Hozirgi dunyoda biz turli xil avtomobil va gadjetlardan tobora koʻproq foydalanmoqdamiz. Va nafaqat tom ma'noda g'ayriinsoniy kuchni qo'llash kerak bo'lganda: yukni siljiting, uni balandlikka ko'taring, uzun va chuqur xandaq qazing va hokazo. Bugungi kunda mashinalar robotlar tomonidan yig'iladi, ovqat multivarklar tomonidan tayyorlanadi va elementar arifmetik hisoblar mavjud. kalkulyatorlar tomonidan amalga oshiriladi. Biz tobora ko'proq "Boolean algebra" iborasini eshitamiz. Ehtimol, robotlarni yaratishda insonning rolini va mashinalarning nafaqat matematik, balki mantiqiy masalalarni ham yechish qobiliyatini tushunish vaqti keldi.
Mantiq
Yunon tilidan tarjima qilingan mantiq - bu berilgan sharoitlar oʻrtasidagi munosabatlarni yaratuvchi hamda binolar va taxminlar asosida xulosalar chiqarish imkonini beruvchi tartiblangan fikrlash tizimi. Ko'pincha biz bir-birimizdan so'raymiz: "Bu mantiqiymi?" Olingan javob bizning taxminlarimizni tasdiqlaydi yoki fikr poezdini tanqid qiladi. Ammo jarayon to'xtamaydi: biz mulohaza yuritishda davom etamiz.
Ba'zida shartlar soni (kirish) shunchalik ko'p bo'lib, ular orasidagi munosabatlar shu qadar murakkab va murakkabki, inson miyasi hamma narsani bir vaqtning o'zida "hazm" qila olmaydi. Nima bo'layotganini tushunish uchun bir oydan ko'proq vaqt ketishi mumkin (hafta, yil). Lekinzamonaviy hayot bizga qaror qabul qilish uchun bunday vaqt oralig'ini bermaydi. Va biz kompyuterlar yordamiga murojaat qilamiz. Va bu erda o'z qonunlari va xususiyatlari bilan mantiq algebrasi paydo bo'ladi. Barcha dastlabki maʼlumotlarni yuklab olish orqali biz kompyuterga barcha munosabatlarni tanib olish, qarama-qarshiliklarni bartaraf etish va qoniqarli yechim topish imkonini beramiz.
Matematika va mantiq
Mashhur Gotfrid Vilgelm Leybnits "matematik mantiq" tushunchasini shakllantirgan, uning muammolari faqat tor doiradagi olimlar uchun tushunarli edi. Bu yo'nalish alohida qiziqish uyg'otmadi va 19-asrning o'rtalariga qadar matematik mantiq haqida kam odam bilar edi.
Ilmiy hamjamiyatga boʻlgan katta qiziqish mojaroga sabab boʻldi, unda ingliz Jorj Bul matematikaning amaliy qoʻllanilishi mutlaqo yoʻq boʻlimini yaratish niyatini eʼlon qildi. Tarixdan eslayotganimizdek, o‘sha davrda sanoat ishlab chiqarishi faol rivojlanib, barcha turdagi yordamchi mashinalar va stanoklar ishlab chiqilar edi, ya’ni barcha ilmiy kashfiyotlar amaliy yo‘nalishga ega edi.
Oldinga qarab, deylik, mantiqiy algebra zamonaviy dunyoda matematikaning eng koʻp qoʻllaniladigan qismidir. Shunday qilib, Bull bahsni boy berdi.
Jorj Buhl
Muallifning shaxsiyati alohida e'tiborga loyiqdir. Ilgari odamlar bizdan oldin o‘sib ulg‘ayganini hisobga olsak ham, J. Byul 16 yoshida qishloq maktabida dars berganini, 20 yoshida esa Linkolnda o‘z maktabini ochganini hali ham qayd etmaslik mumkin emas. Matematik beshta chet tilini yaxshi bilgan, bo‘sh vaqtlarida asarlar o‘qiganNyuton va Lagrange. Bularning barchasi oddiy ishchining o'g'li haqida!
1839-yilda Bul birinchi marta ilmiy maqolalarini Kembrij matematika jurnaliga topshirdi. Olim 24 yoshda. Bulning ishi Qirollik jamiyati a'zolarini shunchalik qiziqtirdiki, u 1844 yilda matematik tahlilni rivojlantirishga qo'shgan hissasi uchun medal oldi. Matematik mantiqning elementlarini tavsiflovchi yana bir nechta nashr etilgan ishlar yosh matematikga Kork okrugi kollejida professor lavozimini egallashga imkon berdi. Eslatib o'tamiz, Buhlning o'zi hech qanday ma'lumotga ega emas edi.
