Polyhedra qadimgi davrlarda ham matematiklar va olimlarning e'tiborini tortgan. Misrliklar piramidalarni qurdilar. Va yunonlar "muntazam ko'p yuzli" ni o'rganishdi. Ular ba'zan Platonik qattiq jismlar deb ataladi. "An'anaviy polyhedra" tekis yuzlar, tekis qirralar va tepaliklardan iborat. Lekin asosiy savol har doim bu alohida qismlar qanday qoidalarni bajarishi kerakligi, shuningdek, ob'ekt ko'pburchak sifatida malakaga ega bo'lishi uchun qanday qo'shimcha global shartlarga rioya qilish kerakligi bo'lib kelgan. Bu savolga javob maqolada keltirilgan.
Aniqlashdagi muammolar
Bu raqam nimadan iborat? Ko'pburchak - bu tekis yuzlari va tekis qirralari bo'lgan yopiq qattiq shakl. Shuning uchun uni aniqlashning birinchi muammosini aniq shaklning tomonlari deb atash mumkin. Samolyotlarda yotgan barcha yuzlar har doim ham ko'pburchakning belgisi emas. Misol tariqasida “uchburchak silindr”ni olaylik. U nimadan iborat? Uning sirtining bir qismi uchta juftdan iboratkesishgan vertikal tekisliklarni ko'pburchak deb bo'lmaydi. Buning sababi shundaki, uning cho'qqilari yo'q. Bunday figuraning yuzasi bir nuqtada uchrashadigan uchta nurlar asosida hosil bo'ladi.
Yana bir muammo - samolyotlar. "Uchburchak silindr" holatida ularning cheksiz qismlarida yotadi. Agar to'plamning istalgan ikkita nuqtasini bog'laydigan chiziq segmenti ham unda bo'lsa, rasm qavariq hisoblanadi. Keling, ularning muhim xususiyatlaridan birini keltiraylik. Qavariq to'plamlar uchun to'plam uchun umumiy nuqtalar to'plami bir xil bo'ladi. Boshqa turdagi raqamlar mavjud. Bular qavariq boʻlmagan 2D koʻpburchaklar boʻlib, ularda tishlari yoki teshiklari bor.
Koʻp yuzli boʻlmagan shakllar
Nuqtalarning tekis to'plami har xil bo'lishi mumkin (masalan, qavariq bo'lmagan) va ko'pburchakning odatiy ta'rifini qoniqtirmaydi. Hatto u orqali ham u chiziqlar bo'limlari bilan cheklangan. Qavariq ko'pburchakning chiziqlari qavariq figuralardan iborat. Biroq, ta'rifga bunday yondashuv cheksizlikka boradigan raqamni istisno qiladi. Bunga bir xil nuqtada to'qnashmaydigan uchta nurni misol qilib keltirish mumkin. Ammo ayni paytda ular boshqa raqamning uchlari bilan bog'langan. An'anaga ko'ra, ko'pburchak uchun uning tekis yuzalardan iborat bo'lishi muhim edi. Ammo vaqt o'tishi bilan kontseptsiya kengayib bordi, bu ko'p yuzlilarning asl "torroq" sinfini tushunishda sezilarli yaxshilanishga olib keldi, shuningdek, yangi, kengroq ta'rifning paydo bo'lishiga olib keldi.
Toʻgʻri
Yana bir ta'rif bilan tanishamiz. Muntazam ko'pburchak - bu har bir yuz bir-biriga mos keladigan muntazamdirqavariq ko'pburchaklar va barcha uchlari "bir xil". Bu shuni anglatadiki, har bir tepada bir xil miqdordagi muntazam ko'pburchaklar mavjud. Ushbu ta'rifdan foydalaning. Shunday qilib, siz beshta oddiy ko'pburchakni topishingiz mumkin.
Koʻp yuzli Eyler teoremasiga birinchi qadamlar
Yunonlar bugungi kunda pentagram deb ataladigan ko'pburchak haqida bilishgan. Bu ko'pburchakni muntazam deb atash mumkin, chunki uning barcha tomonlari bir xil uzunlikda. Yana bir muhim eslatma ham bor. Ketma-ket kelgan ikki tomon orasidagi burchak har doim bir xil bo'ladi. Biroq, tekislikda chizilganida, u qavariq to'plamni aniqlamaydi va ko'pburchakning tomonlari bir-biri bilan kesishadi. Biroq, bu har doim ham shunday emas edi. Matematiklar uzoq vaqtdan beri "qavariq bo'lmagan" muntazam ko'pburchaklar g'oyasini ko'rib chiqishgan. Pentagram ulardan biri edi. "Yulduzli ko'pburchaklar" ham ruxsat etilgan. "muntazam ko'p yuzli" ning bir qancha yangi namunalari topildi. Endi ular Kepler-Poinsot polihedralari deb ataladi. Keyinchalik G. S. M. Kokseter va Branko Grünbaum qoidalarni kengaytirdilar va boshqa "muntazam ko'pburchaklar" ni kashf etdilar.
