Matematik statistika - bu noaniq sharoitlar sharoitida asosli qarorlar qabul qilish imkonini beruvchi metodologiya. Ma'lumotlarni yig'ish va tizimlashtirish usullarini o'rganish, tajribalar va tajribalarning yakuniy natijalarini ommaviy tasodifiylik bilan qayta ishlash va har qanday qonuniyatlarni ochish matematikaning ushbu bo'limi bilan shug'ullanadi. Matematik statistikaning asosiy tushunchalarini ko'rib chiqing.
Ehtimollar nazariyasi bilan farq
Matematik statistika usullari ehtimollar nazariyasi bilan chambarchas kesishadi. Matematikaning ikkala tarmog'i ham ko'plab tasodifiy hodisalarni o'rganish bilan shug'ullanadi. Ikki fan chegara teoremalari bilan bog'langan. Biroq, bu fanlar o'rtasida katta farq bor. Agar ehtimollar nazariyasi matematik model asosida real dunyodagi jarayonning xususiyatlarini aniqlasa, matematik statistika buning aksini qiladi - u modelning xususiyatlarini o'rnatadi.kuzatilgan maʼlumotlarga asoslangan.
Qadamlar
Matematik statistikani qoʻllash faqat tasodifiy hodisalar yoki jarayonlarga, toʻgʻrirogʻi, ularni kuzatish natijasida olingan maʼlumotlarga nisbatan amalga oshirilishi mumkin. Va bu bir necha bosqichda sodir bo'ladi. Birinchidan, eksperimentlar va tajribalar ma'lumotlari ma'lum ishlov berishdan o'tadi. Ular aniqlik va tahlil qilish qulayligi uchun buyurtma qilinadi. Keyin kuzatilgan tasodifiy jarayonning kerakli parametrlarining aniq yoki taxminiy bahosi tuziladi. Ular quyidagilar bo'lishi mumkin:
- hodisa ehtimolini baholash (uning ehtimolligi dastlab noma'lum);
- noaniq taqsimot funksiyasining harakatini oʻrganish;
- kutilish taxmini;
- farqni baholash
- va boshqalar
Uchinchi bosqich tahlil oldidan qo’yilgan har qanday farazlarni tekshirish, ya’ni tajribalar natijalari nazariy hisob-kitoblarga qanchalik mos keladi degan savolga javob olish. Aslida, bu matematik statistikaning asosiy bosqichidir. Masalan, kuzatilgan tasodifiy jarayonning harakati normal taqsimot ichida yoki yo'qligini ko'rib chiqish mumkin.
Aholisi
Matematik statistikaning asosiy tushunchalari umumiy va tanlanma populyatsiyalarni o'z ichiga oladi. Bu fan ba'zi bir mulkka nisbatan ma'lum ob'ektlar to'plamini o'rganish bilan bog'liq. Bunga taksi haydovchisining ishi misol bo'la oladi. Ushbu tasodifiy o'zgaruvchilarni ko'rib chiqing:
- yuk yoki mijozlar soni: kuniga, tushlikdan oldin, tushlikdan keyin, …;
- oʻrtacha sayohat vaqti;
- Kiruvchi arizalar soni yoki ularning shahar tumanlariga biriktirilishi va boshqalar.
Shuningdek, shuni ham ta'kidlash joizki, shunga o'xshash tasodifiy jarayonlar to'plamini o'rganish mumkin, ular ham kuzatilishi mumkin bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi bo'ladi.
Demak, matematik statistika metodlarida oʻrganilayotgan obʼyektlarning butun toʻplami yoki berilgan obʼyektda bir xil sharoitda olib boriladigan turli kuzatishlar natijalari umumiy toʻplam deyiladi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, matematik jihatdan qat'iyroq aytganda, bu elementar hodisalar fazosida aniqlangan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, unda elementlar ma'lum ehtimolga ega bo'lgan kichik to'plamlar sinfi ko'rsatilgan.
Aholining namunasi
Har bir ob'ektni o'rganish uchun uzluksiz tadqiqot o'tkazish biron sababga ko'ra (xarajat, vaqt) imkonsiz yoki amaliy bo'lmagan holatlar mavjud. Misol uchun, uning sifatini tekshirish uchun muhrlangan murabboning har bir idishini ochish shubhali qaror va har bir havo molekulasining traektoriyasini kubometrda baholashga urinish mumkin emas. Bunday hollarda tanlab kuzatish usuli qo'llaniladi: umumiy populyatsiyadan ma'lum miqdordagi ob'ektlar (odatda tasodifiy) tanlanadi va ular tahlil qilinadi.
Bu tushunchalar avvaliga murakkab tuyulishi mumkin. Shuning uchun mavzuni to’liq o’zlashtirish uchun V. E. Gmurmanning “Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika” darsligini o’rganish kerak. Shunday qilib, tanlab olish to'plami yoki namunasi umumiy to'plamdan tasodifiy tanlangan ob'ektlar qatoridir. Qattiq matematik jihatdan bu mustaqil, bir xil taqsimlangan tasodifiy oʻzgaruvchilar ketma-ketligi boʻlib, ularning har biri uchun taqsimot umumiy tasodifiy oʻzgaruvchi uchun koʻrsatilganiga toʻgʻri keladi.
