Konusning hajmini aniqlash formulasi. Muammoni hal qilish misoli

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2023-12-17 05:45

O'rta maktabda stereometriyani o'rganayotgan har bir o'quvchi konusga duch keldi. Ushbu fazoviy raqamning ikkita muhim xususiyati sirt maydoni va hajmidir. Ushbu maqolada biz dumaloq konusning hajmini qanday topishni ko'rsatamiz.

Dumaloq konus toʻgʻri burchakli uchburchakning aylanish figurasi sifatida

Maqolaning mavzusiga toʻgʻridan-toʻgʻri oʻtishdan oldin konusni geometrik nuqtai nazardan taʼriflash zarur.

Toʻgʻri burchakli uchburchak boʻlsin. Agar siz uni biron bir oyoq atrofida aylantirsangiz, bu harakatning natijasi quyidagi rasmda ko'rsatilgan kerakli raqam bo'ladi.

Bu yerda AB oyogʻi konus oʻqining bir qismi boʻlib, uning uzunligi figuraning balandligiga toʻgʻri keladi. Ikkinchi oyoq (CA segmenti) konusning radiusi bo'ladi. Aylanish paytida u shaklning asosini chegaralovchi doirani tasvirlaydi. BC gipotenuzasiga figuraning generatriksi yoki uning generatrisi deyiladi. B nuqtasi konusning yagona cho'qqisi.

ABC uchburchagining xossalarini hisobga olib, generatrix g, radius r va h balandligi orasidagi munosabatni quyidagicha yozishimiz mumkin.tenglik:

g²=h²+ r²

Bu formula koʻrib chiqilayotgan rasm bilan koʻplab geometrik masalalarni yechishda foydalidir.

Konusning hajm formulasi

Har qanday fazoviy figuraning hajmi bu raqamning sirtlari bilan chegaralangan fazoning maydonidir. Konus uchun ikkita shunday sirt mavjud:

1. Yanal yoki konussimon. U barcha generatorlar tomonidan tuzilgan.
2. Fonq. Bu holda u aylana.

Konusning hajmini aniqlash formulasini oling. Buning uchun biz uni asosga parallel ravishda ko'plab qatlamlarga aqliy ravishda kesib tashladik. Qatlamlarning har biri nolga moyil bo'lgan dx qalinligiga ega. Rasm tepasidan x masofada joylashgan qatlamning S_x maydoni quyidagi ifodaga teng:

S_x=pir²x²/h ²

Ushbu ifodaning haqiqiyligini x=0 va x=h qiymatlarini almashtirish orqali intuitiv tekshirish mumkin. Birinchi holda, biz nolga teng maydonni olamiz, ikkinchi holda, u dumaloq asosning maydoniga teng bo'ladi.

Konusning hajmini aniqlash uchun har bir qatlamning kichik "hajmlarini" qo'shish kerak, ya'ni integral hisobdan foydalanish kerak:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Ushbu integralni hisoblab, dumaloq konusning yakuniy formulasiga erishamiz:

V=1/3pir²h

E'tibor berish kerakki, bu formula ixtiyoriy piramida hajmini hisoblashda ishlatiladigan formulaga mutlaqo o'xshash. Bu tasodif tasodifiy emas, chunki har qanday piramida qirralari soni cheksizgacha ko'payganda konusga aylanadi.

Hajmni hisoblash muammosi

V jild uchun olingan formuladan foydalanishni ko'rsatadigan masalani echishga misol keltirish foydalidir.

Asosiy maydoni 37 sm² boʻlgan dumaloq konus berilgan va shaklning generatori radiusdan uch marta katta. Konusning hajmi qancha?

Biz ikki miqdorni bilsak, hajm formulasidan foydalanishga haqlimiz: balandlik h va radius r. Keling, masalaning shartiga mos ravishda ularni aniqlaydigan formulalarni topamiz.

R radiusini S_o doira maydonini bilish orqali hisoblash mumkin, bizda:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Masala shartidan foydalanib, g generator uchun tenglikni yozamiz:

g=3r=3√(S_o/pi)

r va g formulalarini bilib, h balandligini hisoblang:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Biz barcha kerakli parametrlarni topdik. Endi ularni V formulasiga ulash vaqti keldi:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Almashtirish uchun qoladitayanch maydoni S_o va tovush qiymatini hisoblang: V=119,75 sm³.