuqtasigacha bo'lgan masofa r=√ (x² + y²) formula bilan ifodalanganligi sababli integralni olamiz:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Endi o'qni x o'qi bo'ylab l masofaga, masalan, musbat yo'nalishga parallel ravishda siljitamiz, u holda inersiya momentining yangi o'qi uchun hisoblash quyidagicha bo'ladi:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Qavslar ichidagi toʻliq kvadratni kengaytirib, integrallarni ajratamiz, biz quyidagilarga erishamiz:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x²⁾ +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Ushbu atamalarning birinchisi I_O qiymati, uchinchi aʼzo integratsiyadan soʻng l²m atamasini beradi., va bu erda ikkinchi muddat nolga teng. Belgilangan integralni nolga tenglashtirish uning x va dm massa elementlarining ko'paytmasidan olinganligi bilan bog'liq bo'lib, uO'rtacha nolni beradi, chunki massa markazi boshlang'ichda. Natijada Shtayner teoremasining formulasi olinadi.

Samolyotda ko'rib chiqilayotgan holat uch o'lchamli jismga umumlashtirilishi mumkin.

Tayoq misolida Shtayner formulasini tekshirish

Yuqoridagi teoremadan qanday foydalanishni koʻrsatish uchun oddiy misol keltiramiz.

Ma'lumki, uzunligi L va massasi m bo'lgan novda uchun inersiya momenti I_O (o'q massa markazidan o'tadi) m ga teng. L² /12, va moment I_Z (o'q novda uchidan o'tadi) mL ga teng 2^{/3. Keling, Shtayner teoremasi yordamida ushbu ma'lumotlarni tekshiramiz. Ikki o'q orasidagi masofa L/2 bo'lgani uchun biz momentni olamiz I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Ya'ni, biz Shtayner formulasini tekshirdik va I_Z uchun manbadagi kabi qiymat oldik.

Shunga oʻxshash hisoblar boshqa jismlar (silindr, shar, disk) uchun ham zarur inersiya momentlarini olgan holda va integratsiyani amalga oshirmasdan ham amalga oshirilishi mumkin.

Inersiya momenti va perpendikulyar oʻqlar

Ko'rib chiqilgan teorema parallel o'qlarga tegishli. Ma'lumotlarning to'liqligi uchun perpendikulyar o'qlar uchun teorema berish ham foydalidir. U quyidagicha ifodalanadi: ixtiyoriy shakldagi tekis jism uchun unga perpendikulyar bo'lgan o'qqa nisbatan inersiya momenti ikkita o'zaro perpendikulyar va yotgan ikkita inersiya momentining yig'indisiga teng bo'ladi.ob'ektning o'qlari tekisligida, uchta o'q ham bir xil nuqtadan o'tadi. Matematik jihatdan bu quyidagicha yoziladi:

I_z=I_x + I_y

Bu yerda z, x, y uchta oʻzaro perpendikulyar aylanish oʻqlari.

Bu teorema va Shtayner teoremasi oʻrtasidagi asosiy farq shundaki, u faqat tekis (ikki oʻlchovli) qattiq jismlarga nisbatan qoʻllaniladi. Shunga qaramay, amalda u tanani aqliy ravishda alohida qatlamlarga kesib, so'ngra olingan inersiya momentlarini qo'shib, keng qo'llaniladi.