Koʻp yuzli formula
Bu raqamlarni tizimli oʻrganish matematika tarixida nisbatan erta boshlangan. Leonxard Eyler birinchi boʻlib ularning uchlari, yuzlari va qirralari soniga bogʻliq boʻlgan formula qavariq 3D koʻpburchaklar uchun toʻgʻri kelishini payqadi.
U shunday koʻrinadi:
V + F - E=2, bu erda V - ko'p yuzli cho'qqilar soni, F - ko'p yuzli qirralarning soni va E - yuzlar soni.
Leonxard Eyler shveytsariyalikbarcha davrlarning eng buyuk va eng samarali olimlaridan biri hisoblangan matematik. U umrining ko'p qismini ko'r bo'lib o'tdi, lekin ko'rish qobiliyatini yo'qotishi unga yanada samaraliroq bo'lishiga sabab bo'ldi. Uning nomi bilan atalgan bir nechta formulalar mavjud va biz ko‘rib chiqqan formula ba’zan Eyler ko‘p yuzli formulasi deb ataladi.
Birgina tushuntirish bor. Biroq, Eyler formulasi faqat ma'lum qoidalarga amal qiladigan ko'pburchaklar uchun ishlaydi. Ular formada hech qanday teshik bo'lmasligi kerakligida yolg'on gapirishadi. Va uning o'zini kesib o'tishi qabul qilinishi mumkin emas. Ko'pburchak ham bir-biriga bog'langan ikkita qismdan, masalan, uchi bir xil bo'lgan ikkita kubdan iborat bo'lishi mumkin emas. Eyler 1750 yilda Kristian Goldbaxga yozgan maktubida o'z tadqiqotining natijasini eslatib o'tgan. Keyinchalik u ikkita maqolani nashr etdi, unda u o'zining yangi kashfiyotining isbotini qanday topishga harakat qilganini tasvirlab berdi. Darhaqiqat, V + F - E ga boshqacha javob beradigan shakllar mavjud. F + V - E=X yig'indisiga javob Eyler xarakteristikasi deb ataladi. Uning boshqa jihati bor. Ba'zi shakllar hatto Eyler xususiyatiga ega bo'lishi mumkin, bu salbiy
Grafik nazariyasi
Ba'zan Dekart Eyler teoremasini avvalroq chiqargan deb da'vo qilinadi. Garchi bu olim kerakli formulani olish imkonini beradigan uch o'lchamli ko'pburchaklar haqidagi faktlarni kashf etgan bo'lsa-da, u bu qo'shimcha qadamni qo'ymadi. Bugungi kunda Eyler grafiklar nazariyasining "otasi" hisoblanadi. U o'z g'oyalari yordamida Konigsberg ko'prigi muammosini hal qildi. Ammo olim ko‘pburchakni kontekstda ko‘rmagangrafik nazariyasi. Eyler ko'pburchakning oddiyroq qismlarga parchalanishiga asoslangan formulani isbotlashga harakat qildi. Ushbu urinish isbotlash uchun zamonaviy standartlarga to'g'ri kelmaydi. Eyler o'z formulasini birinchi to'g'ri asoslashni keltirmagan bo'lsa-da, aytilmagan farazlarni isbotlab bo'lmaydi. Ammo keyinroq isbotlangan natijalar Eyler teoremasidan hozirgi vaqtda ham foydalanish imkonini beradi. Birinchi dalil matematik Adrian Mari Legendre tomonidan olingan.
