Kundalik hayotning koʻp sohalarida geometriya odamlarga muhim savollarga javob berishga va hayotiy muammolarni hal qilishga yordam beradi. Kamida 4 ming yil oldin, bu bilim, masalan, qadimgi Misrda erni boshqarish uchun ishlatilgan. Va bugungi kunda ko'plab kasblar, dizaynerlardan tortib me'morlargacha, maydonni qanday hisoblashni bilish uchun geometriya bo'yicha asosiy bilimlarga muhtoj.
Tana yuzasi va uning maydoni
Bu tekis shakl ichida qancha bo'sh joy borligini ko'rsatadigan o'lchovdir. Umuman olganda, sirt maydoni ob'ektning sirtini qoplagan geometrik shakllarning barcha sohalarining yig'indisidir. Kundalik hayotda, masalan, devorni qoplash uchun qancha bo'yoq yoki uyning tomini ta'mirlash uchun shifer sotib olish kerakligini bilish uchun tana sirtining maydonini hisoblash ko'pincha talab qilinadi.
Odamlar qadimdan panjara usuli yordamida tekis geometrik shakllar maydonini aniqlashni oʻrgangan. Bu eng oddiy miqyosli panjara ekanligidan iboratkvadratchalar, masalan, 1x1 sm. Bundan so'ng, shakl ichidagi katakchalar sonini hisoblab, kvadrat maydonini osongina hisoblashingiz mumkin. Bunday holda, to'rning har bir kvadrati 1 sm kengligida va 1 sm balandlikda bo'ladi va bu panjara kvadratining maydoni bir kvadrat santimetrga teng.
Shakldagi kvadratlarni hisoblash uchun katakchadan foydalanish maydonni aniqlashning juda oddiy usuli hisoblanadi, lekin undan murakkab shakllar maydonini aniqlashda foydalanib boʻlmaydi. Bunday murakkab ob'ektlarning maydonini oddiy matematik formulalar yordamida hisoblash mumkin. Hayotda eng oddiy va eng koʻp qoʻllaniladigan hisoblar kvadrat va toʻrtburchaklar maydonlari boʻlib, siz maydonni metrda qanday hisoblashni bilishingiz kerak.
Koʻpincha haqiqiy hisob-kitoblar murakkabroq boʻlishi mumkin. Misol uchun, xona uchun odatiy zamin rejasi oddiy to'rtburchaklar yoki kvadrat bo'lmasligi mumkin. Bunday holda, umumiy maydonni hisoblashdan oldin, o'lchangan murakkab sirtni bir nechta oddiy geometrik shakllarga bo'lish kerak.
Oddiy to'rtburchaklar hisobi
Atrofga diqqat bilan qarasangiz, koʻplab toʻrtburchaklar misollarini koʻrishingiz mumkin. Ta'rifga ko'ra, to'rtburchak burchaklari 90 graduslik to'g'ri burchak ostida joylashgan to'rt tomonlama ko'pburchakdir. To'rtburchaklar tanasining sirt maydonini hisoblash oddiy matematik operatsiya bo'lib, u kundalik hayotda odam tomonidan eng ko'p qo'llaniladi. Nima uchun maydon formulasini bilish muhim? Insonni o'rab turgan ko'plab ob'ektlar va muhitlar mavjudto'rtburchaklar shakli: uy, devorlar, zamin, tom. Qurilish yoki taʼmirlash uchun siz koʻpincha ularning hududini bilishingiz kerak boʻladi.
Agar toʻgʻri toʻrtburchakning uzunligi b va kengligi h boʻlsa, S maydonni uning uzunligiga enini koʻpaytirish orqali topishimiz mumkin. Shuning uchun: S=bxh.
Misol. To'rtburchakning maydonini qanday hisoblash mumkin, agar tomoni va kengligi ma'lum bo'lsa, masalan, uzunligi 4 sm va kengligi 3 sm bo'lsa, u holda: S=4x3=12.
Javob: 12 sm2.
Kvadrat burchaklari va tomonlari teng boʻlgan toʻrtburchaklar turidir.
S=bxb=b2.
