Har qanday piramidaning tipik chiziqli parametrlari uning poydevorining yon tomonlari uzunligi, balandligi, yon qirralari va apotemlaridir. Shunga qaramay, qayd etilgan parametrlar bilan bog'liq bo'lgan yana bir xususiyat mavjud - bu dihedral burchak. Bu nima ekanligini va uni qanday topishni maqolada ko'rib chiqing.
Fazal figurali piramida
Har bir talaba "piramida" so'zini eshitganida nima xavf ostida ekanligi haqida yaxshi tasavvurga ega bo'ladi. Uni geometrik tarzda quyidagicha qurish mumkin: ma'lum bir ko'pburchakni tanlang, so'ngra kosmosdagi nuqtani mahkamlang va uni ko'pburchakning har bir burchagiga ulang. Olingan uch o'lchamli shakl ixtiyoriy turdagi piramida bo'ladi. Uni tashkil etuvchi ko'pburchak asos deb ataladi va uning barcha burchaklari bog'langan nuqta - bu rasmning tepasi. Quyidagi rasmda beshburchakli piramida sxematik ko'rsatilgan.
Ko`rinib turibdiki, uning yuzasi nafaqat beshburchak, balki beshta uchburchakdan ham hosil qilingan. Umuman olganda, bu uchburchaklar soni raqamga teng bo'ladiko'pburchak asosning tomonlari.
Shaklning ikki burchakli burchaklari
Tekislikda geometrik masalalar koʻrib chiqilsa, har qanday burchak ikkita kesishuvchi toʻgʻri chiziq yoki segmentlardan hosil boʻladi. Kosmosda ikkita tekislikning kesishishidan hosil bo'lgan bu chiziqli burchaklarga dihedral burchaklar qo'shiladi.
Agar kosmosdagi burchakning belgilangan ta'rifi ko'rib chiqilayotgan rasmga qo'llanilsa, u holda ikki xil burchakli burchaklar borligini aytishimiz mumkin:
- Piramidaning tagida. U asosning tekisligi va har qanday yon yuzlari (uchburchak) bilan hosil bo'ladi. Bu piramidaning asosiy burchaklari n ekanligini bildiradi, bu erda n - ko'pburchak tomonlari soni.
- Yon tomonlar (uchburchaklar) orasiga. Bu ikki burchakli burchaklar soni ham n dona.
E'tibor bering, birinchi turdagi ko'rib chiqilgan burchaklar poydevorning chetlarida, ikkinchi turdagi - yon qirralarda qurilgan.
Piramidaning burchaklarini qanday hisoblash mumkin?
Ikki burchakli burchakning chiziqli burchagi ikkinchisining o'lchovidir. Uni hisoblash oson emas, chunki piramidaning yuzlari prizma yuzlaridan farqli o'laroq, umumiy holatda to'g'ri burchak ostida kesishmaydi. Umumiy shakldagi tekislik tenglamalari yordamida dihedral burchaklarning qiymatlarini hisoblash eng ishonchli hisoblanadi.
Uch oʻlchamli fazoda tekislik quyidagi ifoda bilan beriladi:
Ax + By + Cz + D=0
Bu yerda A, B, C, D ba'zi haqiqiy sonlar. Bu tenglamaning qulayligi shundaki, birinchi belgilangan uchta raqam vektorning koordinatalari,berilgan tekislikka perpendikulyar, ya'ni:
n¯=[A; B; C]
Agar tekislikka tegishli uchta nuqtaning koordinatalari ma'lum bo'lsa, bu nuqtalarga qurilgan ikkita vektorning vektor ko'paytmasini olib, n¯ koordinatalarini olish mumkin. n¯ vektori samolyot uchun qoʻllanma deb ataladi.