G'oya
Asosiy jihatdan mantiqiy algebra juda oddiy. Matematika nuqtai nazaridan faqat ikkita so'z bilan aniqlanishi mumkin bo'lgan bayonotlar (mantiqiy iboralar) mavjud: "to'g'ri" yoki "noto'g'ri". Masalan, bahorda daraxtlar gullaydi - rost, yozda qor yog'adi - yolg'on. Ushbu matematikaning go'zalligi shundaki, faqat raqamlardan foydalanishga qat'iy ehtiyoj yo'q. Aniq ma'noga ega bo'lgan har qanday iboralar hukmlar algebrasi uchun juda mos keladi.
Shunday qilib, mantiq algebrasidan hamma joyda tom ma'noda foydalanish mumkin: ko'rsatmalarni rejalashtirish va yozishda, hodisalar haqidagi ziddiyatli ma'lumotlarni tahlil qilishda va harakatlar ketma-ketligini aniqlashda. Eng muhimi, bayonotning haqiqat yoki yolg'onligini qanday aniqlashimiz mutlaqo ahamiyatsiz ekanligini tushunishdir. Bu "qanday" va "nima uchun" mavhum bo'lishi kerak. Faqat haqiqat bayonoti muhim: rost-yolgʻon.
Albatta, dasturlash uchun mantiq algebrasining tegishli funksiyalari tomonidan yoziladigan funktsiyalari muhim ahamiyatga ega.belgilar va belgilar. Ularni o'rganish esa yangi chet tilini o'zlashtirishni anglatadi. Hech narsa imkonsiz emas.
Asosiy tushunchalar va ta'riflar
Chuqurlikka kirmasdan, keling, terminologiyaga toʻxtalib oʻtamiz. Demak, mantiqiy algebra quyidagilarni qabul qiladi:
- bayonotlar;
- mantiqiy amallar;
- funksiyalar va qonunlar.
Izohlar har qanday tasdiqlovchi iboralar boʻlib, ularni noaniq talqin qilib boʻlmaydi. Ular raqamlar sifatida yozilgan (5 > 3) yoki tanish so'zlar bilan tuzilgan (fil eng katta sutemizuvchi). Shu bilan birga, "jirafaning bo'yni yo'q" iborasi ham mavjud bo'lishga haqli, faqat Boolean algebrasi uni "yolg'on" deb belgilaydi.
Barcha bayonotlar bir ma'noli bo'lishi kerak, lekin ular elementar va murakkab bo'lishi mumkin. Ikkinchisi mantiqiy bog'lovchilardan foydalanadi. Ya'ni, hukmlar algebrasida mantiqiy amallar yordamida elementar gaplarni qo'shish orqali qo'shma gaplar hosil bo'ladi.
Mantiqiy algebra operatsiyalari
Hukmlar algebrasidagi amallar mantiqiy ekanligini allaqachon eslaymiz. Raqamlar algebrasi raqamlarni qo‘shish, ayirish yoki solishtirish uchun arifmetikadan foydalanganidek, matematik mantiq elementlari ham murakkab gaplar qilish, inkor qilish yoki yakuniy natijani hisoblash imkonini beradi.
Formallashtirish va soddalik uchun mantiqiy amallar arifmetikada bizga tanish formulalar orqali yoziladi. Mantiqiy algebra xossalari tenglamalarni yozish va noma’lumlarni hisoblash imkonini beradi. Mantiqiy amallar odatda haqiqat jadvali yordamida yoziladi. Uning ustunlarihisoblash elementlarini va ular ustida bajariladigan amalni aniqlang, chiziqlar esa hisoblash natijasini ko'rsatadi.
Asosiy mantiqiy amallar
Mantiqiy algebrada eng keng tarqalgan amallar inkor (EMAS) va mantiqiy AND va OR. Hukmlar algebrasidagi deyarli barcha amallarni shu tarzda tasvirlash mumkin. Keling, uchta operatsiyaning har birini batafsil o'rganamiz.