Misol. Agar kvadratning tomonlari 3 sm ga teng bo'lsa, yon qiymatini kvadratga aylantirib S ni topishimiz mumkin. Shunday qilib, bizda: S=3x3=9.
Javob: 9 sm2.
Parallelogram formulalari
Parallelogramma bir xil uzunlikdagi ikki juft parallel tomoni boʻlgan toʻrt qirrali koʻpburchakdir. Ta'rifga ko'ra, to'rtburchak ham parallelogrammning bir turi, ammo burchaklari teng. Parallelogrammaning maydoni to'rtburchaklar bilan bir xil tarzda hisoblanadi (balandlik × kenglik), lekin balandlik vertikal tomonlarning uzunligini emas, balki tomonlar orasidagi masofani anglatishini tushunish kerak.
Rasmdan koʻrinib turibdiki, balandlik parallelogrammaning ikkita parallel tomoni orasidagi masofa boʻlib, ular orasida toʻgʻri burchak ostida joylashgan. S=ADxh. S=bxh, bu yerda AD=b - asos, h - balandlik.
Misol. Agar parallelogrammaning asosi 3 sm va balandligi 2 sm bo'lsa, u holda S maydoni asos va balandlikning ko'paytmasiga teng bo'ladi. Shunday qilib, bizda: S=3x2=6.
Javob: 6 sm2.
Trapezoid asos
Keling, trapesiya maydonini qanday qilib to'g'ri hisoblashni ko'rib chiqaylik. Trapetsiya - bu bir juft parallel tomonlari bo'lgan to'rt qirrali ko'pburchak. Agar ikkita parallel bo'lmagan tomonning uzunligi bir xil bo'lsa, bu shakl teng yon tomonli yoki muntazam trapezoid deb ataladi. Parallel bo'lmagan tomonlar turli uzunliklarga ega bo'lsa, u izoskelsiz deyiladi. Biroq, ta'rifdagi qo'shimcha murakkablikka qaramay, tartibsiz trapezoidning maydonini oddiy formula yordamida hisoblash mumkin.
Trapezoidning maydonini hisoblash uchun o'lchovlar:
- O'tkazgichning to'g'ri chetini ikkita parallel tomonning qisqasi bo'ylab tekislang.
- Trapezoid asosidan qarama-qarshi parallel tomonga oxirigacha perpendikulyar chiziq chizish uchun transportyordan foydalaning.
- Balandlik masofasini oʻlchagich bilan oʻlchang.
- Qisqaroq parallel tomonning uzunligini o'lchang.
- Uzoqroq parallel tomonning uzunligini o'lchang.
- Trapezoidning maydonini topish uchun avvalo uning ikkita parallel tomonining oʻrtacha qiymatini hisoblashingiz kerak: (a+b)/2.
- Teng yon tomonli (yoki har qanday) trapetsiyaning maydoni poydevor va tepaning oʻrtacha uzunligining balandlikka koʻpaytmasiga teng.
- Trapezoid maydoni: S=1/2×h×(a + b).
E'tibor bering, trapetsiyaning balandligi parallelogramm balandligi kabi doimo poydevorga perpendikulyar. Misol: a=3sm, b=5sm, h=4sm. S=4x(3+5)/2=16.
Javob: 16 sm2.
Uchburchaklar turlari
Uchburchak - bu uch tomoni boʻlgan koʻpburchak va uni quyidagi turlarga boʻlish mumkin:
- Teng tomonli uchburchakning tomonlari va burchaklari teng.
- Teng yonli uchburchakning ikkita teng tomoni va ikkita teng burchagi bor.
- Mashtabli uchburchakning uchta teng boʻlmagan tomoni va uchta teng boʻlmagan burchagi bor.
- Toʻgʻri burchakli uchburchakning bitta toʻgʻri burchagi 90 daraja.
- Oʻtkir uchburchakning barcha burchaklari 90 darajadan kichik boʻladi.
- Toʻgʻri burchakli uchburchakning bir burchagi 90 darajadan katta.
Har qanday uchburchakning maydoni formulalar bilan aniqlanadi.
