Geometriya matematikaning fazodagi tuzilmalar va ular oʻrtasidagi munosabatlarni oʻrganuvchi boʻlimidir. O'z navbatida, u ham bo'limlardan iborat bo'lib, ulardan biri stereometriyadir. U kosmosda joylashgan hajmli figuralarning xususiyatlarini o'rganishni nazarda tutadi: kub, piramida, shar, konus, silindr va boshqalar.
Konus - Evklid fazosida konussimon yuzani va generatorlarining uchlari yotadigan tekislikni tutashgan jism. Uning shakllanishi to'g'ri burchakli uchburchakning har qanday oyoqlari atrofida aylanish jarayonida sodir bo'ladi, shuning uchun u inqilob jismlariga tegishli.
Konus komponentlari
Kuyidagi konus turlari farqlanadi: qiya (yoki qiya) va tekis. Oblique - bu o'qi to'g'ri burchak ostida bo'lmagan asosning markazi bilan kesishgan. Shu sababli, bunday konusdagi balandlik o'qga to'g'ri kelmaydi, chunki u tananing yuqori qismidan tekisligiga tushirilgan segmentdir.90° asosda.
O'qi asosiga perpendikulyar bo'lgan konus to'g'ri konus deyiladi. Bunday geometrik jismdagi o'q va balandlik bir-biriga to'g'ri keladi, chunki undagi tepa asosiy diametr markazidan yuqorida joylashgan.
Konus quyidagi elementlardan iborat:
- Uning asosi boʻlgan doira.
- Yon.
- Asosiy tekislikda yotmaydigan nuqta konusning tepasi deb ataladi.
- Geometrik jism asosi va uning tepasi doirasi nuqtalarini bogʻlovchi segmentlar.
Bu segmentlarning barchasi konusning generatrisalaridir. Ular geometrik jismning asosiga moyil bo'lib, to'g'ri konus bo'lsa, ularning proyeksiyalari teng bo'ladi, chunki tepasi asosiy doira nuqtalaridan teng masofada joylashgan. Shunday qilib, muntazam (to'g'ri) konusda generatorlar teng, ya'ni ular bir xil uzunlikka ega va o'q (yoki balandlik) va asos bilan bir xil burchaklarni hosil qiladi, degan xulosaga kelishimiz mumkin.
Qiyb (yoki moyil) inqilob jismida tepa asosiy tekislikning markaziga nisbatan siljiganligi sababli, bunday jismdagi generatorlar har xil uzunlik va proyeksiyalarga ega, chunki ularning har biri har xil masofada joylashgan. asos aylanasining istalgan ikkita nuqtasidan. Bundan tashqari, ular orasidagi burchaklar va konusning balandligi ham boshqacha bo'ladi.
To'g'ri konusdagi generatorlarning uzunligi
Avval yozilganidek, toʻgʻri geometrik aylanish jismidagi balandlik asos tekisligiga perpendikulyar. Shunday qilib, asosning avlodi, balandligi va radiusi konusda to'g'ri burchakli uchburchak hosil qiladi.
Ya'ni, bazaning radiusi va balandligini bilib, Pifagor teoremasidan formuladan foydalanib, siz generatrixning uzunligini hisoblashingiz mumkin, bu baza radiusi va kvadratlari yig'indisiga teng bo'ladi. balandlik:
l2 =r2+ h2 yoki l=√r 2 + h2
bu yerda l - generatrix;
r – radius;
h – balandlik.
Qiya konusdagi generativ
Qiya yoki qiya konusda generatorlar bir xil uzunlikda emasligiga asoslanib, ularni qo'shimcha konstruktsiyalar va hisob-kitoblarsiz hisoblash mumkin bo'lmaydi.
Avvalo, siz balandlikni, o'qning uzunligini va poydevor radiusini bilishingiz kerak.
Ushbu ma'lumotlarga ega bo'lgan holda siz Pifagor teoremasi formulasidan foydalanib, radiusning o'q va balandlik o'rtasidagi qismini hisoblashingiz mumkin:
r1=√k2 - h2
bu erda r1 - radiusning o'q va balandlik orasidagi qismi;
k - o'q uzunligi;
h – balandlik.
Radiusni (r) va uning oʻq va balandlik oʻrtasida joylashgan qismini (r1) qoʻshish natijasida oʻng tomonning toʻliq tomonini bilib olishingiz mumkin. konusning generatritsasidan hosil bo'lgan uchburchak, uning balandligi va diametri qismi:
R=r + r1
bu erda R - balandligi, generatrix va poydevor diametrining bir qismidan hosil bo'lgan uchburchakning oyog'i;
r – asosiy radius;
r1 – oʻq va balandlik orasidagi radiusning bir qismi.
Pifagor teoremasidagi bir xil formuladan foydalanib, konusning generatrix uzunligini topishingiz mumkin:
l=√h2+ R2
yoki R ni alohida hisoblamasdan, ikkita formulani bittaga birlashtiring:
l=√h2 + (r + r1)2.
To'g'ri yoki qiya konus bo'ladimi va qanday turdagi ma'lumotlar kiritilishiga qaramay, generatrix uzunligini topishning barcha usullari doimo bitta natijaga - Pifagor teoremasidan foydalanishga to'g'ri keladi.
