Leonhard Eyler (1707-1783) - mashhur shveytsariyalik va rus matematiki, Sankt-Peterburg Fanlar akademiyasining a'zosi, umrining ko'p qismini Rossiyada o'tkazdi. Matematik tahlil, statistika, informatika va mantiqda eng mashhuri Eyler doirasi (Eyler-Venn diagrammasi), tushunchalar doirasi va elementlar to'plamini belgilash uchun ishlatiladi.
Jon Venn (1834-1923) - ingliz faylasufi va mantiqchisi, Eyler-Venn diagrammasi hammuallifi.
Mos va mos kelmaydigan tushunchalar
Tushunchada mantiqda bir jinsli ob'ektlar sinfining muhim belgilarini aks ettiruvchi fikrlash shakli tushuniladi. Ular bir yoki bir guruh so‘zlar bilan belgilanadi: “dunyo xaritasi”, “dominant beshinchi-ettinchi akkord”, “dushanba” va hokazo.
Bir tushuncha doirasi elementlari boshqasining doirasiga toʻliq yoki qisman tegishli boʻlsa, mos keluvchi tushunchalar haqida gap boradi. Agar ma'lum bir tushuncha doirasining hech bir elementi boshqasining doirasiga tegishli bo'lmasa, bizda mos kelmaydigan tushunchalar mavjud.
Oʻz navbatida har bir kontseptsiya turi oʻziga xos mumkin boʻlgan munosabatlar toʻplamiga ega. Mos tushunchalar uchun quyidagilar:
- jildlarning identifikatsiyasi (ekvivalentligi);
- o'tish (qisman mos)jildlar;
- bo'ysunish (bo'ysunish).
Mos kelmaydiganlar uchun:
- bo'ysunish (muvofiqlashtirish);
- qarama-qarshilik (qarama-qarshilik);
- ziddiyat (ziddiyat).
Sxematik jihatdan mantiqdagi tushunchalar orasidagi munosabatlar odatda Eyler-Venn doiralari yordamida belgilanadi.
Ekvivalent munosabatlar
Bu holda tushunchalar bir xil mavzuni bildiradi. Shunga ko'ra, bu tushunchalarning hajmlari butunlay bir xil. Masalan:
A - Zigmund Freyd;
B psixoanaliz asoschisi.
Yoki:
A - kvadrat;
B - teng yonli toʻrtburchak;
C - teng burchakli romb.
Toʻliq mos keladigan Eyler doiralari belgilash uchun ishlatiladi.
Chorraha (qisman mos)
Bu turkumga kesishish bilan bogʻliq umumiy elementlarga ega boʻlgan tushunchalar kiradi. Ya'ni, tushunchalardan birining hajmi qisman ikkinchisining hajmiga kiritilgan:
A - o'qituvchi;
B musiqa ishqibozi.
Ushbu misoldan ko'rinib turibdiki, tushunchalar hajmlari qisman mos keladi: o'qituvchilarning ma'lum bir guruhi musiqa ixlosmandlari bo'lishi mumkin va aksincha - musiqa ixlosmandlari orasida o'qituvchilik kasbining vakillari bo'lishi mumkin. Xuddi shunday munosabat, masalan, A tushunchasi “fuqaro”, B esa “haydovchi” bo‘lsa ham bo‘ladi.
Bo'ysunish (bo'ysunish)
Sxematik ravishda turli masshtabdagi Eyler doiralari sifatida belgilangan. MunosabatlarBu holda tushunchalar oʻrtasida boʻysunuvchi tushuncha (hajmi jihatidan kichikroq) toʻliq boʻysunuvchi (hajmi jihatidan kattaroq) tarkibiga kirishi bilan tavsiflanadi. Shu bilan birga, tobe tushunchasi tobeni to'liq tugatmaydi.
Masalan:
A - daraxt;
B - qaragʻay.
B kontseptsiyasi A kontseptsiyasiga bo'ysunadi. Qarag'ay daraxtlarga tegishli bo'lgani uchun bu misoldagi A tushunchasi B kontseptsiyasi doirasini "o'ziga singdirib" bo'ysunuvchi bo'lib qoladi.
Muvofiqlashtirish (muvofiqlashtirish)
Munosabatlar bir-birini istisno qiladigan, lekin ma'lum umumiy umumiy doiraga tegishli bo'lgan ikki yoki undan ortiq tushunchalarni tavsiflaydi. Masalan:
A - klarnet;
B - gitara;
C - skripka;
D - musiqa asbobi.
A, B, C tushunchalari bir-biriga nisbatan kesishmaydi, ammo ularning barchasi musiqa asboblari toifasiga kiradi (D tushunchasi).
Qarama-qarshi (aksincha)
Tushunchalar orasidagi qarama-qarshi munosabatlar bu tushunchalarning bir turga mansubligini bildiradi. Shu bilan birga, tushunchalardan biri ma'lum xususiyatlarga (xususiyatlarga) ega bo'lsa, ikkinchisi ularni inkor etib, tabiatda qarama-qarshi bo'lganlar bilan almashtiradi. Shunday qilib, biz antonimlar bilan shug'ullanamiz. Masalan:
A - mitti;
B gigant.
Tushunchalar orasidagi qarama-qarshi munosabatlarga ega Eyler doirasiuchta segmentga bo'lingan, ularning birinchisi A tushunchasiga, ikkinchisi B kontseptsiyasiga va uchinchisi boshqa barcha mumkin bo'lgan tushunchalarga mos keladi.