1. Agar siz uchburchakning balandligi va asosini bilsangiz, uning maydonini qanday hisoblash mumkin:
- S=1⁄2×a×h, bu yerda: h – balandlik, a – asos.
- S=1⁄2xa×b×sina, bu yerda: a, b har qanday ikki tomon, a - ular orasidagi burchak.
- S=p×r, bu erda: p=(a+b+c) / 2 - yarim perimetr, a, b, c - uch tomon, r - aylana radiusi.
Teng tomonli uchburchakning maydoni:
S=a2x√3 ⁄4, bu yerda a=b=c.
Teng yonli uchburchakning maydoni:
S=1⁄4xbx√(4a2-b2).
2. Ikki tomoni berilgan uchburchakning maydonini va ular orasidagi burchakni qanday hisoblash mumkin:
S=1⁄2xaxbxsinC=1⁄2xbxcxsinA=1⁄2xaxcxsinB
1-misol: Tomoni 14 sm va balandligi 10 sm boʻlgan uchburchakning S ni toping.
Echim: b=14 sm, h=10 sm,A=1⁄2x14x10=70
Javob: 70 sm2.
2-misol. Tomonlari va ular orasidagi burchak quyidagi tarzda berilgan uchburchakning maydonini toping: a=5 sm va b=7 sm, C=45 gradus.
Yechimi: Uchburchakning maydoni=1⁄2xaxbxsin 45.
Maydon=1⁄2×5×7×0,707 (sin45=0,707 beri)
Hudud=1⁄2×24, 745=12, 3725
Javob: 12, 3725 sm2.
3-misol. Tomonlari 10 m, asosi 12 m boʻlgan teng yonli uchburchakning maydonini (m2 da) toping.
Yechim: Teng yonli uchburchakning maydoni quyidagilar bilan aniqlanadi:
A=1⁄4xbx√(4a2-b2)A=1⁄4x12x√(4x(10) 2-(12)2)A=48
Javob: 48 m2.
4-misol. Tomonlari mos ravishda 8, 9 va 11 bo'lgan uchburchakning maydonini toping. Barcha birliklar metrda (m).
Yechim: Tomonlar a=8, b=9 va c=11. Heron formulasiga ko'ra, uchburchakning maydoni quyidagi formula bilan aniqlanishi mumkin: A=√(sx(sa)x(sb)x(sc)). Avvalo, uchburchakning yarim perimetri bo'lgan s ni aniqlashimiz kerak: s=1⁄2x(a+b+c)=1⁄2x(8+9+11)=14.
Endi, yarim perimetrning qiymatini Heron formulasiga kiritish orqali biz uchburchakning maydonini aniqlashimiz mumkin: A=√(sx(sa)x(sb)x(sc)). A=√(14x(14-8)x(14-9)x(14-11)). A=√(1260)=35, 50
Javob: 35, 50 m2.
Rombning maydonini o'lchash
Romb - tomonlari teng va teng bo'lgan parallelogrammaning maxsus turiqarama-qarshi burchaklar. Rombning maydoni uchta usul yordamida aniqlanishi mumkin.
1. Baza balandligi usuli. Birinchidan, har qanday tomonni asos sifatida tanlang, chunki ular bir xil uzunlikda. Keyin balandlikni aniqlang - tanlangan poydevordan qarama-qarshi tomonga perpendikulyar masofa.
Saha shu ikki miqdorning koʻpaytmasi boʻlib, formula bilan aniqlanadi: S=a×h, bu yerda: S - rombning maydoni, h - rombning balandligi, AB=BC=AD=DC=a - rombning tomoni
2. diagonal usul. Diagonallarning uzunligi ma'lum bo'lganda, rombning maydoni uchun yana bir oddiy formula. Maydon diagonallarning yarmi ko‘paytmasi.