Eyler formulasining isboti
Eyler birinchi boʻlib koʻp yuzli formulani koʻp yuzlilar haqidagi teorema sifatida shakllantirdi. Bugungi kunda u ko'pincha bog'langan grafiklarning umumiy kontekstida ko'rib chiqiladi. Misol uchun, bir xil qismda joylashgan nuqtalar va ularni bog'laydigan chiziq segmentlaridan tashkil topgan tuzilmalar sifatida. Avgustin Lui Koshi bu muhim aloqani birinchi bo'lib topdi. U Eyler teoremasining isboti bo'lib xizmat qildi. U, mohiyatan, qavariq ko'pburchakning grafigi (yoki bugungi kunda bunday deb ataladigan) topologik jihatdan sharga gomeomorf ekanligini, tekis bog'langan grafaga ega ekanligini payqadi. Bu nima? Planar grafik tekislikda shunday chizilganki, uning qirralari faqat cho'qqida to'qnashadi yoki kesishadi. Eyler teoremasi va grafiklari o'rtasidagi bog'liqlik shu erda topilgan.
Natijaning muhimligidan bir dalolatdirki, Devid Epshteyn oʻn yetti xil dalil toʻplay olgan. Eylerning ko‘p yuzli formulasini asoslashning ko‘plab usullari mavjud. Qaysidir ma'noda, eng aniq dalillar matematik induksiyadan foydalanadigan usullardir. Natija isbotlanishi mumkinuni grafikning qirralari, yuzlari yoki uchlari soni boʻylab chizish.
Rademacher va Toeplitzning isboti
Fon Staudt yondashuviga asoslangan Rademaxer va Toeplitzning quyidagi isboti ayniqsa jozibali. Eyler teoremasini asoslash uchun, faraz qilaylik, G tekislikka o‘rnatilgan bog‘langan grafik. Agar u sxemalarga ega bo'lsa, u holda bog'langan xususiyatni saqlab qolish uchun ularning har biridan bitta chetni chiqarib tashlash mumkin. Ulangan grafaga yopilmasdan o'tish uchun olib tashlangan qismlar va cheksiz chekka bo'lmaganlar o'rtasida birma-bir yozishmalar mavjud. Ushbu tadqiqot Eyler xarakteristikasi bo'yicha "yo'n altiriladigan sirtlarni" tasniflashga olib keldi.
Iordaniya egri chizigʻi.teorema
Grafiklar uchun Eyler teoremasining koʻp yuzli formulasini isbotlashda bevosita yoki bilvosita foydalaniladigan asosiy tezis Iordaniya egri chizigʻiga bogʻliq. Bu fikr umumlashtirish bilan bog'liq. Unda aytilishicha, har qanday oddiy yopiq egri chiziq tekislikni uchta to'plamga ajratadi: undagi nuqtalar, uning ichida va tashqarisida. Eylerning ko‘p yuzli formulasiga qiziqish XIX asrda paydo bo‘lgach, uni umumlashtirishga ko‘p urinishlar bo‘ldi. Ushbu tadqiqot algebraik topologiyaning rivojlanishiga asos soldi va uni algebra va raqamlar nazariyasi bilan bog'ladi.
Moebius guruhi
Tez orada ba'zi sirtlarni global miqyosda emas, balki faqat mahalliy miqyosda izchil tarzda "yo'n altirish" mumkinligi aniqlandi. Mashhur Möbius guruhi bunga misol bo'lib xizmat qiladiyuzalar. U biroz oldinroq Iogan Listing tomonidan kashf etilgan. Bu kontseptsiyaga grafik jinsi tushunchasi kiradi: eng kam tavsiflovchilar soni g. U sharning yuzasiga qo'shilishi kerak va u cho'zilgan sirtga chekkalari faqat cho'qqilarda uchrashadigan tarzda o'rnatilishi mumkin. Ma'lum bo'lishicha, Evklid fazosidagi har qanday yo'n altiriladigan sirt ma'lum miqdordagi tutqichli shar sifatida ko'rib chiqilishi mumkin.
Eyler diagrammasi
Olim yana bir kashfiyot qildi, u hozir ham qo'llanilmoqda. Ushbu Eyler diagrammasi aylanalarning grafik tasviri bo'lib, odatda to'plamlar yoki guruhlar o'rtasidagi munosabatlarni tasvirlash uchun ishlatiladi. Grafiklar odatda doiralar bir-biriga mos keladigan joylarda aralashadigan ranglarni o'z ichiga oladi. To'plamlar aniq doiralar yoki tasvirlar bilan ifodalanadi, ammo ular uchun boshqa raqamlar ham ishlatilishi mumkin. Qo'shilish Eyler doiralari deb ataladigan ellipslarning bir-birining ustiga chiqishi bilan ifodalanadi.
