Kesilgan piramidaning yon yuzasining maydoni va hajmi: formulalar va odatiy muammoni hal qilish misoli

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-02 17:58

Stereometriya doirasida uch oʻlchamli fazodagi figuralarning xossalarini oʻrganishda koʻpincha hajm va sirt maydonini aniqlash masalalarini yechishga toʻgʻri keladi. Ushbu maqolada biz taniqli formulalar yordamida kesilgan piramida uchun hajm va lateral sirt maydonini qanday hisoblashni ko'rsatamiz.

Geometriyadagi piramida

Geometriyada oddiy piramida kosmosdagi figura boʻlib, u qandaydir tekis n-burchak ustiga qurilgan. Uning barcha uchlari ko'pburchak tekisligidan tashqarida joylashgan bir nuqtaga bog'langan. Masalan, bu yerda beshburchakli piramida tasvirlangan surat.

Bu raqam yuzlar, cho'qqilar va qirralardan hosil bo'ladi. Beshburchak yuzga asos deyiladi. Qolgan uchburchak yuzlar yon sirtni hosil qiladi. Barcha uchburchaklarning kesishish nuqtasi piramidaning asosiy cho'qqisi hisoblanadi. Agar perpendikulyar undan poydevorga tushirilsa, kesishish nuqtasining joylashuvi uchun ikkita variant mavjud:

• Geometrik markazda, keyin piramida toʻgʻri chiziq deb ataladi;
• kirilmagangeometrik markaz bo'lsa, u holda raqam qiya bo'ladi.

Keyinchalik biz faqat oddiy n burchakli asosli toʻgʻri raqamlarni koʻrib chiqamiz.

Bu qanday raqam - kesilgan piramida?

Kesilgan piramidaning hajmini aniqlash uchun qaysi raqam haqida gap ketayotganini aniq tushunish kerak. Keling, bu masalaga oydinlik kiritaylik.

Deylik, oddiy piramida asosiga parallel boʻlgan kesuvchi tekislikni olamiz va u bilan yon yuzaning bir qismini kesib tashlaymiz. Agar bu amal yuqorida ko'rsatilgan beshburchakli piramida bilan bajarilsa, siz quyidagi rasmdagi kabi raqamga ega bo'lasiz.

Suratdan koʻrinib turibdiki, bu piramidaning allaqachon ikkita asosi bor, tepasi esa pastki qismiga oʻxshaydi, lekin hajmi jihatidan kichikroq. Yon sirt endi uchburchaklar bilan emas, balki trapezoidlar bilan ifodalanadi. Ular teng yonli bo'lib, ularning soni asosning tomonlari soniga to'g'ri keladi. Kesilgan figuraning oddiy piramida kabi asosiy cho'qqisi yo'q va uning balandligi parallel asoslar orasidagi masofa bilan belgilanadi.

Umumiy holatda, agar koʻrib chiqilayotgan figura n-burchak asoslar yordamida tuzilgan boʻlsa, uning n+2 yuzi yoki tomoni, 2n choʻqqisi va 3n cheti bor. Ya'ni, kesilgan piramida ko'pburchakdir.

Kesik piramida hajmi formulasi

Eslatib o'tamiz, oddiy piramidaning hajmi uning balandligi va asos maydoni ko'paytmasining 1/3 qismini tashkil qiladi. Ushbu formula kesilgan piramida uchun mos emas, chunki u ikkita asosga ega. Va uning hajmiu olingan oddiy raqam uchun har doim bir xil qiymatdan kichik bo'ladi.

Ifodani olishning matematik tafsilotlariga kirmasdan, biz kesilgan piramida hajmining yakuniy formulasini keltiramiz. U quyidagicha yozilgan:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Bu yerda S₁ va S_{2 mos ravishda pastki va yuqori asoslarning maydonlari, h - figuraning balandligi. Yozma ifoda nafaqat to'g'ridan-to'g'ri kesilgan piramida uchun, balki ushbu sinfning har qanday figurasi uchun ham amal qiladi. Bundan tashqari, asosiy ko'pburchaklar turidan qat'i nazar. V uchun ifodadan foydalanishni cheklaydigan yagona shart - bu piramida asoslarining bir-biriga parallel bo'lishi zarurati.}

Ushbu formulaning xususiyatlarini oʻrganish orqali bir qancha muhim xulosalar chiqarish mumkin. Shunday qilib, agar yuqori poydevorning maydoni nolga teng bo'lsa, biz oddiy piramidaning V formulasiga kelamiz. Agar asoslarning maydonlari bir-biriga teng bo'lsa, biz prizma hajmining formulasini olamiz.

Yana sirt maydonini qanday aniqlash mumkin?

Kesilgan piramidaning xususiyatlarini bilish nafaqat uning hajmini hisoblash qobiliyatini, balki lateral yuzaning maydonini qanday aniqlashni ham bilishni talab qiladi.

Kesik piramida ikki turdagi yuzdan iborat:

• isossellar trapetsiyalari;
• koʻpburchak asoslar.

Agar asoslarda muntazam koʻpburchak boʻlsa, uning maydonini hisoblash katta boʻlmaydi.qiyinchiliklar. Buning uchun faqat a tomonning uzunligini va ularning n sonini bilishingiz kerak.

Yon yuza holatida uning maydonini hisoblash n ta trapezoidning har biri uchun ushbu qiymatni aniqlashni o'z ichiga oladi. Agar n-burchak to'g'ri bo'lsa, lateral sirt maydoni formulasi quyidagicha bo'ladi:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Bu yerda h_b - trapetsiyaning balandligi, bu figuraning apotemasi deb ataladi. a₁ va a_{2kattaliklar oddiy n burchakli asoslar tomonlari uzunligidir.}

Har bir oddiy n burchakli kesilgan piramida uchun h_b apotema a₁ va a _{parametrlari orqali yagona aniqlanishi mumkin. 2va shakl balandligi h.}

Raqamning hajmi va maydonini hisoblash vazifasi

Muntazam uchburchakli kesilgan piramida berilgan. Ma'lumki, uning balandligi h 10 sm, poydevorining yon tomonlari uzunligi 5 sm va 3 sm. Kesik piramidaning hajmi va uning lateral yuzasining maydoni qancha?

Avval V qiymatini hisoblaymiz. Buning uchun rasm asoslarida joylashgan teng yonli uchburchaklarning maydonlarini toping. Bizda:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825 sm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 sm²

Ma'lumotni V formulasiga almashtiring, biz kerakli hajmni olamiz:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 sm3

Yon yuzani aniqlash uchun siz bilishingiz kerakapotem uzunligi h_{b. Piramida ichidagi mos keladigan to'g'ri burchakli uchburchakni hisobga olsak, biz uning tengligini yozishimiz mumkin:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 sm}

S_{bifodasiga apotemning qiymati va uchburchak asoslarning tomonlari almashtiriladi va biz javob olamiz:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2cm²

Shunday qilib, muammoning barcha savollariga javob berdik: V ≈ 70,72 sm³, S_b ≈ 120,2 sm2^.