Leonhard Euler - shveytsariyalik matematik va fizik, sof matematikaning asoschilaridan biri. U nafaqat geometriya, hisob-kitoblar, mexanika va sonlar nazariyasiga fundamental va shakllantiruvchi hissa qo‘shgan, balki kuzatuv astronomiyasi va amaliy matematikaning muhandislik va ijtimoiy masalalarga oid masalalarni yechish usullarini ham ishlab chiqqan.
Eyler (matematik): qisqacha biografiya
Leonhard Eyler 1707-yil 15-aprelda tugʻilgan. U Paulus Eyler va Margaret Brukerning toʻngʻich oʻgʻli edi. Ota kamtarona hunarmandlar oilasidan chiqqan va Margaret Brookerning ajdodlari qator mashhur olimlar bo'lgan. Paulus Euler o'sha paytda Aziz Yoqub cherkovida vikar bo'lib xizmat qilgan. Leonardning otasi ilohiyotchi bo'lib, matematikaga qiziqqan va universitetda o'qishning dastlabki ikki yilida u mashhur Jeykob Bernulli kurslarida qatnashgan. O'g'li tug'ilgandan taxminan bir yarim yil o'tgach, oila Bazel chekkasidagi Riehenga ko'chib o'tdi va u erda Paulus Eyler mahalliy cherkovda pastor bo'ldi. U yerda umrining oxirigacha vijdonan va sadoqat bilan xizmat qildi.
Oila tor sharoitda yashardi,ayniqsa 1708 yilda ikkinchi farzandi Anna Mariya tug'ilgandan keyin. Er-xotinning yana ikkita farzandi bor - Magdalalik Meri va Iogann Geynrix.
Leonard birinchi matematik saboqlarini uyda otasidan olgan. Taxminan sakkiz yoshida u Bazeldagi lotin maktabiga yuborilgan va u erda onasi buvisining uyida yashagan. O'sha paytdagi maktab ta'limining past sifatini qoplash uchun otam xususiy o'qituvchi, yosh ilohiyotchi Yoxannes Burkxardni yollagan.
1720-yil oktabr oyida 13 yoshida Leonard Bazel universitetining falsafa fakultetiga oʻqishga kirdi (oʻsha paytdagi amaliyot) u yerda ukasi Iogan Bernulli tomonidan boshlangʻich matematika boʻyicha kirish darslarida qatnashdi. O'sha paytda vafot etgan Yoqubning.
Yosh Eyler o'qishni shu qadar g'ayrat bilan boshladiki, u tez orada o'qituvchining e'tiborini tortdi, u uni o'zining murakkabroq kitoblarini o'rganishga undadi va hatto shanba kunlari o'qishda yordam berishni taklif qildi. 1723-yilda Leonard oʻz taʼlimini magistrlik darajasi bilan yakunladi va lotin tilida ommaviy maʼruza oʻqidi va unda Dekart tizimini Nyutonning natural falsafasi bilan solishtirdi.
Ota-onasining xohishiga ko'ra, u ilohiyot fakultetiga o'qishga kirdi, ammo ko'p vaqtini matematikaga bag'ishladi. Oxir-oqibat, ehtimol, Iogan Bernullining iltimosiga ko'ra, ota o'g'lining taqdirini ilohiy yo'nalish bilan emas, balki ilmiy yo'l bilan davom ettirishni tan oldi.
Matematik Eyler 19 yoshida muammoni hal qilish uchun tanlovda qatnashib, o'sha davrning eng buyuk olimlari bilan raqobatlashishga jur'at etdi. Parij Fanlar akademiyasi kema ustunlarini optimal joylashtirish bo'yicha. O‘shanda umrida kema ko‘rmagan u birinchi sovrinni qo‘lga kirita olmay, nufuzli ikkinchi o‘rinni egalladi. Bir yil o'tgach, Bazel universitetining fizika fakultetida bo'sh ish o'rni paydo bo'lganida, Leonard ustozi Iogan Bernoulli ko'magida o'rin uchun kurashishga qaror qildi, ammo yoshi va ta'sirchan ro'yxati yo'qligi sababli yutqazdi. nashrlar. Qaysidir ma'noda, u bir necha yil oldin podsho Pyotr I tomonidan asos solingan Sankt-Peterburg Fanlar akademiyasining taklifini qabul qila olgani uchun omadli bo'ldi, bu erda Eyler unga to'liq rivojlanish imkonini beradigan yanada istiqbolli sohani topdi.. Bunda asosiy rolni Bernulli va uning ikki o'g'li, u erda faol ishlagan Niklaus II va Daniel I o'ynagan.
