"Fermat teoremasi - qisqa isbot" so'rovining mashhurligiga qarab, bu matematik muammo haqiqatan ham ko'pchilikni qiziqtiradi. Bu teorema birinchi marta Per de Ferma tomonidan 1637 yilda “Arifmetika” nusxasining chetida bayon qilingan va u yerda uning yechimi chetiga sig‘maydigan darajada katta ekanligini ta’kidlagan.
Birinchi muvaffaqiyatli isbot 1995 yilda nashr etilgan - bu Endryu Uilz tomonidan Ferma teoremasining to'liq isboti edi. Bu "hayratlanarli taraqqiyot" deb ta'riflangan va Uilzni 2016 yilda Abel mukofotini olishga olib keldi. Nisbatan qisqacha tavsiflangan bo'lsa-da, Ferma teoremasining isboti modullilik teoremasining ko'p qismini isbotladi va ko'plab boshqa muammolarga yangi yondashuvlar va modullikni ko'tarishning samarali usullarini ochib berdi. Bu yutuqlar 100 yil oldin matematikani ilg'or qildi. Fermaning kichik teoremasining isboti bugungi kunda emasg'ayrioddiy narsa.
Echilmagan muammo 19-asrda algebraik sonlar nazariyasining rivojlanishiga va 20-asrda modullik teoremasining isbotini izlashga turtki boʻldi. Bu matematika tarixidagi eng e'tiborga molik teoremalardan biri bo'lib, Fermaning so'nggi teoremasining to'liq bo'linish isboti bo'lgunga qadar u Ginnesning rekordlar kitobiga "eng qiyin matematik muammo" sifatida kiritilgan bo'lib, uning xususiyatlaridan biri shundaki. unda eng koʻp muvaffaqiyatsiz isbotlar mavjud.
Tarixiy ma'lumot
Pifagor tenglamasi x2 + y2=z2 cheksiz sonli musbatga ega x, y va z uchun butun sonli yechimlar. Ushbu yechimlar Pifagor uchliklari deb nomlanadi. Taxminan 1637 yilda Fermat kitobning chetiga a + b =ctenglamasi yo'qligini yozgan. natural sonlardagi yechimlar, agar n 2 dan katta butun son bo'lsa. Fermaning o'zi o'z muammosining yechimi borligini da'vo qilgan bo'lsa-da, uning isboti haqida hech qanday tafsilotlarni qoldirmadi. Ferma teoremasini yaratuvchisi tomonidan da'vo qilingan elementar isbot uning maqtanchoq ixtirosi edi. Buyuk frantsuz matematigining kitobi vafotidan 30 yil o‘tib topilgan. Fermaning oxirgi teoremasi deb ataladigan bu tenglama uch yarim asr davomida matematikada yechilmay qoldi.
Teorema oxir-oqibat matematikaning eng ko'zga ko'ringan yechilmagan muammolaridan biriga aylandi. Buni isbotlashga urinishlar sonlar nazariyasining sezilarli rivojlanishiga sabab bo'ldivaqt o'tgach, Fermaning oxirgi teoremasi matematikada yechilmagan masala sifatida ma'lum bo'ldi.
Dalillarning qisqacha tarixi
Agar Fermaning oʻzi isbotlaganidek, n =4 boʻlsa, tub sonlar boʻlgan n indekslari uchun teoremani isbotlash kifoya. Keyingi ikki asr davomida (1637-1839) faraz faqat 3, 5 va 7 tub sonlar uchun isbotlangan, garchi Sofi Jermen butun tub sonlar sinfiga taalluqli yondashuvni yangilagan va isbotlagan bo‘lsa-da. 19-asr oʻrtalarida Ernst Kummer buni kengaytirdi va barcha muntazam tub sonlar uchun teoremani isbotladi, bunda tartibsiz tub sonlar alohida tahlil qilindi. Kummerning ishiga asoslanib va murakkab kompyuter tadqiqotlaridan foydalangan holda, boshqa matematiklar barcha asosiy ko'rsatkichlarni to'rt milliongacha qamrab olish maqsadida teorema yechimini kengaytirishga muvaffaq bo'lishdi, ammo barcha ko'rsatkichlar uchun isbot hali ham mavjud emas edi (ya'ni matematiklar Odatda teoremani yechish imkonsiz, o‘ta qiyin yoki hozirgi bilim bilan erishib bo‘lmaydigan deb hisoblanadi.
