Matematika, agar biz elementar tushunchalardan uzoqlashsak, mohiyatan mavhum fandir. Shunday qilib, bir nechta olmada siz matematikaning asosi bo'lgan asosiy operatsiyalarni vizual tarzda tasvirlashingiz mumkin, ammo faoliyat tekisligi kengayishi bilan bu ob'ektlar etarli emas. Hech kim olma ustidagi cheksiz to'plamlardagi operatsiyalarni tasvirlashga harakat qildimi? Gap shundaki, yo'q. Matematika o'z mulohazalari bilan ishlaydigan tushunchalar qanchalik murakkab bo'lsa, tushunishni osonlashtirish uchun mo'ljallangan vizual ifodasi shunchalik muammoli bo'lib tuyuldi. Biroq, zamonaviy talabalar va umuman fanning baxti uchun Eyler doiralari olingan bo'lib, ularning misollari va imkoniyatlarini biz quyida ko'rib chiqamiz.
Biroz tarix
1707-yil 17-aprelda dunyo fanga matematika, fizika, kemasozlik va hatto musiqa nazariyasiga qoʻshgan hissasini baholab boʻlmaydigan ajoyib olim Leonhard Eylerni taqdim etdi.
Uning asarlari ilm-fan bir joyda turmaganiga qaramay, bugungi kungacha butun dunyoda tan olingan va talabga ega. Janob Eylerning Rossiya oliy matematika maktabining shakllanishida bevosita ishtirok etgani, ayniqsa, taqdir taqozosi bilan ikki marta davlatimizga qaytgani alohida e’tiborni tortadi. Olim mantiqiy jihatdan shaffof algoritmlarni yaratish, ortiqcha hamma narsani kesib tashlash va eng qisqa vaqt ichida umumiydan xususiyga o'tish uchun noyob qobiliyatga ega edi. Biz uning barcha xizmatlarini sanab o'tmaymiz, chunki bu juda ko'p vaqtni oladi va biz to'g'ridan-to'g'ri maqola mavzusiga murojaat qilamiz. Aynan u to'plamlardagi operatsiyalarning grafik tasviridan foydalanishni taklif qilgan. Eyler doiralari har qanday, hatto eng murakkab muammoning yechimini tasavvur qilish imkoniyatiga ega.
Nima gap?
Amalda sxemasi quyida keltirilgan Eyler doiralaridan nafaqat matematikada foydalanish mumkin, chunki "to`plam" tushunchasi nafaqat ushbu fanga xosdir. Shunday qilib, ular boshqaruvda muvaffaqiyatli qo'llanilmoqda.
Yuqoridagi diagrammada A (irratsional sonlar), B (ratsional sonlar) va C (natural sonlar) toʻplamlarining munosabatlari koʻrsatilgan. Doiralar C to'plami B to'plamiga kiritilganligini ko'rsatadi, A to'plami esa ular bilan hech qanday tarzda kesishmaydi. Misol eng sodda, ammo u cheksizligi tufayli haqiqiy taqqoslash uchun juda mavhum bo'lgan "to'plamlar munosabatlari"ning o'ziga xos xususiyatlarini aniq tushuntiradi.
Mantiq algebrasi
Bu hududMatematik mantiq ham to'g'ri, ham yolg'on bo'lishi mumkin bo'lgan bayonotlar bilan ishlaydi. Masalan, elementardan: 625 soni 25 ga bo'linadi, 625 soni 5 ga bo'linadi, 625 soni tub. Birinchi va ikkinchi bayonotlar to'g'ri, oxirgisi esa noto'g'ri. Albatta, amalda hamma narsa murakkabroq, ammo mohiyati aniq ko'rsatilgan. Va, albatta, Eyler doiralari yana yechimda ishtirok etadilar, ulardan foydalanish misollari juda qulay va ko‘rgazmali bo‘lib, ularni e’tibordan chetda qoldirib bo‘lmaydi.
Bir oz nazariya:
- A va B toʻplamlar mavjud boʻlsin va boʻsh emas, keyin ular uchun quyidagi kesishish, birlashma va inkor amallari aniqlanadi.
- A va B to'plamlarning kesishishi bir vaqtning o'zida A va B to'plamga tegishli elementlardan iborat.
- A va B toʻplamlar birlashmasi A yoki B toʻplamga tegishli elementlardan iborat.
- A toʻplamning inkori A toʻplamga tegishli boʻlmagan elementlardan tashkil topgan toʻplamdir.
Bularning barchasi Eyler doiralari tomonidan mantiqda yana tasvirlangan, chunki ularning yordami bilan har bir vazifa, murakkablik darajasidan qat'i nazar, aniq va ingl.
Mantiq algebrasining aksiomalari
1 va 0 mavjud va A toʻplamda aniqlangan deb faraz qiling, keyin:
- A toʻplam inkorining inkori A toʻplam;
- A toʻplamining_A bilan birlashuvi 1;
- A toʻplamining 1 bilan birlashishi 1;
- A toʻplamning oʻzi bilan birlashishi A toʻplam;
- A toʻplamining birlashuvi0 bilan A to'plami mavjud;
- A toʻplamining_A boʻlmagan bilan kesishishi 0;
- A toʻplamning oʻzi bilan kesishishi A toʻplam;
- A toʻplamining 0 bilan kesishishi 0;
- A toʻplamning 1 bilan kesishishi A toʻplam.
Mantiq algebrasining asosiy xossalari
A va B toʻplamlar mavjud boʻlsin va boʻsh emas, keyin:
- A va B toʻplamlarning kesishishi va birlashmasi uchun kommutativ qonun qoʻllaniladi;
- kombinatsiya qonuni A va B toʻplamlarning kesishishi va birlashuviga taalluqlidir;
- taqsimlash qonuni A va B toʻplamlarning kesishishi va birlashmasiga taalluqlidir;
- A va B to’plamlar kesishuvining inkori A va B to’plamlar inkorlarining kesishishi;
- A va B to'plamlar birlashmasining inkori A va B to'plamlarning inkorlarining birlashmasi.
Quyida Eyler doiralari, A, B va C toʻplamlarning kesishishi va birlashuviga misollar koʻrsatilgan.
Istiqbollar
Leonxard Eylerning asarlari haqli ravishda zamonaviy matematikaning asosi hisoblanadi, ammo hozir ular nisbatan yaqinda paydo bo'lgan inson faoliyati sohalarida muvaffaqiyatli qo'llanilmoqda, masalan, korporativ boshqaruvni oling: Eyler doiralari, misollar va grafiklar mexanizmlarini tavsiflaydi. ishlab chiqish modellari, xoh ruscha, xoh inglizcha-amerikacha versiya.