Inkor qilish (emas) faqat bitta elementga (operand) tegishli. Shuning uchun inkor amali unar deyiladi. “A emas” tushunchasini yozish uchun quyidagi belgilardan foydalaning: ¬A, A¯¯¯ yoki !A. Jadval shaklida u quyidagicha ko'rinadi:
Inkor funksiyasi quyidagi mulohazalar bilan tavsiflanadi: agar A rost bo’lsa, B noto’g’ri. Masalan, Oy Yer atrofida aylanadi - rost; Yer oy atrofida aylanadi - yolg'on.
Mantiqiy koʻpaytirish va qoʻshish
Mantiqiy AND birikma amali deyiladi. Bu nima degani? Birinchidan, u ikkita operandga qo'llanilishi mumkin, ya'ni va ikkilik operatsiya. Ikkinchidan, faqat ikkala operandning (A va B) haqiqati bo'lsa, ifodaning o'zi to'g'ri bo'ladi. “Sabr va mehnat hamma narsani yengadi” degan maqol insonga qiyinchiliklarni engishda faqat ikkala omil yordam berishidan dalolat beradi.
Yozish uchun ishlatiladigan belgilar: A∧B, A⋅B yoki A&&B.
Bog’lanish arifmetikadagi ko’paytirishga o’xshaydi. Ba'zan ular shunday deyishadi - mantiqiy ko'paytirish. Jadvalning elementlarini qatorga ko'paytirsak, mantiqiy fikrlashga o'xshash natijaga erishamiz.
Ajralish mantiqiy YOKI amaldir. Bu haqiqatning qiymatini oladibayonotlarning kamida bittasi to'g'ri bo'lganda (A yoki B). U shunday yoziladi: A∨B, A+B yoki A||B. Bu amallar uchun haqiqat jadvallari:
Ajralish arifmetik qoʻshishga oʻxshaydi. Mantiqiy qo‘shish amali faqat bitta cheklovga ega: 1+1=1. Ammo raqamli formatda matematik mantiq 0 va 1 bilan cheklanganligini eslaymiz (bu erda 1 rost, 0 noto'g'ri). Misol uchun, "muzeyda siz durdona asarni ko'rishingiz yoki qiziqarli suhbatdosh bilan uchrashishingiz mumkin" degan so'z, siz san'at asarlarini ko'rishingiz yoki qiziqarli odam bilan uchrashishingiz mumkinligini anglatadi. Shu bilan birga, ikkala hodisaning bir vaqtning o'zida sodir bo'lish ehtimoli ham inkor etilmaydi.
Funksiyalar va qonunlar
Demak, mantiqiy algebra qanday mantiqiy amallardan foydalanishini allaqachon bilamiz. Funktsiyalar matematik mantiq elementlarining barcha xossalarini tavsiflaydi va masalalarning murakkab birikma shartlarini soddalashtirishga imkon beradi. Eng tushunarli va oddiy xususiyat, olingan operatsiyalarni rad etish kabi ko'rinadi. Hosilalar eksklyuziv OR, implikatsiya va ekvivalentdir. Biz faqat asosiy amallarni oʻrganganimiz uchun ularning faqat xossalarini ham koʻrib chiqamiz.
Assotsiativlik "va A, va B va C" kabi gaplarda operandlarning tartibi muhim emasligini anglatadi. Formula quyidagicha yozilgan:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Koʻrib turganingizdek, bu nafaqat birikmaga, balki diszyunksiyaga ham xosdir.
Komutativlik natijani bildiradikonyunksiya yoki disjunksiya qaysi element birinchi bo‘lib ko‘rib chiqilganiga bog‘liq emas:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Distribyutorlik murakkab mantiqiy ifodalarda qavslarni kengaytirish imkonini beradi. Qoidalar algebrada koʻpaytirish va qoʻshishda qavs ochishga oʻxshaydi:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Operandlardan biri boʻlishi mumkin boʻlgan bir va nolning xossalari ham algebraik nolga yoki birga koʻpaytirish va bitta bilan qoʻshishga oʻxshaydi:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Idempotentlik shuni aytadiki, agar ikkita teng operandga nisbatan operatsiya natijasi oʻxshash boʻlib chiqsa, biz fikr yuritish jarayonini murakkablashtiradigan qoʻshimcha operandlarni “tashlab qoʻyishimiz” mumkin. Konyunksiya ham, ayirma ham idempotent amallardir.
B∧B=B; B∨B=B.