Formula sifatida: S=1/2xACxBD, bu erda: S - rombning maydoni, AC - katta diagonal, BD - kichikroq diagonal
3. Trigonometriyadan foydalanish. Trigonometriyada yon uzunligi va istalgan burchak ma'lum bo'lganda qulay formula mavjud:
S=a2×sin a, bu erda: S - rombning maydoni, B=BC=AD=DC=a - rombning tomoni, a - o'tkir burchak, b - o'tkir burchak. burchak
Doira yuzasi
Doira yopiq egri chiziqdan tashkil topgan shakldir. Chiziqning har bir qismi radius deb ataladigan maydon markazidan bir xil masofada joylashgan. Qadim zamonlardan beri radius berilgan doiraning maydonini qanday hisoblash mumkinligi ma'lum bo'lgan. Doira maydoni S=pxr2 formulasi bo'yicha hisoblanadi, bu erda: S - doira maydoni, p - pi (3,1415), r - aylana radiusi.
Doira maydonini topish uchun quyidagilarni bajaring. Berilgan radius yoki diametr kattaligini r yoki d sifatida yozingmos ravishda. Diametr berilgan doiraning maydonini qanday hisoblash mumkin? Bu umuman qiyin emas, siz diametrni 2 ga bo'lish orqali radiusni hisoblashingiz kerak va ma'lumotlarni kalkulyator yordamida yoki qo'lda ko'paytirishingiz kerak. Javobingiz kvadrat birliklarda beriladi.
Muammo: radiusi 10 sm boʻlgan aylananing maydonini toping.
Yechim: Bizda aylananing radiusi=10 sm. Ayrangning maydoni=3, 1416×10×10=314, 16.
Javob: 314, 16 sm2.
Diametri 15 sm boʻlgan doira maydonini toping.
Yechim: Aylana diametri=15 sm. Radius=15/2=7,5 sm. Doira maydoni=3, 14x7, 5x7, 5=176, 625=176, 63 (2 belgigacha yaxlitlash) vergul).
Javob: 176,63 sm2.
Tomlarning oddiy geometrik shakllari
Tom yopish ishlarini bajarishdan oldin, qancha material kerakligini aniqlash uchun tomning maydonini qanday hisoblashni bilishingiz kerak. Uning miqdori har doim chegara bilan olinishi va qurilish chiqindilarini hisobga olish uchun tomning umumiy maydonining kamida 10 foizi qo'shilishi kerak.
Hisoblashdan oldin tomning sxemasi oddiy geometrik shakllarga bo'linadi, bizning misolimizda bu ikkita trapezoid va ikkita uchburchak. Trapezoidal elementlar uchun tomning maydonini qanday hisoblash mumkin? Maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: S=(a+b)xh/2, bu erda: a - pastki o'simtaning kengligi - 10 m, b - tizma bo'ylab kengligi - 7 m, h - balandligi - 5 m..
Uchburchak elementlar uchun formula qoʻllaniladi: S=axh/2, bu yerda: a - pastki oʻsimta boʻylab qiyalik kengligi - 7 m, h - qiyalik balandligi - 3 m.
Oʻlchov tartibi:
- Uzunlik, kenglik vatomning har bir geometrik shakli balandligi, shu jumladan shamol oynalari. Ushbu ma'lumot uyning asl qurilish rejasida mavjud bo'lishi mumkin yoki tomning yuzasi nisbatan past va tekis bo'lsa, uni o'zingiz o'lchashingiz mumkin. Agar uy egasining o'zi tomga xavfsiz chiqa olmasa, hisob-kitobni binoning tashqi o'lchovlari bo'yicha amalga oshirish mumkin.
- Har bir uchburchak yoki trapezoidal tekislikning uzunligi va kengligini alohida koʻpaytiring.
- Uchburchak asosining uzunligini (eng uzun tomoni) balandligiga (eng uzun tomonining oʻrtasidan qarama-qarshi burchagigacha boʻlgan masofa) koʻpaytirish orqali simmetrik uchburchak tekisliklar uchun maydonni hisoblang.
- Keyin kvadrat metrda natijani olish uchun 2 ga bo'ling. S=axh/2=7x3/2=10,5 m2.
- Trapezoidning maydonini pastki osilgan chiziqning kengligi va tizmadagi enini balandligiga (eng uzun tomonning oʻrtasidan qarama-qarshi burchakgacha boʻlgan masofa) koʻpaytirish orqali hisoblang.
