Muntazam to'rtburchak piramidaning lateral yuzasining maydoni: formulalar va muammolarga misollar

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-02 17:58

Tekislik va uch oʻlchamli fazodagi tipik geometrik masalalar turli shakldagi sirt maydonlarini aniqlash masalalari hisoblanadi. Ushbu maqolada biz oddiy to'rtburchak piramidaning lateral yuzasining maydoni formulasini taqdim etamiz.

Piramida nima?

Piramidaning qat'iy geometrik ta'rifini beraylik. Faraz qilaylik, n ta tomoni va n ta burchagi bo'lgan ko'pburchak bor. Biz fazoda belgilangan n-burchak tekisligida bo'lmaydigan ixtiyoriy nuqtani tanlaymiz va uni ko'pburchakning har bir cho'qqisiga bog'laymiz. Biz n burchakli piramida deb ataladigan bir oz hajmga ega bo'lgan raqamni olamiz. Misol uchun, quyidagi rasmda beshburchakli piramida qanday ko'rinishini ko'rsatamiz.

Har qanday piramidaning ikkita muhim elementi uning asosi (n-gon) va tepa qismidir. Bu elementlar bir-biriga n ta uchburchak orqali bog'langan bo'lib, ular umuman bir-biriga teng emas. Perpendikulyar pastga tushdiyuqoridan pastga figuraning balandligi deyiladi. Agar u asosni geometrik markazda kesib o'tsa (ko'pburchakning massa markaziga to'g'ri kelsa), unda bunday piramida to'g'ri chiziq deb ataladi. Agar bu shartga qo'shimcha ravishda asosi muntazam ko'pburchak bo'lsa, u holda butun piramida muntazam deyiladi. Quyidagi rasmda uchburchak, toʻrtburchak, beshburchak va olti burchakli asosli oddiy piramidalar qanday koʻrinishi koʻrsatilgan.

Piramida yuzasi

Muntazam to'rtburchak piramidaning lateral yuzasining maydoni haqidagi savolga o'tishdan oldin, biz sirtning o'zi tushunchasiga to'xtalib o'tishimiz kerak.

Yuqorida aytib o'tilganidek va raqamlarda ko'rsatilganidek, har qanday piramida yuzlar yoki tomonlar to'plamidan hosil bo'ladi. Bir tomoni asos, n tomoni esa uchburchak. Butun figuraning yuzasi uning har bir tomonining maydonlarining yig'indisidir.

Sharqning ochilishi misolida sirtni o'rganish qulay. Oddiy to'rtburchak piramidani skanerlash quyidagi rasmlarda ko'rsatilgan.

Biz uning sirt maydoni bir xil teng yonli uchburchaklarning toʻrtta maydoni va kvadrat maydoni yigʻindisiga teng ekanligini koʻramiz.

Rasmning tomonlarini tashkil etuvchi barcha uchburchaklarning umumiy maydoni yon yuzaning maydoni deb ataladi. Keyinchalik oddiy to'rtburchak piramida uchun uni qanday hisoblashni ko'rsatamiz.

To'rtburchak muntazam piramidaning yon yuzasining maydoni

Yana tomonning maydonini hisoblash uchunko'rsatilgan raqamning yuzasi, biz yana yuqoridagi skanerlashga murojaat qilamiz. Aytaylik, biz kvadrat asosning tomonini bilamiz. Uni a belgisi bilan belgilaymiz. Ko'rinib turibdiki, to'rtta bir xil uchburchakning har birining asosi uzunligi a. Ularning umumiy maydonini hisoblash uchun siz bitta uchburchak uchun bu qiymatni bilishingiz kerak. Geometriya kursidan ma'lumki, S_{t uchburchakning maydoni poydevor va balandlikning mahsulotiga teng bo'lib, uni yarmiga bo'lish kerak. Ya'ni:}

S_t=1/2h_ba.

Bu yerda h_b - asosi aga tortilgan teng yonli uchburchakning balandligi. Piramida uchun bu balandlik apotema hisoblanadi. Endi ko'rib chiqilayotgan piramida uchun lateral yuzaning S_{b maydonini olish uchun natijada olingan ifodani 4 ga ko'paytirish kerak:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Ushbu formula ikkita parametrdan iborat: apotem va asosning yon tomoni. Agar ikkinchisi masalalarning ko'p shartlarida ma'lum bo'lsa, unda birinchisini boshqa miqdorlarni bilgan holda hisoblash kerak. Ikki holat uchun h_{b apotemasini hisoblash formulalari:}

• yon qovurg'aning uzunligi ma'lum bo'lganda;
• piramida balandligi ma'lum bo'lganda.

Agar lateral chetining uzunligini (teng yonli uchburchakning tomoni) L belgisi bilan belgilasak, u holda h_{b apotema quyidagi formula bilan aniqlanadi:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Bu ifoda lateral sirt uchburchagi uchun Pifagor teoremasini qoʻllash natijasidir.

Agar ma'lum bo'lsapiramidaning h balandligi, keyin h_{b apotemani quyidagicha hisoblash mumkin:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Agar piramida ichida h va a/2 oyoqlari va h_{b gipotenuzasi tomonidan hosil qilingan to'g'ri burchakli uchburchakni piramida ichida ko'rib chiqsak, bu ifodani olish ham qiyin emas.}

Keling, ikkita qiziqarli masalani yechish orqali ushbu formulalarni qanday qoʻllashni koʻrsatamiz.

Ma'lum sirt maydoni bilan muammo

Ma'lumki, muntazam to'rtburchakli piramidaning lateral yuzasi 108 sm². Uning h_{b apotemasining uzunligi qiymatini hisoblash kerak, agar piramidaning balandligi 7 sm bo'lsa.}

Yon yuzaning balandligi orqali S_{b maydoni formulasini yozamiz. Bizda:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Bu yerda biz S_{b ifodasiga mos keladigan apotema formulasini almashtirdik. Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz:}

S_b²=4a²h² + a^4.

A qiymatini topish uchun oʻzgaruvchilarni oʻzgartiramiz:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Endi biz ma'lum qiymatlarni almashtiramiz va kvadrat tenglamani yechamiz:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Biz bu tenglamaning faqat ijobiy ildizini yozdik. Keyin piramida poydevorining tomonlari quyidagicha bo'ladi:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 sm.

Apotema uzunligini olish uchun,faqat formuladan foydalaning:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 qarang}

Xeops piramidasining yon yuzasi

Eng katta Misr piramidasi uchun lateral sirt maydoni qiymatini aniqlang. Ma'lumki, uning tagida yon tomoni uzunligi 230,363 metr bo'lgan kvadrat joylashgan. Dastlab inshootning balandligi 146,5 metr edi. Bu raqamlarni mos keladigan formulaga S_{b almashtirsak, biz: olamiz}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Topilgan qiymat 17ta futbol maydoni maydonidan biroz kattaroq.