Qarama-qarshilik (ziddiyat)
Bu holda, ikkala tushuncha ham bir xil turdagi turlardir. Oldingi misoldagidek, tushunchalardan biri muayyan sifatlarni (xususiyatlarni) bildirsa, ikkinchisi ularni inkor etadi. Biroq, qarama-qarshiliklar munosabatidan farqli o'laroq, ikkinchi, qarama-qarshi tushuncha inkor etilgan xususiyatlarni boshqa, muqobil narsalar bilan almashtirmaydi. Masalan:
A - qiyin vazifa;
B oson vazifa (A emas).
Bunday turdagi tushunchalar hajmini ifodalagan holda, Eyler doirasi ikki qismga bo'linadi - uchinchi, oraliq bo'g'in bu holda mavjud emas. Shunday qilib, tushunchalar ham antonimdir. Shu bilan birga, ulardan biri (A) ijobiy bo'ladi (ba'zi xususiyatni tasdiqlaydi), ikkinchisi (B yoki A bo'lmagan) salbiy bo'ladi (tegishli xususiyatni rad etadi): "oq qog'oz" - "oq qog'oz emas", " milliy tarix” – “xorijiy tarix” va hokazo.
Shunday qilib, tushunchalar hajmlarining bir-biriga nisbatan nisbati Eyler doiralarini belgilovchi asosiy xususiyatdir.
Toʻplamlar orasidagi munosabatlar
Hajmi Eyler doiralari orqali ko’rsatiladigan elementlar va to’plamlar tushunchalarini ham farqlash kerak. To'plam tushunchasi matematika fanidan olingan va juda keng ma'noga ega. Mantiq va matematikadagi misollar uni ma'lum ob'ektlar to'plami sifatida ko'rsatadi. Ob'ektlarning o'ziushbu to'plamning elementlari. “Ko‘pchilik birdek o‘ylaydi” (Georg Kantor, to‘plamlar nazariyasi asoschisi).
Toʻplamlar bosh harflar bilan belgilanadi: A, B, C, D… va hokazo, toʻplam elementlari kichik harflar bilan belgilanadi: a, b, c, d… va hokazo. Toʻplamga oʻquvchilar misol qilib keltirish mumkin: bitta sinfda, ma'lum bir javondagi kitoblar (yoki, masalan, ma'lum kutubxonadagi barcha kitoblar), kundalik sahifalari, o'rmonzordagi rezavorlar va hokazo.
Oʻz navbatida, agar maʼlum toʻplamda bitta element boʻlmasa, u boʻsh deyiladi va Ø belgisi bilan belgilanadi. Masalan, parallel chiziqlarning kesishish nuqtalari toʻplami, x2=-5.
tenglama yechimlari toʻplami.
Muammo yechish
Eyler doiralari ko'p sonli muammolarni hal qilishda faol foydalaniladi. Mantiqdagi misollar mantiqiy amallar va to'plam nazariyasi o'rtasidagi bog'liqlikni aniq ko'rsatib beradi. Bunday holda, tushunchalarning haqiqat jadvallari qo'llaniladi. Masalan, A bilan belgilangan doira haqiqat mintaqasini ifodalaydi. Shunday qilib, aylana tashqarisidagi maydon yolg'onni ifodalaydi. Mantiqiy operatsiya uchun diagramma maydonini aniqlash uchun siz Eyler doirasini belgilaydigan maydonlarni soya qilishingiz kerak, bunda uning A va B elementlari uchun qiymatlari to'g'ri bo'ladi.
Eyler doiralaridan foydalanish sanoatning turli sohalarida keng amaliy qoʻllanilishini topdi. Masalan, professional tanlov bilan bog'liq vaziyatda. Agar sub'ekt kelajakdagi kasbni tanlash haqida tashvishlansa, u quyidagi mezonlarga amal qilishi mumkin:
W - men nima qilishni yaxshi ko'raman?
D – men nima qilyapman?
P– qanday qilib yaxshi pul ishlashim mumkin?
Buni diagramma sifatida chizamiz: Eyler doiralari (mantiqdagi misollar - kesishish munosabati):
Natijada uch doiraning kesishgan joyida boʻladigan kasblar boʻladi.
Eyler-Venn doiralari birikmalar va xossalarni hisoblashda matematikada (to`plam nazariyasi) alohida o`rinni egallaydi. Elementlar to'plamining Eyler doiralari universal to'plamni (U) bildiruvchi to'rtburchaklar tasviriga o'ralgan. Doiralar o'rniga boshqa yopiq raqamlar ham ishlatilishi mumkin, ammo buning mohiyati o'zgarmaydi. Raqamlar muammoning shartlariga ko'ra (eng umumiy holatda) bir-biri bilan kesishadi. Shuningdek, bu raqamlar mos ravishda etiketlanishi kerak. Ko'rib chiqilayotgan to'plamlarning elementlari diagrammaning turli segmentlari ichida joylashgan nuqtalar bo'lishi mumkin. Unga asoslanib, siz ma'lum joylarni soya qilishingiz va shu bilan yangi tashkil etilgan to'plamlarni belgilashingiz mumkin.
Bu toʻplamlar yordamida asosiy matematik amallarni bajarish mumkin: qoʻshish (elementlar toʻplami yigʻindisi), ayirish (farq), koʻpaytirish (koʻpaytma). Bundan tashqari, Eyler-Venn diagrammalari tufayli to‘plamlarni hisobga olmagan holda, ular tarkibiga kirgan elementlar soni bo‘yicha solishtirish mumkin.