Shimura va Taniyamaning ishi
1955-yilda yapon matematiklari Goro Shimura va Yutaka Taniyama elliptik egri chiziqlar va modulli shakllar, ya'ni matematikaning ikki xil bo'limi o'rtasida bog'liqlik borligiga shubha qilishgan. O'sha paytda Taniyama-Shimura-Veyl gipotezasi va (oxir-oqibat) modullilik teoremasi sifatida ma'lum bo'lgan, Fermatning oxirgi teoremasi bilan hech qanday aloqasi yo'q holda o'z-o'zidan mavjud edi. Uning o'zi muhim matematik teorema sifatida keng ko'lamda qabul qilingan, ammo uni (Fermat teoremasi kabi) isbotlash mumkin emas deb hisoblangan. ShundaShu bilan birga, Fermaning oxirgi teoremasini isbotlash (murakkab matematik formulalarni bo'lish va qo'llash orqali) faqat yarim asrdan keyin amalga oshirildi.
1984 yilda Gerxard Frey bu ikki ilgari bir-biriga bog'liq bo'lmagan va hal qilinmagan muammolar o'rtasida aniq bog'liqlik borligini payqadi. Ikkala teoremaning bir-biri bilan chambarchas bog'liqligini to'liq tasdiqlash 1986 yilda Ken Ribet tomonidan nashr etilgan bo'lib, u Jan-Pyer Serraning qisman isbotiga asoslanib, "epsilon gipotezasi" deb nomlanuvchi bir qismdan tashqari hammasini isbotlagan. Oddiy qilib aytganda, Frey, Serra va Ribening bu ishlari shuni ko'rsatdiki, agar modullilik teoremasi hech bo'lmaganda elliptik egri chiziqlarning yarim barqaror sinfi uchun isbotlangan bo'lsa, Fermaning oxirgi teoremasining isboti ham ertami kechmi topiladi. Fermaning oxirgi teoremasiga zid boʻlishi mumkin boʻlgan har qanday yechim modullilik teoremasiga ham zid boʻlishi mumkin. Demak, agar modullilik teoremasi to'g'ri bo'lib chiqsa, u holda ta'rifga ko'ra Fermaning oxirgi teoremasiga zid bo'lgan yechim bo'lishi mumkin emas, ya'ni u tez orada isbotlanishi kerak edi.
Har ikkala teorema ham matematikada qiyin masalalar boʻlib, yechilmaydigan deb hisoblangan boʻlsa-da, bu ikki yaponning ishi Fermatning oxirgi teoremasini qanday qilib kengaytirish va faqat ayrimlari uchun emas, balki barcha raqamlar uchun isbotlash mumkinligi haqidagi birinchi taklif edi. Tadqiqot mavzusini tanlagan tadqiqotchilar uchun muhim jihat shundaki, Fermaning so'nggi teoremasidan farqli o'laroq, modullilik teoremasi tadqiqotning asosiy faol yo'nalishi bo'lgan.dalillar ishlab chiqilgan va nafaqat tarixiy g'alati, shuning uchun uning ishiga sarflangan vaqtni professional nuqtai nazardan oqlash mumkin edi. Biroq, umumiy konsensus Taniyama-Shimura gipotezasini echish noo'rin ekanligi isbotlangan.
Fermning oxirgi teoremasi: Uilz isboti
Ribet Frey nazariyasini toʻgʻri isbotlaganini bilib, bolaligidan Fermaning soʻnggi teoremasi bilan qiziqqan va elliptik egri chiziqlar va qoʻshni sohalar bilan ishlash tajribasiga ega ingliz matematigi Endryu Uayls Taniyama-Shimurani isbotlashga urinib koʻrishga qaror qildi. Faraz Fermaning oxirgi teoremasini isbotlash usuli sifatida. 1993 yilda, maqsadini e'lon qilganidan olti yil o'tgach, Uilz teoremani yechish muammosi ustida yashirincha ishlayotganda, tegishli farazni isbotlashga muvaffaq bo'ldi, bu esa o'z navbatida Fermatning oxirgi teoremasini isbotlashga yordam beradi. Wiles hujjati hajmi va qamrovi jihatidan juda katta edi.