Sankt-Peterburg (1727-1741): tez yuksalish
Euler 1726 yilning qishini Bazelda anatomiya va fiziologiyani o'rganib, akademiyadagi o'z vazifalariga tayyorgarlik ko'rdi. U Sankt-Peterburgga kelib, yordamchi bo'lib ishlay boshlaganida, u o'zini butunlay matematika fanlariga bag'ishlashi kerakligi ayon bo'ldi. Bundan tashqari, Eyler kadetlar korpusidagi imtihonlarda qatnashishi va hukumatga turli ilmiy-texnik masalalar bo‘yicha maslahat berishi shart edi.
Leonard Evropaning shimolidagi yangi og'ir hayot sharoitlariga osongina moslashdi. Akademiyaning boshqa xorijiy a'zolaridan farqli o'laroq, u darhol rus tilini o'rganishni boshladi va uni yozma va og'zaki shaklda tezda o'zlashtirdi. biroz vaqtu Daniel Bernulli bilan yashagan va akademiyaning doimiy kotibi Kristian Goldbax bilan do'st edi, bugungi kunda o'zining haligacha hal qilinmagan muammosi bilan mashhur, unga ko'ra 4 dan boshlab har qanday juft sonni ikkita tub sonning yig'indisi bilan ifodalash mumkin. Ular oʻrtasidagi keng koʻlamli yozishmalar 18-asr fan tarixi uchun muhim manba hisoblanadi.
Matematikadagi yutuqlari unga bir zumda jahon shuhratini keltirgan va mavqeini oshirgan Leonxard Eyler oʻzining eng samarali yillarini akademiyada oʻtkazdi.
1734 yilning yanvarida u Eyler bilan birga dars bergan shveytsariyalik rassomning qizi Katharina Gselga uylandi va ular o'z uylariga ko'chib o'tishdi. Nikohda 13 farzand tug'ildi, ammo ulardan faqat beshtasi voyaga etgan. To‘ng‘ich o‘g‘li Iogann Albrext ham matematik bo‘lib, keyinchalik otasiga ishida yordam bergan.
Eyler musibatdan chetda qolmadi. 1735 yilda u og'ir kasal bo'lib, deyarli vafot etdi. Hammaga katta yengillik keltirdi, u tuzalib ketdi, lekin uch yildan keyin yana kasal bo'lib qoldi. Bu safar kasallik uning o'ng ko'zini yo'qotdi, bu olimning o'sha vaqtdan beri barcha portretlarida yaqqol ko'rinib turibdi.
Tsaritsa Anna Ivanovna vafotidan keyin Rossiyadagi siyosiy beqarorlik Eylerni Sankt-Peterburgni tark etishga majbur qildi. Bundan tashqari, u Prussiya qiroli Fridrix II dan Berlinga kelish va u yerda Fanlar akademiyasini yaratishga yordam berish taklifiga ega edi.
1741-yil iyun oyida Leonard rafiqasi Katarina, 6 yoshli Iogann Albrext va bir yoshli Karl bilan Sankt-Peterburgdan Berlinga joʻnab ketdi.
Berlindagi ish (1741-1766)
Sileziyadagi harbiy yurish Fridrix II ning akademiya tashkil etish rejalarini bir chetga surdi. Va faqat 1746 yilda u nihoyat shakllandi. Per-Lui Moro de Maupertuis prezident bo'ldi va Eyler matematika bo'limi direktori lavozimini egalladi. Lekin bungacha ham bo'sh qolmadi. Leonard 20 ga yaqin ilmiy maqolalar, 5 ta yirik risolalar yozgan va 200 dan ortiq maktublar yozgan.
Eyler ko'p vazifalarni bajarganiga qaramay - u rasadxona va botanika bog'lari uchun mas'ul bo'lgan, kadrlar va moliyaviy masalalarni hal qilgan, akademiyaning asosiy daromad manbai bo'lmagan almanaxlarni sotish bilan shug'ullangan. Turli texnologik va muhandislik loyihalarini eslatib o'tsak, uning matematik ko'rsatkichlari zarar ko'rmaydi.