Absorbsiya tenglamalarni soddalashtirishga ham imkon beradi. Absorbsiya shuni ko'rsatadiki, bitta operandli ifodaga bir xil elementli boshqa operatsiya qo'llanilsa, natija yutish operatsiyasidan olingan operand bo'ladi.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Amallar ketma-ketligi
Amallar ketma-ketligi kichik ahamiyatga ega emas. Aslida, algebraga kelsak, Boolean algebrasi foydalanadigan funktsiyalarning ustuvorligi mavjud. Formulalarni faqat amallarning ahamiyati kuzatilgan taqdirdagina soddalashtirish mumkin. Eng muhimdan eng kichigigacha tartiblash orqali biz quyidagi ketma-ketlikni olamiz:
1. Rad etish.
2. Bog'lanish.
3. Ajralish, eksklyuzivYOKI.
4. Ma’no, ekvivalentlik.
Koʻrib turganingizdek, faqat inkor va bogʻlovchi bir xil ustunlikka ega emas. Diszyunksiya va XOR ustuvorligi, shuningdek implikatsiya va ekvivalentlik ustuvorliklari tengdir.
Implication va ekvivalentlik funksiyalari
Aytganimizdek, asosiy mantiqiy operatsiyalardan tashqari, matematik mantiq va algoritmlar nazariyasida hosilalardan foydalaniladi. Eng koʻp qoʻllaniladigan maʼno va ekvivalentlikdir.
Implication yoki mantiqiy oqibat - bu bir harakat shart, ikkinchisi esa uni amalga oshirish natijasi bo'lgan bayonotdir. Boshqacha qilib aytganda, bu "agar … keyin" predloglari bo'lgan jumladir. "Agar siz minishni yaxshi ko'rsangiz, chana ko'tarishni yaxshi ko'ring." Ya'ni, chang'i uchish uchun siz tepalikka chanani mahkamlashingiz kerak. Agar tog'dan pastga tushish istagi bo'lmasa, unda siz chanani olib yurishingiz shart emas. Bu shunday yozilgan: A→B yoki A⇒B.
Ekvivalentlik natijada harakat faqat ikkala operand ham rost boʻlganda sodir boʻlishini nazarda tutadi. Masalan, quyosh ufqdan chiqqanda (va faqat) tun kunduzga aylanadi. Matematik mantiq tilida bu gap quyidagicha yoziladi: A≡B, A⇔B, A==B.
Boolean algebrasining boshqa qonunlari
Hukmlar algebrasi rivojlanmoqda va ko'plab qiziqqan olimlar yangi qonunlarni ishlab chiqdilar. Shotlandiya matematigi O. de Morganning postulatlari eng mashhurlari hisoblanadi. U yaqin inkor, to‘ldiruvchi va qo‘sh inkor kabi xossalarni payqagan va aniqlagan.
Yopish inkori qavs oldidan hech qanday inkor yoʻqligini bildiradi:emas (A yoki B)=A emas yoki B emas.
Operand inkor etilganda, uning qiymatidan qat'iy nazar, to'ldiruvchi haqida gapiriladi:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
Va nihoyat, ikkilamchi inkor oʻzini qoplaydi. Bular. operanddan oldin inkor yoʻqoladi yoki faqat bittasi qoladi.
Testlarni qanday yechish kerak
Matematik mantiq berilgan tenglamalarni soddalashtirishni nazarda tutadi. Xuddi algebrada bo'lgani kabi, siz avval shartni iloji boricha osonlashtirishingiz kerak (murakkab kiritish va ular bilan operatsiyalardan xalos bo'lishingiz), so'ngra to'g'ri javobni qidirishni boshlashingiz kerak.
Soddalashtirish uchun nima qilish mumkin? Barcha olingan amallarni oddiy amallarga aylantiring. Keyin barcha qavslarni oching (yoki aksincha, bu elementni qisqartirish uchun uni qavslardan chiqarib oling). Keyingi qadam mantiqiy algebra xossalarini amalda qo‘llash bo‘lishi kerak (yutilish, nol va birning xossalari va h.k.).
Oxir-oqibat, tenglama oddiy amallar bilan birlashtirilgan noma'lumlarning minimal sonidan iborat bo'lishi kerak. Yechimni topishning eng oson yo'li ko'p sonli yaqin negativlarga erishishdir. Keyin javob xuddi o'z-o'zidan paydo bo'ladi.