Oʻz asl maqolasining bir qismida kamchilik koʻrib chiqilayotganda aniqlandi va teoremani birgalikda yechish uchun Richard Teylor bilan yana bir yil hamkorlik qilish kerak boʻldi. Natijada, Fermaning oxirgi teoremasini Uaylsning yakuniy isboti uzoq kutilmadi. 1995 yilda u Uilzning oldingi matematik ishiga qaraganda ancha kichikroq hajmda nashr etildi, bu uning teoremani isbotlash imkoniyati haqidagi oldingi xulosalarida adashmaganligini ko'rsatdi. Wilesning yutug'i mashhur matbuotda keng yoritilgan va kitoblar va teledasturlarda ommalashgan. Taniyama-Shimura-Veyl gipotezasining qolgan qismlari hozirda isbotlangan vaModullilik teoremasi sifatida tanilgan, keyinchalik 1996 va 2001 yillar oralig'ida Uilsning ishlariga asoslanib, boshqa matematiklar tomonidan isbotlangan. Muvaffaqiyatlari uchun Uayls ko'plab mukofotlarga sazovor bo'lgan va 2016 yilgi Abel mukofoti bilan taqdirlangan.
Uils tomonidan Fermaning oxirgi teoremasining isboti elliptik egri chiziqlar uchun modullilik teoremasini yechishning maxsus holatidir. Biroq, bu shunday keng ko'lamli matematik operatsiyaning eng mashhur ishi. Ribe teoremasini yechish bilan bir qatorda ingliz matematigi Fermaning oxirgi teoremasining isbotini ham oldi. Fermaning so'nggi teoremasi va modullilik teoremasi zamonaviy matematiklar tomonidan deyarli isbotlab bo'lmaydigan deb hisoblangan, ammo Endryu Uayls fan olamiga hatto ekspertlar ham xato qilishi mumkinligini isbotlay oldi.
Wyles birinchi marta 1993-yil 23-iyun chorshanba kuni Kembrijdagi "Modulli shakllar, elliptik egri chiziqlar va Galois tasvirlari" nomli ma'ruzasida o'zining kashfiyoti haqida e'lon qildi. Biroq, 1993 yil sentyabr oyida uning hisob-kitoblarida xatolik borligi aniqlandi. Bir yil o'tgach, 1994 yil 19 sentyabrda, u "ish hayotining eng muhim lahzasi" deb ataydigan paytda, Uayls muammoning echimini matematik talablarni qondira oladigan darajada tuzatishga imkon beradigan vahiyga qoqilib ketdi. hamjamiyat.
Ish tavsifi
Endryu Uayls tomonidan Ferma teoremasining isboti algebraik geometriya va sonlar nazariyasining koʻplab usullaridan foydalanadi va bularning koʻp tabaqalariga ega.matematika sohalari. Shuningdek, u zamonaviy algebraik geometriyaning sxemalar kategoriyasi va Ivasava nazariyasi kabi standart konstruksiyalaridan hamda Per de Ferma uchun mavjud bo‘lmagan 20-asrning boshqa usullaridan foydalanadi.
Dalillarni o'z ichiga olgan ikkita maqola 129 sahifadan iborat bo'lib, etti yil davomida yozilgan. Jon Kouts bu kashfiyotni raqamlar nazariyasining eng katta yutuqlaridan biri deb ta'riflagan, Jon Konvey esa buni 20-asrning asosiy matematik yutug'i deb atagan. Uils Fermatning oxirgi teoremasini yarim barqaror elliptik egri chiziqlarning maxsus holati uchun modullik teoremasini isbotlash orqali isbotlash uchun modullikni ko'tarishning kuchli usullarini ishlab chiqdi va boshqa ko'plab muammolarga yangi yondashuvlarni ochib berdi. Fermatning so'nggi teoremasini yechigani uchun u ritsar unvoniga sazovor bo'ldi va boshqa mukofotlarga sazovor bo'ldi. Uayls Abel mukofotini qo'lga kiritgani ma'lum bo'lgach, Norvegiya Fanlar akademiyasi uning yutug'ini "Fermatning so'nggi teoremasining ajoyib va elementar isboti" deb ta'rifladi.