Konus qismi
Konusning eksenel kesimi uning oʻqi yoki balandligi boʻylab oʻtuvchi tekislikdir. To'g'ri konusda bunday kesma teng burchakli uchburchak bo'lib, unda uchburchakning balandligi tananing balandligi, uning tomonlari generatorlar, taglik esa poydevorning diametridir. Teng yonli geometrik jismda eksenel kesma teng qirrali uchburchakdir, chunki bu konusda asos va generatorlar diametri teng.
To'g'ri konusdagi eksenel kesmaning tekisligi uning simmetriya tekisligidir. Buning sababi shundaki, uning ustki qismi asosining markazidan yuqorida joylashgan, ya'ni eksenel kesma tekisligi konusni ikkita bir xil qismga ajratadi.
Qiyali qattiq jismda balandlik va oʻq mos kelmasligi sababli, eksenel qismning tekisligi balandlikni oʻz ichiga olmaydi. Agar bunday konusda eksenel bo'limlar to'plamini qurish mumkin bo'lsa, buning uchun faqat bitta shartga rioya qilish kerak - u faqat eksa orqali o'tishi kerak, keyin tekislikning faqat bitta eksenel qismi balandlikka tegishli bo'ladi. bu konusni chizish mumkin, chunki shartlar soni ortib boradi va ma'lumki, ikkita chiziq (birgalikda) tegishli bo'lishi mumkin.faqat bitta samolyot.
Boʻlim maydoni
Avvalda aytib oʻtilgan konusning eksenel qismi uchburchakdir. Shunga asoslanib, uning maydonini uchburchakning maydoni formulasi yordamida hisoblash mumkin:
S=1/2dh yoki S=1/22rh
bu erda S - kesma maydoni;
d - asosiy diametri;
r – radius;
h – balandlik.
Qiya yoki qiya konusda o'q bo'ylab kesma ham uchburchakdir, shuning uchun undagi ko'ndalang kesim maydoni xuddi shunday hisoblanadi.
Ovoz
Konus uch oʻlchamli fazoda uch oʻlchamli figura boʻlgani uchun uning hajmini hisoblashimiz mumkin. Konusning hajmi - bu jismni hajm birligida tavsiflovchi raqam, ya'ni m3. Hisoblash uning tekis yoki qiya (qiyshiq) bo'lishiga bog'liq emas, chunki bu ikki turdagi jismlar uchun formulalar farq qilmaydi.
Yuqorida aytib o'tilganidek, to'g'ri konusning hosil bo'lishi to'g'ri burchakli uchburchakning uning oyoqlaridan biri bo'ylab aylanishi tufayli sodir bo'ladi. Eğimli yoki qiya konus boshqacha shakllanadi, chunki uning balandligi tananing asosiy tekisligining markazidan uzoqqa siljiydi. Biroq, strukturadagi bunday farqlar uning hajmini hisoblash usuliga ta'sir qilmaydi.
Ovozni hisoblash
Har qanday konusning hajmi formulasi quyidagicha ko'rinadi:
V=1/3phr2
bu erda V - konusning hajmi;
h – balandlik;
r – radius;
p - doimiy 3, 14 ga teng.
Konusning hajmini hisoblash uchun sizda tana asosining balandligi va radiusi haqida ma'lumotlar bo'lishi kerak.
Jismning balandligini hisoblash uchun siz asosning radiusini va uning avlod uzunligini bilishingiz kerak. Radius, balandlik va generatrix to'g'ri burchakli uchburchakda birlashtirilganligi sababli, balandlikni Pifagor teoremasi formulasi yordamida hisoblash mumkin (a2+ b2=c 2 yoki bizning holatlarimizda h2+ r2=l2 , bu erda l - generatrix). Bunday holda, balandlik gipotenuza va boshqa oyoq kvadratlari orasidagi farqning kvadrat ildizini olish yo'li bilan hisoblanadi:
a=√c2- b2
Ya'ni, konusning balandligi generatrix uzunligi kvadrati va asos radiusi kvadrati o'rtasidagi farqdan kvadrat ildizni ajratib olgandan keyin olingan qiymatga teng bo'ladi:
h=√l2 - r2
Ushbu usul yordamida balandlikni hisoblash va uning asosining radiusini bilib, konusning hajmini hisoblashingiz mumkin. Bu holda generatrix muhim rol o'ynaydi, chunki u hisob-kitoblarda yordamchi element bo'lib xizmat qiladi.
Shunga oʻxshab, agar siz tananing balandligini va uning nasl-nasabining uzunligini bilsangiz, generatrix kvadrati va balandlik kvadrati oʻrtasidagi farqning kvadrat ildizini chiqarib, uning asosining radiusini topishingiz mumkin.:
r=√l2 - h2
Keyin, yuqoridagi formuladan foydalanib, konusning hajmini hisoblang.
Qiya konusning ovozi
Konusning hajmining formulasi barcha turdagi aylanish jismlari uchun bir xil bo'lganligi sababli, uni hisoblashdagi farq balandlikni qidirishdir.
Qiya konusning balandligini aniqlash uchun kirish ma'lumotlari generatrix uzunligini, poydevor radiusini va markaz orasidagi masofani o'z ichiga olishi kerak.asos va tananing balandligining uning asosi tekisligi bilan kesishishi. Buni bilib, siz to'g'ri burchakli uchburchakning asosi bo'ladigan (balandligi, generatrix va poydevor tekisligidan hosil bo'lgan) taglik diametrining o'sha qismini osongina hisoblashingiz mumkin. Keyin yana Pifagor teoremasidan foydalanib, konusning balandligini, keyin esa uning hajmini hisoblang.