Shuningdek, u 1750-yillarning boshlarida paydo boʻlgan, Maupertuis tomonidan daʼvo qilingan, shveytsariyalik olim va yaqinda eʼtiroz bildirgan eng kam harakat tamoyilini kashf etishning ustuvorligi haqidagi janjaldan unchalik chalgʻimadi. saylangan akademik Iogann Samuel Koenig, u Leybnits tomonidan matematik Yakob Hermannga yozgan maktubida aytib o'tgan. Koenig Maupertuisni plagiatda ayblashga yaqin keldi. Xatni taqdim etishni so'rashganda, u buni qila olmadi va Eyler ishni tergov qilish uchun topshirildi. Leybnits falsafasiga xayrixoh bo'lmagani uchun u prezident tomoniga o'tdi va Koenigni firibgarlikda aybladi. Koenig tarafini olgan Volter Mopertuisni masxara qilgan va Eylerni ayamagan haqoratli satira yozgach, qaynoq nuqtaga yetdi. Prezident shunchalik xafa bo'ldiki, u tez orada Berlinni tark etdi va Eyler biznesni de-fakto boshqarishga majbur bo'ldiakademiyaga rahbarlik qiladi.
Olim oilasi
Leonard shu qadar boyib ketdiki, u Berlinning gʻarbiy chekkasidagi Sharlottenburgda 1750-yilda Berlinga olib kelgan beva qolgan onasi, oʻgay singlisi va barcha bolalari uchun qulay turar joy bilan taʼminlash uchun yetarlicha kattalikdagi manor sotib oldi..
1754-yilda uning toʻngʻich oʻgʻli Iogann Albrext 20 yoshida Maupertuis tavsiyasiga koʻra Berlin akademiyasining aʼzosi etib saylandi. 1762 yilda uning sayyoralarni jalb qilish orqali kometalarning orbitalarini buzish bo'yicha ishi Sankt-Peterburg akademiyasining mukofotiga sazovor bo'ldi, u Aleksis-Klod Kler bilan birga bo'ldi. Eylerning ikkinchi o'g'li Karl Halleda tibbiyotda o'qidi, uchinchisi Kristof ofitser bo'ldi. Uning qizi Sharlotta golland aristokratiga, singlisi Yelena esa 1777 yilda rus zobitiga turmushga chiqdi.
Qirolning hiylalari
Olimning Fridrix II bilan munosabatlari oson kechmagan. Bu qisman shaxsiy va falsafiy moyilliklardagi sezilarli farq bilan bog'liq edi: Frederik mag'rur, o'ziga ishongan, nafis va zukko suhbatdosh, frantsuz ma'rifatparvariga xayrixoh; matematik Eyler kamtarin, ko'zga tashlanmaydigan, sodda va dindor protestantdir. Yana bir, ehtimol, muhimroq sabab, Leonardning Berlin akademiyasiga prezidentlik lavozimini taklif qilmaganidan noroziligi edi. Bu norozilik faqat Mopertuis va Eylerning institutni saqlab qolish uchun urinishlari ketganidan keyin, Frederik Jan Léron d'Alembertni prezidentlikka qiziqtirmoqchi bo'lganidan keyin kuchaydi. Ikkinchisi haqiqatan ham Berlinga kelgan, ammo bu haqda qirolga xabar berish uchun kelganqiziqish bildirmaydi va Leonardni tavsiya qiladi. Frederik nafaqat d'Alembertning maslahatiga e'tibor bermadi, balki o'zini akademiya rahbari deb e'lon qildi. Bu qirolning boshqa ko'plab rad etishlari bilan birga, oxir-oqibat matematik Eylerning tarjimai holida yana keskin burilish yasadi.
1766 yilda monarxning toʻsiqlariga qaramay, u Berlinni tark etdi. Leonard imperator Ketrin II ning Sankt-Peterburgga qaytish taklifini qabul qildi va u yerda uni yana tantanali kutib olishdi.
