Prizma koʻpburchak yoki koʻp yuzli boʻlib, maktabda qattiq geometriya kursida oʻrganiladi. Ushbu ko'pburchakning muhim xususiyatlaridan biri uning hajmidir. Keling, maqolada ushbu qiymatni qanday hisoblash mumkinligini ko'rib chiqamiz, shuningdek prizmalarning hajmi uchun formulalarni keltiramiz - muntazam to'rtburchak va olti burchakli.
Stereometriyada prizma
Bu raqam parallel tekisliklarda joylashgan ikkita bir xil koʻpburchak va bir nechta parallelogrammalardan tashkil topgan koʻpburchak deb tushuniladi. Prizmalarning ayrim turlari uchun parallelogrammalar to'rtburchaklar to'rtburchaklar yoki kvadratlarni ifodalashi mumkin. Quyida beshburchak prizma deb ataladigan misol keltirilgan.
Yuqoridagi rasmdagidek figurani qurish uchun beshburchakni olib, uni fazoda ma'lum masofaga parallel o'tkazishni amalga oshirish kerak. Ikkita beshburchakning tomonlarini parallelogrammalar yordamida birlashtirib, biz kerakli prizmani olamiz.
Har bir prizma yuzlar, uchlari va qirralaridan iborat. Prizmaning uchlaripiramidadan farqli o'laroq, ular tengdir, ularning har biri ikkita asosdan biriga tegishli. Yuzlar va qirralar ikki xil: asoslarga tegishli va yon tomonlarga tegishli.
Prizmalar bir necha turdagi (toʻgʻri, qiya, qavariq, toʻgʻri, botiq). Prizma hajmi qanday formula bo'yicha, rasmning shakli hisobga olingan holda hisoblanishini keyinroq maqolada ko'rib chiqamiz.
Prizma hajmini aniqlashning umumiy ifodasi
O`rganilayotgan figura qaysi turga tegishli bo`lishidan qat`i nazar, u to`g`ri yoki qiya, muntazam yoki tartibsiz bo`ladimi, uning hajmini aniqlash imkonini beruvchi universal ifoda mavjud. Fazoviy figuraning hajmi uning yuzlari orasiga o'ralgan bo'shliq maydonidir. Prizma hajmining umumiy formulasi:
V=So × h.
Bu yerda So bazaning maydonini bildiradi. Shuni esda tutish kerakki, biz ikkita asos haqida emas, balki bitta asos haqida gapiramiz. h qiymati balandlikdir. O'rganilayotgan figuraning balandligi deganda uning bir xil asoslari orasidagi masofa tushuniladi. Agar bu masofa yon qovurg'alarning uzunliklariga to'g'ri kelsa, unda to'g'ri prizma haqida gapiriladi. To'g'ri shaklda barcha tomonlar to'rtburchaklardir.
Shunday qilib, prizma qiya boʻlsa va asosi tartibsiz koʻpburchak boʻlsa, uning hajmini hisoblash ancha murakkablashadi. Agar raqam to'g'ri bo'lsa, unda hajmni hisoblash faqat So.
asosining maydonini aniqlashga qisqartiriladi.
Oddiy figuraning hajmini aniqlash
Toʻgʻri va tomonlari va burchaklari bir-biriga teng boʻlgan koʻpburchak asosga ega boʻlgan har qanday prizma muntazamdir. Masalan, bunday muntazam ko'pburchaklar kvadrat va teng tomonli uchburchakdir. Shu bilan birga, romb oddiy figura emas, chunki uning barcha burchaklari teng emas.
Muntazam prizma hajmining formulasi maqolaning oldingi bandida yozilgan V uchun umumiy ifodadan aniq kelib chiqadi. Tegishli formulani yozishni davom ettirishdan oldin, to'g'ri asosning maydonini aniqlash kerak. Matematik tafsilotlarga kirmasdan, biz ko'rsatilgan maydonni aniqlash formulasini taqdim etamiz. U har qanday oddiy n-gon uchun universal va quyidagi shaklga ega:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Ifodadan koʻrinib turibdiki, Sn maydoni ikkita parametr funksiyasidir. n butun soni 3 dan cheksizgacha bo'lgan qiymatlarni qabul qilishi mumkin. a qiymati n-burchak tomonining uzunligi.
Raqam hajmini hisoblash uchun S maydonini h balandligi yoki yon chetining uzunligi b (h=b) ga ko'paytirish kifoya.. Natijada, biz quyidagi ishchi formulaga erishamiz:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Esda tutingki, ixtiyoriy turdagi prizmaning hajmini aniqlash uchun siz bir nechta kattaliklarni bilishingiz kerak (poydevor tomonlarining uzunligi, balandligi, figuraning dihedral burchaklari), lekin V qiymatini hisoblash uchun oddiy prizma uchun biz faqat ikkita chiziqli parametrni bilishimiz kerak, masalan, a va h.
To'rtburchak muntazam prizmaning hajmi
To'rtburchak prizma parallelepiped deyiladi. Agar uning barcha yuzlari teng bo'lsa va kvadrat bo'lsa, unda bunday raqam kub bo'ladi. To‘g‘ri burchakli parallelepiped yoki kubning hajmi uning uch xil tomonini (uzunligi, balandligi va kengligi) ko‘paytirish orqali aniqlanishini har bir o‘quvchi biladi. Bu fakt oddiy raqam uchun yozma umumiy hajm ifodasidan kelib chiqadi:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Bu erda 45° kotangenti 1 ga teng. E'tibor bering, h balandligi va poydevor tomoni uzunligi a tengligi avtomatik ravishda kub hajmi formulasiga olib keladi.
Olti burchakli muntazam prizmaning hajmi
Endi esa olti burchakli asosli figuraning hajmini aniqlash uchun yuqoridagi nazariyani qoʻllang. Buning uchun formuladagi n=6 qiymatini almashtirish kifoya:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × soat.
Yozma ifodani S uchun universal formuladan foydalanmasdan mustaqil ravishda olish mumkin. Buning uchun muntazam olti burchakni oltita teng qirrali uchburchakka bo'lish kerak. Ularning har birining tomoni a ga teng bo'ladi. Bitta uchburchakning maydoni quyidagilarga to'g'ri keladi:
S3=√3/4 × a2.
Ushbu qiymatni uchburchaklar soniga (6) va balandlikka koʻpaytirsak, hajm uchun yuqoridagi formulani olamiz.