Ular toʻplamlar va kichik toʻplamlarni ifodalaydi. Istisno bir-birining ustiga tushmaydigan doiralardir. Eyler diagrammalari boshqa grafik tasvirlar bilan chambarchas bog'liq. Ular ko'pincha chalkashib ketishadi. Ushbu grafik tasvir Venn diagrammasi deb ataladi. Ko'rib chiqilayotgan to'plamlarga qarab, ikkala versiya ham bir xil ko'rinishi mumkin. Biroq, Venn diagrammalarida bir-biriga o'xshash doiralar to'plamlar orasidagi umumiylikni ko'rsatishi shart emas, lekin agar ularning teglari bo'lmasa, mumkin bo'lgan mantiqiy munosabatni bildiradi.kesishuvchi doira. Ikkala variant ham 1960-yillardagi yangi matematik harakatning bir qismi sifatida toʻplamlar nazariyasini oʻrgatish uchun qabul qilingan.
Fermat va Eyler teoremalari
Eyler matematika fanida sezilarli iz qoldirdi. Algebraik sonlar nazariyasi uning nomi bilan atalgan teorema bilan boyidi. Bu yana bir muhim kashfiyotning natijasidir. Bu umumiy algebraik Lagrange teoremasi deb ataladi. Eyler nomi ham Fermaning kichik teoremasi bilan bog'liq. Unda aytilishicha, agar p tub son bo'lsa va a butun son p ga bo'linmasa, u holda:
ap-1 - 1 betga boʻlinadi.
Ba'zida bir xil kashfiyot boshqa nomga ega bo'lib, ko'pincha xorijiy adabiyotlarda uchraydi. Bu Fermaning Rojdestvo teoremasiga o'xshaydi. Gap shundaki, kashfiyot olimning 1640 yil 25 dekabr arafasida yuborilgan xati tufayli ma'lum bo'ldi. Ammo bayonotning o'zi oldin ham duch kelgan. Uni Albert Jirard ismli boshqa olim ishlatgan. Fermat faqat nazariyasini isbotlashga harakat qildi. Muallif yana bir maktubida cheksiz tushish usulidan ilhomlanganiga ishora qiladi. Ammo u hech qanday dalil keltirmadi. Keyinchalik Eyder ham xuddi shu usulga murojaat qildi. Undan keyin esa boshqa ko'plab mashhur olimlar, jumladan, Lagrange, Gauss va Minkoskilar.
Identifikatsiya xususiyatlari
Fermatning kichik teoremasi Eyler tufayli sonlar nazariyasidan olingan teoremaning maxsus holati deb ham ataladi. Bu nazariyada Eyler identifikatori funksiyasi berilgan n ga qadar musbat butun sonlarni sanaydi. Ularga nisbatan ustunlik qiladin. Sonlar nazariyasidagi Eyler teoremasi yunoncha ph harfi yordamida yoziladi va ph(n) ga o‘xshaydi. Buni ko'proq rasmiy ravishda 1 ≦ k ≦ n oralig'idagi eng katta umumiy bo'luvchi gcd(n, k) 1 bo'lgan k butun sonlar soni sifatida aniqlash mumkin. ph(n) belgisini Eylerning phi funktsiyasi deb ham atash mumkin. Bu shakldagi k butun sonlar ba'zan totativ deb ataladi. Sonlar nazariyasining negizida Eylerning oʻziga xoslik funksiyasi multiplikativdir, yaʼni agar ikkita m va n sonlar oʻzaro tub boʻlsa, ph(mn)=ph(m)ph(n) boʻladi. Shuningdek, u RSA shifrlash tizimini aniqlashda muhim rol o'ynaydi.
Eyler funksiyasi 1763-yilda kiritilgan. Biroq oʻsha paytda matematik uning uchun biron bir maxsus belgi tanlamagan. 1784 yil nashrida Eyler bu funktsiyani batafsil o'rganib chiqdi va uni ifodalash uchun yunoncha p harfini tanladi. Jeyms Silvestr ushbu xususiyat uchun "jami" atamasini kiritdi. Shuning uchun u Eylerning jami deb ham ataladi. 1 dan katta n musbat butun sonning umumiy ph(n) n dan kichik bo‘lgan n dan kichik bo‘lgan n dan kichik musbat sonlar soni n.ph(1) ga qadar 1 deb aniqlanadi. Eyler funktsiyasi yoki phi(ph) funksiyasi juda muhim son nazariy funktsiya tub sonlar va butun sonlar tartibi deb ataladigan narsa bilan chuqur bog'liq.