Sankt-Peterburg yana (1766-1783)
Akademiyada yuksak hurmatga sazovor boʻlgan va Yekaterina saroyida hurmatga sazovor boʻlgan buyuk matematik Eyler oʻta nufuzli mavqega ega boʻlgan va Berlinda uzoq vaqt davomida undan mahrum boʻlgan taʼsir kuchiga ega edi. Darhaqiqat, u akademiya boshlig‘i bo‘lmasada, ruhiy yetakchi rolini o‘ynagan. Ammo, afsuski, uning sog'lig'i unchalik yaxshi emas edi. Berlinda uni bezovta qila boshlagan chap ko'zning kataraktasi tobora jiddiylashdi va 1771 yilda Eyler operatsiya qilishga qaror qildi. Buning oqibati ko'rish qobiliyatini deyarli butunlay yo'q qiladigan xo'ppozning paydo bo'lishi edi.
Oʻsha yili Sankt-Peterburgdagi katta yongʻin paytida uning yogʻoch uyi yonib ketdi va deyarli koʻr Eyler Bazellik hunarmandlar Piter Grimmning qahramonona qutqaruvi tufayligina tiriklayin yonib ketmaslikka muvaffaq boʻldi. Baxtsizlikni engillashtirish uchun imperator yangi uy qurish uchun mablag' ajratdi.
Eylerga yana bir qattiq zarba 1773 yilda xotini vafot etganida keldi. 3 yildan so'ng, ularga bog'liq emasbolalari bo'lganida, u ikkinchi marta o'zining singlisi Salome-Aviga Gzelga (1723-1794) turmushga chiqdi.
Barcha taqdirli voqealarga qaramay, matematik L. Eyler ilm-fanga sadoqatini saqlab qoldi. Darhaqiqat, uning asarlarining yarmiga yaqini Sankt-Peterburgda nashr etilgan yoki paydo bo'lgan. Ular orasida uning ikkita “bestseller”i – “Nemis malikasiga maktublar” va “Algebra” asari bor. Tabiiyki, u yaxshi kotibsiz va unga boshqa bazellik vatandosh, Eyler nabirasining bo'lajak turmush o'rtog'i Niklaus Fuss tomonidan ko'rsatilgan texnik yordamsiz buni uddalay olmagan bo'lardi. Bu jarayonda uning o‘g‘li Iogann Albrext ham faol ishtirok etdi. Ikkinchisi, shuningdek, olim eng keksa haqiqiy a'zo sifatida raislik qilishi kerak bo'lgan akademiya sessiyalarida stenograf bo'lib ishlagan.
O'lim
Buyuk matematik Leonhard Eyler 1783-yil 18-sentabrda nabirasi bilan oʻynab yurganida insultdan vafot etdi. O'limi kuni uning ikkita katta shiferida aka-uka Montgolfierlar tomonidan 1783 yil 5 iyunda Parijda amalga oshirilgan havo sharining parvozi tasvirlangan formulalar topildi. G'oyani uning o'g'li Iogan ishlab chiqdi va nashrga tayyorladi. Bu olimning “Xotiralar”ning 1784-jildida chop etilgan so‘nggi maqolasi edi. Leonhard Eyler va uning matematikaga qoʻshgan hissasi shu qadar katta ediki, ilmiy nashrlarda oʻz navbatini kutayotgan maqolalar oqimi olim vafotidan keyin ham 50 yil davomida chop etilib kelardi.
Bazeldagi ilmiy faoliyat
Qisqa Bazel davrida Eylerning matematikaga qo'shgan hissasi izoxron va o'zaro egri chiziqlar bo'yicha ishlar, shuningdek, Parij Akademiyasi sovrini uchun ish bo'ldi. Lekin asosiy ishBu bosqichda ovozning tabiati va tarqalishi, xususan, tovush tezligi va uni musiqa asboblari orqali hosil qilish bo'yicha Bazel universitetining fizika kafedrasiga nomzodini qo'llab-quvvatlash uchun topshirilgan Dissertatio Physica de sono bo'ldi.
Birinchi Sankt-Peterburg davri
Eyler boshdan kechirgan sog'liq muammolariga qaramay, olimning matematikadagi yutuqlari hayratga solishi mumkin emas. Bu vaqt ichida u mexanika, musiqa nazariyasi va dengiz arxitekturasiga oid asosiy asarlaridan tashqari, matematik tahlil va sonlar nazariyasidan tortib fizika, mexanika va astronomiyaning oʻziga xos muammolarigacha boʻlgan turli mavzularda 70 ta maqola yozdi.