- Keyin kvadrat metrda natijani olish uchun umumiy miqdorni 2 ga bo'ling.
- Tom yopish materiali zaxirasi uchun 10 foizlik qoʻshimcha haq olish uchun maydonni 0,1 ga koʻpaytiring S=(a+b)xh/2=(10+7)5/2=42,5m2.
- Barcha shakllarning maydonlarini birga qo'shing. S=10, 5+10, 5+42, 5+42, 5=106 d2.
- Natijada tomning umumiy maydoni 106 m2, chegarasi 116 m2.
Uydagi instrumental o'lchovlar
Uyning maydonini o'lchash uchun sizga asos bo'lishi mumkin bo'lgan juda aniq hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun asboblar kerak bo'ladiuyni ta'mirlash, sotib olish va sotish yoki sug'urta qilishni amalga oshirish. Hududni hisoblashdan oldin, uy rejasining eng oddiy sxemasini chizish uchun lenta o'lchovi, qalam va daftarni olishingiz kerak. U ishlab chiquvchining pasportidan yoki boshqa loyiha hujjatlaridan olinishi mumkin. Oxirgi manba bilan siz ehtiyot bo'lishingiz kerak, ko'rsatilgan raqamlar har doim ham aniq bo'lmasligi mumkin, masalan, ularda ba'zi ta'mirlashlar hisobga olinmasligi mumkin. Shuning uchun maydonni oʻzingiz oʻlchashingiz toʻgʻriroq boʻladi.
Uyning maydonini qo'lda qanday hisoblash mumkin? Agar siz zamin maydonini qo'lda o'lchashingiz kerak bo'lsa, tashqi devorlarni o'lchash yaxshi bo'ladi, turli xil binolar chuqurchalari, kommunal xonalar, yuqori qavatlar, individual binolar yoki garajlarni unutmang. Oddiy asosiy o'lchovlar bajarilganda, maydon uyning uzunligini kengligi bilan ko'paytirish orqali hisoblanadi.
Qurilish rejasining shakliga qarab, uni oddiy geometrik shakllarga bo'lish kerak bo'lishi mumkin. Ushbu misolda uy 9 metrdan 12 metrga teng bo'lib, bizga 108 kvadrat metrni beradi. Garaj 6 metrga 3 metr, bu 18 kvadrat metr, umumiy maydoni 126 kvadrat metr.
Ta'mirdan oldingi pol o'lchovlari
Linolyumni almashtirish yoki bo'yash kabi ta'mirlashni amalga oshirishdan oldin zamin maydonini qanday hisoblash mumkin? Kvadrat yoki to'rtburchaklar xona uchun birinchi navbatda xonaning uzunligi va kengligini o'lchashingiz kerak bo'ladi. Keyin uzunlik va kenglikni ko'paytiramiz, biz uzunlik x kenglik=maydonni olamiz. Shunday qilib, xonaning kengligi 3 metr va uzunligi 5 metr bo'lsa, umumiy maydon15 kvadrat metr bo'ladi.
Ushbu o'lchov egasi o'z loyihasi uchun foydalanishni rejalashtirgan plitka ohak, plomba, linoleumning kerakli miqdorini hisoblash uchun ishlatilishi mumkin. Materiallarni terish maydonini hisoblash uchun odatda 10% xavfsizlik koeffitsientini qo'shishingiz kerak: maydonni 1, 1 ga ko'paytiring va keyin butun songa yaxlitlang.
Jami maydoni 15m2 bo'lgan misolda siz 16,5 kvadrat metr uchun qo'shimcha plitka va ohak buyurtma qilishingiz kerak bo'ladi. Agar xona to'rtburchak bo'lmasa, umumiy maydonni hisoblash uchun uni ikki yoki undan ortiq elementar geometrik shakllarga bo'lishingiz kerak.
Tartibsiz shakl kalkulyatori
Koʻpincha oʻlchanadigan boʻshliq juda murakkab shaklga ega boʻlib, uni har doim ham oddiy elementlarga boʻlib boʻlmaydi.