Qanday edi
Uilzning asl qoʻlyozmasini teorema yechimi bilan koʻrib chiqqanlardan biri Nik Kats edi. Ko'rib chiqish jarayonida u britaniyalikga bir qator aniq savollar berdi, bu esa Uilzni o'z ishida aniq bo'shliq borligini tan olishga majbur qildi. Dalilning tanqidiy qismida ma'lum bir guruhning tartibini baholagan xatoga yo'l qo'yildi: Kolyvagin va Flach usulini kengaytirish uchun ishlatiladigan Eyler tizimi to'liq emas edi. Biroq, xato uning ishini befoyda qilmadi - Uilsning har bir asari ko'pchilik kabi juda muhim va innovatsion edi.o'z faoliyati davomida yaratgan va qo'lyozmaning faqat bir qismiga ta'sir qilgan ishlanmalar va usullar. Biroq, 1993 yilda nashr etilgan ushbu original asarda Fermaning oxirgi teoremasining isboti yo'q edi.
Wyles qariyb bir yil davomida teorema yechimini qaytadan kashf qilishga urindi, avval yolgʻiz oʻzi, keyin esa sobiq shogirdi Richard Teylor bilan hamkorlikda, lekin hammasi behuda boʻlib tuyuldi. 1993 yil oxiriga kelib, Wilesning isboti sinovda muvaffaqiyatsizlikka uchraganligi haqida mish-mishlar tarqaldi, ammo bu muvaffaqiyatsizlik qanchalik jiddiy ekanligi noma'lum edi. Matematiklar kengroq matematiklar hamjamiyati u erisha oladigan narsalarni o'rganishi va foydalanishi uchun Uilsga uning ishining tafsilotlarini, bajarilganmi yoki yo'qligini ochib berish uchun bosim o'tkaza boshladilar. Uayls xatosini tezda tuzatish o'rniga Fermaning so'nggi teoremasini isbotlashda qo'shimcha qiyin jihatlarnigina topdi va nihoyat bu qanchalik qiyinligini tushundi.
Wyles ta'kidlashicha, 1994 yil 19 sentyabr kuni ertalab u taslim bo'lish va taslim bo'lish arafasida edi va muvaffaqiyatsizlikka deyarli iste'foga chiqdi. U o‘zining tugallanmagan asarini boshqalarga tayanib, qayerda xato qilganini topishi uchun nashr etishga tayyor edi. Ingliz matematigi o'ziga so'nggi imkoniyat berishga qaror qildi va to'satdan Kolyvagin-Flac yondashuvi ishlamaguncha uning yondashuvi ish bermasligining asosiy sabablarini tushunishga harakat qilish uchun oxirgi marta teoremani tahlil qildi.isbotlash jarayoniga Ivasava nazariyasini ham kiritadi va bu uning ishlashiga imkon beradi.
6-oktabrda Uayls uchta hamkasbidan (jumladan, F altins) yangi ishini koʻrib chiqishni soʻradi va 1994-yil 24-oktabrda u ikkita qoʻlyozma – “Modulli elliptik egri chiziqlar va Fermatning soʻnggi teoremasi” va “Oʻzining nazariy xususiyatlari”ni taqdim etdi. ba'zi Hecke algebralarining halqasi , ikkinchisini Uayls Teylor bilan birgalikda yozgan va asosiy maqoladagi tuzatilgan qadamni oqlash uchun ma'lum shartlar bajarilganligini isbotlagan.
Ushbu ikki maqola koʻrib chiqildi va nihoyat 1995-yil may oyida Matematika Annals jurnalida toʻliq matnli nashr sifatida chop etildi. Endryuning yangi hisob-kitoblari keng miqyosda tahlil qilindi va oxir-oqibat ilmiy jamoatchilik tomonidan qabul qilindi. Ushbu maqolalarda yarim turg'un elliptik egri chiziqlar uchun modullilik teoremasi o'rnatildi - bu Fermaning oxirgi teoremasini isbotlash yo'lidagi so'nggi qadam, yaratilganidan 358 yil o'tib.
Buyuk muammo tarixi
Bu teoremani yechish koʻp asrlar davomida matematikaning eng katta muammosi hisoblanib kelgan. 1816 va 1850 yillarda Frantsiya Fanlar akademiyasi Fermaning oxirgi teoremasining umumiy isboti uchun mukofot taklif qildi. 1857-yilda akademiya Kummerga ideal raqamlar bo‘yicha olib borgan tadqiqotlari uchun 3000 frank va oltin medal bilan taqdirladi, garchi u mukofotga ariza bermagan bo‘lsa ham. 1883 yilda Bryussel akademiyasi unga yana bir mukofot taklif qilgan.