Ikki jildlik "Mexanika" mexanikaning barcha jabhalarini, jumladan, qattiq, egiluvchan va elastik jismlar mexanikasini, shuningdek, suyuqliklar va osmon mexanikasini har tomonlama ko'rib chiqish bo'yicha keng ko'lamli rejaning boshlanishi edi.
Eulerning daftarlaridan koʻrinib turibdiki, u Bazelda musiqa va musiqiy kompozitsiya haqida koʻp oʻylagan va kitob yozishni rejalashtirgan. Bu rejalar Sankt-Peterburgda pishib, 1739 yilda nashr etilgan "Tentamen"ning paydo bo'lishiga olib keldi. Ish havo zarralarining tebranishi sifatida tovushning tabiati, jumladan uning tarqalishi, eshitish idrokining fiziologiyasi, torli va puflama cholgʻu asboblari yordamida tovush hosil boʻlishi haqida munozara bilan boshlanadi.
Asarning oʻzagi musiqadan kelib chiqqan zavq nazariyasi boʻlib, Eyler ushbu musiqiy asarning “yoqimliligini” tashkil etuvchi ohang, akkord yoki ularning ketma-ketligiga raqamli qiymatlar, darajalar belgilash orqali yaratgan. qurilish: dandaraja qanchalik past bo'lsa, zavq shunchalik yuqori bo'ladi. Ish muallifning sevimli diatonik xromatik temperamenti kontekstida bajarilgan, lekin ayni paytda temperamentlarning (ham qadimiy, ham zamonaviy) to'liq matematik nazariyasi berilgan. Musiqani aniq fanga aylantirishga harakat qilgan yagona odam Eyler emas edi: Dekart va Mersen ham undan oldin ham xuddi d'Alember va undan keyingi boshqa ko'plar shunday qilishgan.
Ikki jildli Scientia Navalis uning ratsional mexanika taraqqiyotidagi ikkinchi bosqichidir. Kitobda gidrostatika tamoyillari bayon etilgan va suvga botirilgan uch oʻlchamli jismlarning muvozanat va tebranishlari nazariyasi ishlab chiqilgan. Asar qattiq mexanikaning boshlanishini o'z ichiga oladi, keyinchalik bu mexanika bo'yicha uchinchi yirik risola bo'lgan Theoria Motus corporum solidorum seu rigidorumda kristallanadi. Ikkinchi jildda nazariya kemalar, kemasozlik va navigatsiyaga tatbiq etilgan.
Ajablanarlisi shundaki, bu davrda matematikada erishgan yutuqlari hayratlanarli boʻlgan Leonhard Eylerning Sankt-Peterburg gimnaziyalarida foydalanish uchun elementar arifmetika boʻyicha 300 betlik asar yozishga vaqti va kuchi yetdi. Buyuk olimdan saboq olgan o'sha bolalar qanday baxtli edi!
Berlin ishlaydi
Matematik Leonxard Eyler koʻplari juda muhim boʻlgan 280 ta maqolaga qoʻshimcha ravishda bu davrda bir qancha muhim ilmiy risolalar yozdi.
Braxistoxron muammosi - nuqta massasining tortishish kuchi ta'sirida vertikal tekislikning bir nuqtasidan ikkinchi nuqtasiga eng qisqa vaqt ichida harakatlanish yo'lini topish - Iogann Bernulli tomonidan yaratilgan muammoning dastlabki namunasi, ga binoanushbu funktsiyaga bog'liq bo'lgan analitik ifodani optimallashtiradigan funktsiyani (yoki egri chiziqni) qidiring. 1744-yilda va yana 1766-yilda Eyler bu masalani sezilarli darajada umumlashtirib, matematikaning mutlaqo yangi sohasini - “variatsiyalar hisobini” yaratdi.
Sayyoralar va kometalarning traektoriyalari va optikaga oid ikkita kichik risola 1744 va 1746 yillarda paydo bo'lgan. Ikkinchisi Nyuton zarralari va Eylerning yorug'likning to'lqin nazariyasi haqidagi munozarani boshlagani uchun tarixiy qiziqish uyg'otadi.
