Kesik konusning maydoni. Formula va muammoga misol

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2023-12-17 05:45

Geometriyadagi inqilob raqamlariga ularning xarakteristikalari va xossalarini o'rganishda alohida e'tibor beriladi. Ulardan biri kesilgan konusdir. Ushbu maqola kesilgan konusning maydonini hisoblash uchun qanday formuladan foydalanish mumkinligi haqidagi savolga javob berishga qaratilgan.

Gap qaysi raqam haqida ketyapti?

Kesilgan konusning maydonini tavsiflashdan oldin, bu raqamning aniq geometrik ta'rifini berish kerak. Kesilgan - oddiy konusning uchini tekislik bilan kesish natijasida olingan bunday konus. Ushbu ta'rifda bir qator nuanslarni ta'kidlash kerak. Birinchidan, kesma tekisligi konusning asosi tekisligiga parallel bo'lishi kerak. Ikkinchidan, asl rasm dumaloq konus bo'lishi kerak. Albatta, bu elliptik, giperbolik va boshqa turdagi shakllar bo'lishi mumkin, ammo ushbu maqolada biz faqat dumaloq konusni ko'rib chiqish bilan cheklanamiz. Ikkinchisi quyidagi rasmda ko'rsatilgan.

Taxmin qilish osonki, uni nafaqat tekislikdagi kesma yordamida, balki aylanish operatsiyasi yordamida ham olish mumkin. UchunBuni amalga oshirish uchun siz ikkita to'g'ri burchakka ega bo'lgan trapezoidni olishingiz va uni bu to'g'ri burchaklarga ulashgan tomonning atrofida aylantirishingiz kerak. Natijada, trapetsiya asoslari kesilgan konusning asoslari radiusiga aylanadi va trapetsiyaning lateral qiya tomoni konusning sirtini tasvirlaydi.

Shaklni ishlab chiqish

Kesilgan konusning sirt maydonini hisobga olgan holda, uning rivojlanishini, ya'ni tekislikdagi uch o'lchamli figura sirtining tasvirini keltirish foydalidir. Quyida ixtiyoriy parametrlar bilan oʻrganilgan rasmning skaneri keltirilgan.

Ko'rinib turibdiki, rasmning maydoni uchta komponentdan tashkil topgan: ikkita doira va bitta kesilgan dumaloq segment. Shubhasiz, kerakli maydonni aniqlash uchun barcha nomlangan raqamlarning maydonlarini qo'shish kerak. Keling, bu muammoni keyingi xatboshida hal qilaylik.

Kesilgan konus maydoni

Quyidagi mulohazalarni tushunishni osonlashtirish uchun quyidagi belgini kiritamiz:

• r1, r2 - mos ravishda katta va kichik asoslar radiusi;
• h - raqam balandligi;
• g - konusning generatriksi (trapetsiyaning qiya tomonining uzunligi).

Kesik konusning asoslari maydonini hisoblash oson. Tegishli ifodalarni yozamiz:

S_o1=pir₁²;

S_o2=pir₂².

Diraviy segmentning bir qismining maydonini aniqlash biroz qiyinroq. Agar bu doiraviy sektorning markazi kesilmagan deb tasavvur qilsak, u holda uning radiusi G qiymatiga teng bo'ladi. Agar mos keladiganini hisobga olsak, uni hisoblash qiyin emas.o'xshash to'g'ri burchakli konusning uchburchaklari. Bu teng:

G=r₁g/(r₁-r₂).

Unda G radiusi boʻyicha qurilgan va uzunligi 2pir₁ yoyga tayangan butun aylana sektorining maydoni teng boʻladi. kimga:

S₁=pir₁G=pir₁ ²g/(r₁-r₂).

Endi S₂ kichik doira sektorining maydonini aniqlaymiz, uni S₁ dan ayirish kerak bo'ladi. Bu teng:

S₂=pir₂(G - g)=pir_{2 (r}1_g/(r1_-r2_{) - g)=pir}22^g/(r1_-r2 _).

Konussimon kesilgan sirt S_b maydoni S₁ va S _{orasidagi farqga teng 2}. Biz olamiz:

S_b=S₁- S₂=pir ₁²g/(r₁-r₂) - pi r₂²g/(r₁-r_2)=pig(r1_+r2_).

Ba'zi mashaqqatli hisob-kitoblarga qaramay, biz rasmning yon yuzasi maydoni uchun juda oddiy ifodani oldik.

Asoslar va S_b maydonlarini qo'shib, kesilgan konusning maydoni formulasiga erishamiz:

S=S_o1+ S_o2+ S_b=pir 12 ^{+ pir}22 ^{+ pig (r}1_+r2_).

Shunday qilib, oʻrganilayotgan figuraning S qiymatini hisoblash uchun uning uchta chiziqli parametrini bilish kerak.

Misol muammo

Doira shaklidagi tekis konusradiusi 10 sm va balandligi 15 sm bo'lgan tekislik bilan kesilgan, shuning uchun muntazam kesilgan konus olingan. Kesilgan figuraning asoslari orasidagi masofa 10 sm ekanligini bilib, uning sirt maydonini topish kerak.

Kesilgan konusning maydoni formulasidan foydalanish uchun siz uning uchta parametrini topishingiz kerak. Biz bilamiz:

r₁=10 sm.

Konusning eksenel kesimi natijasida olingan o'xshash to'g'ri burchakli uchburchaklarni hisobga olsak, qolgan ikkitasini hisoblash oson. Muammoning holatini hisobga olgan holda biz quyidagilarni olamiz:

r₂=105/15=3,33 sm.

Nihoyat, kesilgan g konusning qoʻllanmasi quyidagicha boʻladi:

g=√(10²+ (r₁-r₂) ²)=12,02 sm.

Endi S: _{formulasiga r}1_{, r}2

va g qiymatlarini almashtirishingiz mumkin.

S=pir₁²+ pir₂ 2^{+ pig(r}1_+r2_{)=851,93 sm} 2.

Rasmning kerakli sirt maydoni taxminan 852 sm².