Ta'rifga ko'ra, ikkita tekislikning kesishishidan hosil bo'lgan ikki burchakli burchak ularning yo'nalish vektorlari orasidagi chiziqli burchakka teng. Aytaylik, bizda normal vektorlari teng bo'lgan ikkita tekislik bor:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
Ular orasidagi ph burchagini hisoblash uchun skalyar mahsulot xususiyatidan foydalanishingiz mumkin, keyin mos formula quyidagicha bo'ladi:
ph=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Yoki koordinata shaklida:
ph=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
Geometrik masalalarni yechishda ikki burchakli burchaklarni hisoblash uchun yuqoridagi usuldan qanday foydalanishni koʻrsatamiz.
Doimiy toʻrtburchakli piramidaning burchaklari
Faraz qilaylik, oddiy piramida bor, uning poydevorida yon tomoni 10 sm bo'lgan kvadrat bor. Rakamning balandligi12 sm. Piramidaning tagida va uning yon tomonlarida qanday ikki burchakli burchaklar borligini hisoblash kerak.
Masala shartida berilgan raqam toʻgʻri, yaʼni simmetriya yuqori boʻlganligi uchun asosdagi barcha burchaklar bir-biriga teng boʻladi. Yon yuzlar tomonidan hosil qilingan burchaklar ham bir xil. Kerakli dihedral burchaklarni hisoblash uchun biz asos va ikkita yon tekislik uchun yo'nalish vektorlarini topamiz. Poydevorning yon tomonining uzunligini a harfi va balandligi h bilan belgilang.
Yuqoridagi rasmda toʻrtburchak oddiy piramida koʻrsatilgan. Kiritilgan koordinatalar tizimiga muvofiq A, B, C va D nuqtalarning koordinatalarini yozamiz:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Endi biz yuqoridagi paragrafda tasvirlangan usulga muvofiq ABC tayanch tekisliklari va ABD va BCD ikki tomoni uchun yoʻnalish vektorlarini topamiz:
ABC uchun:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
ABD uchun:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
BCD uchun:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
Endi ph burchagi uchun mos formulani qoʻllash va muammo bayonidagi yon va balandlik qiymatlarini almashtirish kerak:
ABC va orasidagi burchakABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
ph=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2 /4)))=67, 38o
ABD va BDC orasidagi burchak:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
ph=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a 2/4)))=81, 49o
Biz muammoning sharti bo'yicha topilishi kerak bo'lgan burchaklarning qiymatlarini hisoblab chiqdik. Muammoni yechishda olingan formulalar a va h ning istalgan qiymatlari bo‘lgan to‘rtburchak muntazam piramidalarning ikki burchakli burchaklarini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin.
Uchburchak muntazam piramidaning burchaklari
Quyidagi rasmda asosi muntazam uchburchak boʻlgan piramida koʻrsatilgan. Ma'lumki, tomonlar orasidagi dihedral burchak to'g'ri. Agar rasmning balandligi 15 sm ekanligi ma'lum bo'lsa, taglikning maydonini hisoblash kerak.
90o ga teng ikki burchakli burchak rasmda ABC sifatida belgilangan. Yuqoridagi usul yordamida muammoni hal qilishingiz mumkin, ammo bu holda biz buni osonroq qilamiz. Uchburchakning a tomonini, figuraning balandligini - h, apotemasini - hb va tomonini belgilaymiz.qovurg'a - b. Endi siz quyidagi formulalarni yozishingiz mumkin:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Piramidadagi ikkita yon uchburchaklar bir xil boʻlgani uchun AB va CB tomonlari teng va ABC uchburchakning oyoqlaridir. Ularning uzunligini x bilan belgilaymiz, keyin:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
Yon uchburchaklar maydonlarini tenglashtirib, apotemani mos iboraga almashtirsak, bizda:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Teng tomonli uchburchakning maydoni quyidagicha hisoblanadi:
S=√3/4a2=3√3/2h2
Muammo shartidan balandlik qiymatini almashtiring, biz javob olamiz: S=584, 567 sm2.