Oʻz ish beruvchisi qirol Frederik II ga hurmat bilan Leonard ingliz Benjamin Robinsning ballistika boʻyicha muhim asarini tarjima qildi, garchi u oʻzining 1736 yildagi “Mexanika” asarini nohaq tanqid qilgan boʻlsa-da. Shu bilan birga, u koʻplab izohlar, tushuntirish yozuvlari va tuzatishlar kiritdi., buning natijasida "Artilleriya" (1745) kitobi asl nusxadan 5 marta kattaroq bo'ldi.
Ikki jildli “Cheksiz kichiklar tahliliga kirish” asarida (1748) matematik Eyler tahlilni mustaqil fan sifatida belgilaydi, cheksiz qatorlar, cheksiz mahsulotlar va davomli kasrlar sohasidagi koʻplab kashfiyotlarini umumlashtiradi. U haqiqiy va murakkab qiymatlar funktsiyasining aniq kontseptsiyasini ishlab chiqadi va e soni, eksponensial va logarifmik funktsiyalarni tahlil qilishda asosiy rolni ta'kidlaydi. Ikkinchi jild analitik geometriyaga bag'ishlangan: algebraik egri va sirtlar nazariyasi.
“Differensial hisob” ham ikki qismdan iborat bo’lib, ularning birinchi qismi farqlar va differentsiallar hisobiga, ikkinchisi esa ko’plab misollar bilan darajali qatorlar va yig’indisi formulalar nazariyasiga bag’ishlangan. Aytgancha, bu erdaBirinchi bosilgan Furye seriyasini o'z ichiga oladi.
Matematik Eyler uch jildlik “Integral hisob” asarida elementar funksiyalarning kvadraturalarini (ya’ni cheksiz iteratsiyalar) va ularga chiziqli differensial tenglamalarni kamaytirish usullarini ko’rib chiqadi, ikkinchi tartibli chiziqli differensial nazariyasini batafsil tavsiflaydi. tenglamalar.
Berlinda va undan keyingi yillar davomida Leonard geometrik optika bilan shug'ullangan. Uning ushbu mavzudagi maqolalari va kitoblari, jumladan, monumental uch jildli Dioptri, Opera Omnia'ning etti jildini tashkil etdi. Ushbu ishning asosiy mavzusi teleskop va mikroskop kabi optik asboblarni takomillashtirish, linzalar va suyuqliklarni to'ldirishning murakkab tizimi orqali xromatik va sferik aberatsiyalarni bartaraf etish usullari edi.
Eyler (matematik): ikkinchi Sankt-Peterburg davrining qiziqarli faktlari
Bu olim yuqorida aytib o'tilgan mavzular, shuningdek, geometriya, ehtimollar nazariyasi va statistika, kartografiya va hatto bevalar va qishloq xo'jaligi uchun pensiya jamg'armalari bo'yicha 400 dan ortiq maqolalarni nashr etgan eng samarali vaqt edi. Ulardan uchta risolani algebra, oy nazariyasi va dengiz fani, shuningdek sonlar nazariyasi, natural falsafa va dioptrikaga oid risolalarni ajratish mumkin.
Mana bu yerda uning yana bir "bestselleri" paydo bo'ldi - "Algebra". Matematik Eyler nomi ushbu fanni mutlaqo boshlang'ichga o'rgatish maqsadida yozilgan 500 sahifali asarni bezatadi. U Berlindan o‘zi bilan birga olib kelgan yosh shogirdga kitob aytib berdi va ish tugagach,tushungan va unga berilgan algebraik masalalarni juda oson yecha olgan.
"Sudlarning ikkinchi nazariyasi" ham matematikadan ma'lumotga ega bo'lmagan odamlarga, ya'ni dengizchilarga mo'ljallangan edi. Muallifning g'ayrioddiy didaktik mahorati tufayli ish juda muvaffaqiyatli bo'lganligi ajablanarli emas. Fransiya dengiz floti va moliya vaziri Ann-Robert Turgot qirol Lyudovik XVIga dengiz va artilleriya maktablarining barcha talabalaridan Eyler risolasini oʻrganishni talab qilishni taklif qildi. O'sha talabalardan biri Napoleon Bonapart bo'lishi ehtimoldan yiroq. Qirol hatto asarni qayta nashr etish imtiyozi uchun matematikaga 1000 rubl to'lagan, imperator Ketrin II esa qirolga taslim bo'lishni istamay, bu miqdorni ikki baravar oshirgan, buyuk matematik Leonhard Eyler esa qo'shimcha 2000 rubl olgan!