Volfskell mukofoti
1908 yilda nemis sanoatchisi va havaskor matematigi Pol Volfskel 100 000 oltin markani vasiyat qildi (o'sha vaqt uchun katta miqdor)Gettingen Fanlar akademiyasi, shuning uchun bu pul Fermatning oxirgi teoremasining to'liq isboti uchun mukofot bo'ladi. 1908 yil 27 iyunda Akademiya to'qqizta mukofot qoidalarini e'lon qildi. Boshqa narsalar bilan bir qatorda, ushbu qoidalar dalillarni ko'rib chiqiladigan jurnalda nashr etilishini talab qildi. Mukofot nashr etilganidan ikki yil o'tgach topshirilishi kerak edi. Musobaqa 2007 yil 13 sentyabrda - boshlanganidan taxminan bir asr o'tib tugashi kerak edi. 1997 yil 27 iyunda Uayls Wolfschelning mukofot pulini, keyin esa yana 50 000 dollarni oldi. 2016 yil mart oyida u Norvegiya hukumatidan Abel mukofoti doirasida "sonlar nazariyasida yangi davrni ochgan yarim barqaror elliptik egri chiziqlar uchun modullik gipotezasi yordamida Fermatning oxirgi teoremasining ajoyib isboti" uchun 600 000 evro oldi. Bu kamtar inglizning jahon g'alabasi edi.
Uilz isbotlashdan oldin, Ferma teoremasi, avval aytib o'tilganidek, asrlar davomida mutlaqo yechilmaydigan deb hisoblangan. Turli vaqtlarda Volfskell qo'mitasiga minglab noto'g'ri dalillar taqdim etilgan, ular taxminan 10 fut (3 metr) yozishmalarni tashkil etgan. Mukofot mavjudligining birinchi yilida (1907-1908) teoremani yechish uchun 621 ta ariza topshirilgan, garchi 1970-yillarga kelib ularning soni oyiga 3-4 ta arizaga kamaydi. Wolfschelning sharhlovchisi F. Shlichtingning fikricha, dalillarning aksariyati maktablarda o'qitiladigan elementar usullarga asoslangan bo'lib, ular ko'pincha "texnik bilimga ega bo'lgan, ammo muvaffaqiyatsiz martabali odamlar" sifatida taqdim etilgan. Matematik tarixchi Xovard Avesning so'zlariga ko'ra, oxirgiFerma teoremasi o'ziga xos rekord o'rnatdi - bu eng ko'p noto'g'ri dalillarga ega teorema.
Fermaning muvaffaqiyati yaponlarga nasib etdi
Yuqorida aytib oʻtilganidek, taxminan 1955-yilda yapon matematiklari Goro Shimura va Yutaka Taniyama matematikaning ikki xil koʻrinadigan boʻlimlari – elliptik egri chiziqlar va modulli shakllar oʻrtasida mumkin boʻlgan bogʻliqlikni kashf qildilar. Olingan modullilik teoremasi (o'sha paytda Taniyama-Shimura gipotezasi deb ataladigan) har bir elliptik egri modulli ekanligini bildiradi, ya'ni uni noyob modulli shakl bilan bog'lash mumkin.
Bu nazariya dastlab nomaqbul yoki juda spekulyativ deb rad etildi, ammo raqamlar nazariyotchisi Andre Vayl yapon xulosalarini tasdiqlovchi dalillarni topganida jiddiyroq qabul qilindi. Natijada, gipoteza ko'pincha Taniyama-Shimura-Veyl gipotezasi deb ataladi. U Langlands dasturining bir qismi bo‘ldi, bu kelajakda isbotlanishi kerak bo‘lgan muhim farazlar ro‘yxati.
Jiddiy tekshirishdan keyin ham bu faraz zamonaviy matematiklar tomonidan oʻta qiyin yoki ehtimol isbotlab boʻlmaydigan deb tan olingan. Endi bu alohida teorema o'zining yechimi bilan butun dunyoni lol qoldirishi mumkin bo'lgan Endryu Uilzni kutmoqda.
Fermat teoremasi: Perelman isboti
Ommaviy afsonaga qaramay, rus matematigi Grigoriy Perelman, butun dahosiga qaramay, Ferma teoremasi bilan hech qanday aloqasi yo'q. Biroq, bu hech qanday tarzda undan kamaymaydi.ilmiy hamjamiyatga koʻp hissa qoʻshgan.