Asosiy tushunchalar
Matematik statistikaning boshqa bir qancha asosiy tushunchalarini qisqacha koʻrib chiqamiz. Umumiy populyatsiya yoki namunadagi ob'ektlar soni hajm deb ataladi. Tajriba davomida olingan namunaviy qiymatlar namunani amalga oshirish deb ataladi. Tanlovga asoslangan umumiy populyatsiyani baholash ishonchli bo'lishi uchun vakillik yoki vakillik deb ataladigan namunaga ega bo'lish muhimdir. Bu shuni anglatadiki, namuna populyatsiyani to'liq ifodalashi kerak. Bunga faqat populyatsiyaning barcha elementlari namunada bo‘lish ehtimoli teng bo‘lsagina erishish mumkin.
Namunalar qaytarish va qaytarilmasligini ajratib turadi. Birinchi holda, namunaning mazmunida takrorlangan element umumiy to'plamga qaytariladi, ikkinchi holda, u emas. Odatda, amalda almashtirishsiz namuna olish qo'llaniladi. Shuni ham ta'kidlash kerakki, umumiy aholi soni har doim namunaning hajmidan sezilarli darajada oshadi. MavjudNamuna olish jarayoni uchun ko'p variantlar:
- oddiy - elementlar birdan tasodifiy tanlanadi;
- yozildi - umumiy aholi turlarga bo'linadi va har biridan tanlov amalga oshiriladi; Misol - aholi o'rtasida so'rov: erkaklar va ayollar alohida;
- mexanik - masalan, har 10-elementni tanlang;
- serial - tanlash elementlar qatorida amalga oshiriladi.
Statistik taqsimot
Gmurmanning fikricha, ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fan olamida, ayniqsa uning amaliy qismida nihoyatda muhim fanlardir. Namunaning statistik taqsimotini ko'rib chiqing.
Matematikadan sinovdan oʻtgan bir guruh talabalarimiz bor deylik. Natijada, bizda taxminlar to'plami mavjud: 5, 3, 1, 4, 3, 4, 2, 5, 4, 4, 5 - bu bizning asosiy statistik materialimiz.
Birinchidan, biz uni saralashimiz yoki tartiblash amalini bajarishimiz kerak: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 - va shu tariqa variatsion qatorni olishimiz kerak. Baholarning har birining takrorlanish soni baholash chastotasi, ularning tanlov hajmiga nisbati esa nisbiy chastota deb ataladi. Keling, namunaning statistik taqsimoti jadvalini yoki shunchaki statistik qatorni tuzamiz:
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1 | 1 | 2 | 4 | 3 |
yoki
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1/11 | 1/11 | 2/11 | 4/11 | 3/11 |
Tasodifiy oʻzgaruvchiga ega boʻlaylik, unda biz bir qator tajribalar oʻtkazamiz va bu oʻzgaruvchi qanday qiymatga ega ekanligini koʻramiz. Aytaylik, u a1 - m1 marta qiymat oldi; a2 - m2 marta va hokazo. Bu namunaning oʻlchami m1 + … + mk=m boʻladi. i 1 dan k gacha oʻzgarib turadigan ai toʻplami statistik qatordir.
Interval taqsimoti
V. E. Gmurmanning "Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika" kitobida intervalli statistik qator ham keltirilgan. Agar o'rganilayotgan xususiyatning qiymati ma'lum bir oraliqda uzluksiz bo'lsa va qiymatlar soni ko'p bo'lsa, uni tuzish mumkin. Bir guruh talabalarni, aniqrog'i, ularning bo'yi: 163, 180, 185, 172, 161, 171, 189, 157, 165, 174, 180, 181, 175, 182, 167, 159, 117, 179, 160, 180, 166, 178, 156, 180, 189, 173, 174, 175 - jami 30 nafar talaba. Shubhasiz, insonning balandligi doimiy qiymatdir. Biz intervalli qadamni aniqlashimiz kerak. Buning uchun Sturges formulasidan foydalaniladi.
| h= | maks - min | = | 190 - 156 | = | 33 | = | 5, 59 |
| 1+log2m | 1+log230 | 5, 9 |
Shunday qilib, intervalning oʻlchami sifatida 6 qiymatini olish mumkin. Shuni ham aytish kerakki, 1+log2m qiymati formulasiintervallar sonini aniqlash (albatta, yaxlitlash bilan). Shunday qilib, formulalarga ko'ra, har birining o'lchami 6 ga teng bo'lgan 6 ta interval olinadi. Va dastlabki intervalning birinchi qiymati formula bilan aniqlangan raqam bo'ladi: min - h / 2=156 - 6/2=153. Jadval tuzamiz, unda intervallar va o‘sishi ma’lum oraliqda tushgan o‘quvchilar soni ko‘rsatilgan.
| H | [153; 159) | [159; 165) | [165; 171) | [171; 177) | [177; 183) | [183; 189) |
| P | 2 | 5 | 3 | 9 | 8 | 3 |
| P | 0, 06 | 0, 17 | 0, 1 | 0, 3 | 0, 27 | 0, 1 |
Albatta, bu hammasi emas, chunki matematik statistikada koʻproq formulalar mavjud. Biz faqat ba'zi asosiy tushunchalarni ko'rib chiqdik.
Tarqatish jadvali
Matematik statistikaning asosiy tushunchalari ravshanligi bilan ajralib turadigan taqsimotning grafik tasvirini ham oʻz ichiga oladi. Grafiklarning ikki turi mavjud: ko'pburchak va gistogramma. Birinchisi diskret statistik qatorlar uchun ishlatiladi. Va uzluksiz tarqatish uchun mos ravishda ikkinchisi.