Bunday hududni osongina aniqlash uchun SketchAndCalc Internet ilovasidan foydalaning. Bu tasvirning har qanday shakli uchun tartibsiz shakllar uchun maydon kalkulyatoridir. Bu yuklangan rasmlardan hisoblash imkoniyatiga ega bo'lgan yagona hudud kalkulyatori bo'lib, u foydalanuvchiga perimetrni chizishdan oldin istalgan tasvirning chizma shkalasini o'rnatish imkonini beruvchi o'ziga xos xususiyatga ega. Shunday qilib, tartibsiz figuraning burchaklari yoki egri chiziqlari osongina hisoblab chiqiladi.
Oddiy qilib aytganda, agar yuklanadigan rasm yoki qidiruv uchun xarita manzili boʻlsa, siz tartibsiz shaklning maydonini, qanchalik murakkab boʻlmasin, shunchaki chizish orqali hisoblashingiz mumkin.maydon perimetri. Kalkulyator hatto qatlamlarni chizish orqali bir nechta maydon hisoblarini jamlashi mumkin. Birinchi maydonni hisoblagandan so'ng, cheksiz miqdordagi maydonni hisoblash imkonini beruvchi yangi chizma qatlamini qo'shishingiz mumkin.
Hudud kalkulyatori natijalari dyuym va metrlarda ko'rsatiladi, bu uning foydaliligini oshiradi va konvertatsiya qilish zaruriyatini yo'q qiladi. Bu aniq chizish va masshtablash vositalari bilan birgalikda har bir tartibsiz shaklning maydonlarini aniq hisoblashni ta'minlaydi. Shuningdek, u qattiq burchakli va aniq chiziqlarga ega oddiy koʻpburchak shakllarini joylashtirishi mumkin.
Cheklangan naqsh vositasi umumiy burchaklarga oʻrnatiladi va uzunlik chizigʻini klaviatura yordamida qoʻlda tahrirlash mumkin. Agar o'lchanadigan maydonning tekis tomoni yoki uzunligi bo'lsa, dastur foydalidir. SketchAndCalc TM ning yana bir o‘ziga xos xususiyati shundaki, unda tartibsiz shakllar uchun ilg‘or egri chiziq chizish vositasi mavjud. Baʼzi hudud kalkulyatori ilovalari xarita boʻyicha qidirish imkonini beradi.
SketchAndCalc buni uzunlik va kenglik qidiruvlari yordamida juda aniq bajaradi. O'lchanayotgan maydon qishloq xo'jaligi erlarida yoki dengizda bo'ladimi, foydalanuvchi qidirishga kamroq vaqt sarflaydi va maydonni hisoblash uchun ko'proq vaqt sarflaydi. Bu ko'plab sohalarda, qurilishda, bog'dorchilikda qo'llaniladigan universal yordamchi dastur. Bundan tashqari, ishqibozlar o'z uylarini va mahalliy hududni yaxshilash uchun foydalanadilar. Landshaft kalkulyatori yoki er maydoni kalkulyatori ham topilganyer tuzuvchilar orasida uning foydalanuvchilari. Endi ular uchastkaning maydonini qanday tez va oson hisoblashni bilishadi.
Biroq, ushbu keng tarqalgan ilovalarga qo'shimcha ravishda, ta'lim, tibbiyot, fan va tadqiqot sohalarida ishlaydigan ko'plab odamlar hujayra membranalari yoki biologiyada topilgan boshqa ob'ektlar kabi tartibsiz shakllar maydonini hisoblashlari va foydalanishdan zavqlanishlari kerak. bu ilova.
Matematikani kundalik hayotda qoʻllash uchun bitta qoʻshib sanashning oʻzi yetarli emas. Atrof-muhitning muhim jihati bu geometrik tuzilmalar, ya'ni kundalik ob'ektlarning to'rtburchaklar, kvadrat, dumaloq yoki uchburchak shaklida tasvirlanishi. Va siz kerakli maydonni hisoblay olishingiz kerak.
Bundan tashqari, geometrik shakllar diagramma, diagramma, taqdimot tuzishda ham qo’llaniladi. Shuning uchun har xil hisob-kitoblarni, jumladan, maydonni hisoblashni amalga oshirish juda muhim.
