Piramidaning maydonini qanday hisoblash mumkin: poydevor, yon va to'liq?

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2023-12-17 05:45

Matematikadan imtihonga tayyorlanayotganda talabalar algebra va geometriyadan olgan bilimlarini tizimlashtirishlari kerak. Men barcha ma'lum ma'lumotlarni, masalan, piramidaning maydonini qanday hisoblashni birlashtirmoqchiman. Bundan tashqari, taglik va yon yuzlardan boshlab butun sirt maydoniga qadar. Agar yon yuzlar bilan vaziyat aniq bo'lsa, ular uchburchak bo'lganligi sababli, poydevor har doim boshqacha bo'ladi.

Piramida poydevorining maydonini qanday topish mumkin?

Bu mutlaqo har qanday shakl bo'lishi mumkin: ixtiyoriy uchburchakdan n-burchakgacha. Va bu asos, burchaklar sonining farqiga qo'shimcha ravishda, oddiy raqam yoki noto'g'ri bo'lishi mumkin. Maktab o'quvchilarini qiziqtiradigan USE vazifalarida faqat bazada to'g'ri raqamlar bo'lgan vazifalar mavjud. Shuning uchun biz faqat ular haqida gaplashamiz.

Doimiy uchburchak

Bu teng tomonli. Barcha tomonlar teng bo'lgan va "a" harfi bilan belgilangan. Bunday holda, piramida poydevorining maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

S=(a2√3) / 4.

Kvadrat

Uning maydonini hisoblash formulasi eng oddiy,bu yerda "a" yana tomon:

S=a2.

Ixtiyoriy muntazam n-gon

Koʻpburchakning tomoni bir xil belgiga ega. Burchaklar soni uchun lotin n harfi ishlatiladi.

S=(na2) / (4tg (180º/n)).

Yana va umumiy sirt maydonini qanday hisoblash mumkin?

Asosi oddiy figura boʻlgani uchun piramidaning barcha tomonlari teng. Bundan tashqari, ularning har biri teng yonli uchburchakdir, chunki yon qirralari tengdir. Keyin, piramidaning lateral maydonini hisoblash uchun sizga bir xil monomiallarning yig'indisidan iborat formula kerak bo'ladi. Terminlar soni asosning tomonlar soniga qarab belgilanadi.

Teng yon burchakli uchburchakning maydoni asosning yarmi koʻpaytmasi balandlikka koʻpaytiriladigan formula boʻyicha hisoblanadi. Piramidadagi bu balandlik apotema deb ataladi. Uning belgisi "A". Yon sirt maydonining umumiy formulasi:

S=½ PA, bu erda P - piramida poydevorining perimetri.

Bazaning tomonlari noma'lum bo'lgan holatlar mavjud, lekin yon qirralari (c) va uning cho'qqisidagi tekis burchak (a) berilgan. Keyin piramidaning lateral maydonini hisoblash uchun ushbu formuladan foydalanish kerak:

S=n/2in2 sin a.

Muammo 1

Holat. Piramidaning umumiy maydonini toping, agar uning asosi tomoni 4 sm, apotemi esa √3 sm bo'lgan teng tomonli uchburchak bo'lsa.

Qaror. UningBaza perimetrini hisoblashdan boshlashingiz kerak. Bu oddiy uchburchak bo'lganligi sababli, u holda P \u003d 34 \u003d 12 sm. Apotem ma'lum bo'lganligi sababli, siz darhol butun lateral yuzaning maydonini hisoblashingiz mumkin: ½12√3=6 √3 sm 2.

Poydegidagi uchburchak uchun quyidagi maydon qiymatini olasiz: (4²√3) / 4=4√3 sm^2.

Umumiy maydonni aniqlash uchun olingan ikkita qiymatni qo'shishingiz kerak: 6√3 + 4√3=10√3 sm2.

Javob. 10√3cm2.

Muammo 2

Holat. Muntazam to'rtburchak piramida mavjud. Poydevorning yon tomonining uzunligi 7 mm, yon qirrasi 16 mm. Uning sirtini bilishingiz kerak.

Qaror. Ko'pburchak to'rtburchak va muntazam bo'lganligi sababli, uning asosi kvadratdir. Poydevor va yon yuzlarning maydonlarini o'rgangandan so'ng, piramidaning maydonini hisoblash mumkin bo'ladi. Kvadrat uchun formula yuqorida keltirilgan. Yon tomonlarda esa uchburchakning barcha tomonlari ma'lum. Shuning uchun ularning maydonlarini hisoblash uchun Heron formulasidan foydalanishingiz mumkin.

Birinchi hisoblar oddiy va bu raqamga olib keladi: 49 mm². Ikkinchi qiymat uchun siz yarim perimetrni hisoblashingiz kerak bo'ladi: (7 + 162): 2=19,5 mm. Endi siz teng yonli uchburchakning maydonini hisoblashingiz mumkin: √(19,5(19,5-7)(19,5-16)²)=√2985,9375=54,644 mm ^{2. Bunday uchburchaklar faqat to'rtta, shuning uchun yakuniy raqamni hisoblashda uni 4 ga ko'paytirish kerak bo'ladi.}

Shunchaki: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.

Javob. Istalgan qiymat 267, 576mm2.

Muammo 3

Holat. Muntazam to'rtburchak piramida uchun siz maydonni hisoblashingiz kerak. U kvadratning yon tomonini biladi - 6 sm va balandligi - 4 sm.

Qaror. Eng oson yo'li - perimetr va apotemning mahsuloti bilan formuladan foydalanish. Birinchi qiymatni topish oson. Ikkinchisi biroz qiyinroq.

Pifagor teoremasini eslab, toʻgʻri burchakli uchburchakni koʻrib chiqishimiz kerak. U piramidaning balandligi va gipotenuza bo'lgan apotema orqali hosil bo'ladi. Ikkinchi oyoq kvadratning yarmiga teng, chunki ko'pburchak balandligi uning o'rtasiga to'g'ri keladi.

Istalgan apotema (toʻgʻri burchakli uchburchakning gipotenuzasi) √(3² + 4^{2)=5 (sm).}

Endi siz kerakli qiymatni hisoblashingiz mumkin: ½(46)5+6²=96 (qarang:^2).

Javob. 96 sm2.

Muammo 4

Holat. Muntazam olti burchakli piramida berilgan. Uning poydevorining yon tomonlari 22 mm, yon qovurg'alari 61 mm. Ushbu ko'pburchakning lateral yuzasi qancha?

Qaror. Undagi mulohazalar 2-masalada tasvirlanganidek. Faqat poydevori kvadratli piramida berilgan, endi u olti burchakli.

Birinchi navbatda, poydevorning maydoni yuqoridagi formula bo'yicha hisoblanadi: (622²) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 sm^2.

Endi siz yon yuzi boʻlgan teng yonli uchburchakning yarim perimetrini topishingiz kerak. (22 + 612): 2 \u003d 72 sm. Har birining maydonini hisoblash qoladi.uchburchak, so'ng uni olti ga ko'paytiring va asos uchun chiqqaniga qo'shing.

Geron formulasi boʻyicha hisoblash: √(72(72-22)(72-61)²)=√435600=660 sm² . Yon sirt maydonini beradigan hisoblar: 6606=3960 sm². Butun sirtni aniqlash uchun ularni qo'shish kerak: 5217, 47≈5217 sm^2.

Javob. Asosiy - 726√3cm², yon yuzasi - 3960cm², umumiy maydoni - 5217cm^2.