Dihedral burchaklar va ularni hisoblash formulasi. To'rtburchak muntazam piramida asosidagi ikki burchakli burchak

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-02 17:58

Geometriyada figuralarni oʻrganish uchun ikkita muhim xususiyatdan foydalaniladi: tomonlarning uzunliklari va ular orasidagi burchaklar. Fazoviy figuralar bo'lsa, bu belgilarga dihedral burchaklar qo'shiladi. Keling, bu nima ekanligini ko'rib chiqamiz, shuningdek, piramida misolida bu burchaklarni aniqlash usulini tasvirlab beramiz.

Dihedral burchak tushunchasi

Hammaga ma'lumki, ikkita kesishuvchi chiziq kesishish nuqtasida cho'qqi bilan burchak hosil qiladi. Ushbu burchakni transportyor bilan o'lchash mumkin yoki uni hisoblash uchun trigonometrik funktsiyalardan foydalanishingiz mumkin. Ikki toʻgʻri burchak hosil qilgan burchak chiziqli deb ataladi.

Endi tasavvur qiling-a, uch oʻlchamli fazoda toʻgʻri chiziq boʻylab kesishuvchi ikkita tekislik bor. Ular rasmda ko'rsatilgan.

Dihedral burchak - bu ikkita kesishuvchi tekislik orasidagi burchak. Xuddi chiziqli kabi, u daraja yoki radian bilan o'lchanadi. Agar tekisliklar kesishgan chiziqning istalgan nuqtasiga ikkita perpendikulyar tiklang,bu tekisliklarda yotgan holda, ular orasidagi burchak kerakli dihedral bo'ladi. Bu burchakni aniqlashning eng oson usuli tekisliklarning umumiy tenglamalaridan foydalanishdir.

Tekliklar tenglamasi va ular orasidagi burchak formulasi

Har qanday tekislikning fazodagi tenglamasi umumiy holda quyidagicha yoziladi:

A × x + B × y + C × z + D=0.

Bu yerda x, y, z - tekislikka tegishli nuqtalar koordinatalari, A, B, C, D koeffitsientlari ba'zi ma'lum sonlar. Ikki burchakli burchaklarni hisoblash uchun bu tenglikning qulayligi shundaki, u tekislikning yo'nalish vektorining koordinatalarini aniq o'z ichiga oladi. Biz uni n¯ bilan belgilaymiz. Keyin:

n¯=(A; B; C).

Vektor n¯ tekislikka perpendikulyar. Ikki tekislik orasidagi burchak ularning yoʻnalish vektorlari n₁¯ va n₂¯ orasidagi burchakka teng. Matematikadan ma'lumki, ikkita vektor hosil qilgan burchak ularning skalyar ko'paytmasidan yagona aniqlanadi. Bu sizga ikkita tekislik orasidagi dihedral burchakni hisoblash formulasini yozish imkonini beradi:

ph=arccos (|(n₁¯ × n₂¯)| / (|n₁ ¯| × |n₂¯|)).

Vektorlarning koordinatalarini almashtirsak, formula aniq yoziladi:

ph=arccos (|A₁ × A₂ + B₁ × B ₂ + C₁ × C₂| / (√(A₁ 2 ^{+ B}12 ^{+ C}12 ^{) × √(A}22^+B22 ^{+ C}22^))).

Numeratordagi modul belgisi faqat oʻtkir burchakni aniqlash uchun ishlatiladi, chunki ikki burchakli burchak har doim 90^o dan kichik yoki unga teng.

Piramida va uning burchaklari

Piramida - bu bitta n-burchak va n uchburchakdan tashkil topgan figura. Bu erda n - piramida asosi bo'lgan ko'pburchak tomonlari soniga teng butun son. Bu fazoviy figura ko'pburchak yoki ko'pburchakdir, chunki u tekis yuzlardan (yonlardan) iborat.

Piramida-koʻp yuzli ikki burchakli burchaklar ikki xil boʻlishi mumkin:

• tayanch va yon o'rtasida (uchburchak);
• ikki tomon orasi.

Agar piramida muntazam deb hisoblansa, uning nomidagi burchaklarini aniqlash oson. Buning uchun uchta ma'lum nuqtaning koordinatalaridan foydalanib, tekisliklar tenglamasini tuzish kerak, so'ngra ph burchagi uchun yuqoridagi paragrafda keltirilgan formuladan foydalaning.

Quyida biz toʻrtburchak muntazam piramidaning negizida ikki burchakli burchaklarni qanday topish mumkinligini koʻrsatadigan misol keltiramiz.

To'rtburchak muntazam piramida va uning tagidagi burchak

Asosi kvadrat boʻlgan oddiy piramida berilgan deb faraz qilaylik. Kvadrat tomonining uzunligi a, figuraning balandligi h. Piramida asosi va uning tomoni orasidagi burchakni toping.

Koordinatalar sistemasining boshini kvadrat markaziga joylashtiramiz. Keyin nuqtalarning koordinatalariRasmda ko'rsatilgan A, B, C, D:

A=(a/2; -a/2; 0);

B=(a/2; a/2; 0);

C=(-a/2; a/2; 0);

D=(0; 0; h).

ACB va ADB samolyotlarini ko'rib chiqing. Shubhasiz, ACB tekisligi uchun n₁¯ yoʻnalish vektori quyidagicha boʻladi:

₁¯=(0; 0; 1).

ADB tekisligining n₂¯ yoʻnalish vektorini aniqlash uchun quyidagi amallarni bajaring: unga tegishli ikkita ixtiyoriy vektorni toping, masalan, AD¯ va AB¯, keyin ularning vektor ishini hisoblang. Uning natijasi n₂¯ koordinatalarini beradi. Bizda:

AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);

AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);

₂¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a²/2).

Vektorni songa koʻpaytirish va boʻlish uning yoʻnalishini oʻzgartirmagani uchun, hosil boʻlgan n₂¯ ni oʻzgartiramiz, uning koordinatalarini -a ga boʻlib, olamiz:

₂¯=(h; 0; a/2).

Biz ACB bazasi va ADB yon tekisliklari uchun n₁¯ va n₂¯ vektor qoʻllanmalarini aniqladik. ph burchagi uchun formuladan foydalanish qoladi:

ph=arccos (|(n₁¯ × n₂¯)| / (|n₁ ¯| × |n₂¯|))=arccos (a / (2 × √h² + a 2^/4)).

Olingan ifodani oʻzgartiring va uni quyidagicha qayta yozing:

ph=arccos (a / √(a²+ 4 × h²)).

Biz muntazam toʻrtburchakli piramida uchun asosdagi ikki burchakli burchak formulasini oldik. Shaklning balandligini va uning yon tomonining uzunligini bilib, siz ph burchagini hisoblashingiz mumkin. Masalan, poydevor tomoni 230,4 metr va dastlabki balandligi 146,5 metr bo'lgan Xeops piramidasi uchun ph burchagi 51,8^o bo'ladi.

To’rtburchak muntazam piramida uchun ikki burchakli burchakni geometrik usul yordamida aniqlash ham mumkin. Buning uchun h balandligi, asosining yarmi uzunligi a/2 va teng yonli uchburchakning apotemisidan hosil bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqish kifoya.