Dunyo shunday joylashtirilganki, koʻp sonli masalalarni yechish kvadrat tenglamaning ildizlarini topishga toʻgʻri keladi. Tenglamalarning ildizlari turli naqshlarni tavsiflash uchun muhimdir. Bu hatto qadimgi Bobilning tadqiqotchilariga ham ma'lum edi. Astronomlar va muhandislar ham bunday muammolarni hal qilishga majbur bo'lishdi. Milodiy VI asrda hind olimi Aryabxata kvadrat tenglamaning ildizlarini topish asoslarini ishlab chiqdi. Formulalar 19-asrda tugallangan.
Umumiy tushunchalar
Sizni kvadrat tenglikning asosiy qonuniyatlari bilan tanishishga taklif qilamiz. Umuman olganda, tenglikni quyidagicha yozish mumkin:
ax2 + bx + c=0, Kvadrat tenglamaning ildizlari soni bir yoki ikkitaga teng bo'lishi mumkin. Diskriminant tushunchasi yordamida tezkor tahlil qilish mumkin:
D=b2 - 4ac
Hisoblangan qiymatga qarab biz quyidagilarni olamiz:
- D > 0 boʻlsa, ikki xil ildiz mavjud. Kvadrat tenglamaning ildizlarini aniqlashning umumiy formulasi (-b± √D) / (2a) ga o'xshaydi.
- D=0, bu holda ildiz bitta va x=-b / (2a) qiymatiga mos keladi.
- D < 0, diskriminantning manfiy qiymati uchun tenglamaning yechimi yo'q.
Eslatma: agar diskriminant manfiy bo'lsa, tenglama faqat haqiqiy sonlar hududida ildizlarga ega emas. Agar algebra murakkab ildizlar tushunchasiga kengaytirilsa, u holda tenglama yechimga ega.
Ildizlarni topish formulasini tasdiqlovchi harakatlar zanjirini keltiramiz.
Tenglamaning umumiy shaklidan quyidagicha chiqadi:
ax2 + bx=-c
O'ng va chap qismlarni 4a ga ko'paytiramiz va b2 qo'shamiz, biz olamiz
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Chap tomonni polinom kvadratiga aylantiring (2ax + b)2. 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2) tenglamaning ikkala tomonining kvadrat ildizini chiqaramiz, b koeffitsientini o'ng tomonga o'tkazamiz, biz olamiz:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Bu yerdan:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Nima koʻrsatish kerak edi.
Maxsus holat
Ba'zi hollarda muammoni hal qilishni soddalashtirish mumkin. Shunday qilib, teng koeffitsient b uchun biz oddiyroq formulani olamiz.
k=1/2b ni belgilaymiz, u holda kvadrat tenglama ildizlarining umumiy shakli formulasi quyidagi shaklni oladi:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
D=0 bo'lsa, biz x=-k / a ni olamiz
Yana bir alohida holat - a=1 bilan tenglamaning yechimi.
x2 + bx + c=0 shakli uchun ildizlar x=-k ± √(k2 - c bo'ladi) diskriminant 0 dan katta. D=0 bo'lsa, ildiz oddiy formula bilan aniqlanadi: x=-k.
Chizmalardan foydalanish
Har qanday odam oʻzi bilmagan holda doimiy ravishda kvadratik funksiya bilan yaxshi tasvirlangan fizik, kimyoviy, biologik va hatto ijtimoiy hodisalarga duch keladi.
Izoh: kvadratik funksiya asosida qurilgan egri chiziq parabola deb ataladi.
Bu yerda bir nechta misollar.
- Snaryadning traektoriyasini hisoblashda gorizontga burchak ostida otilgan jismning parabolasi boʻylab harakatlanish xususiyatidan foydalaniladi.
- Parabolaning yukni teng taqsimlash xususiyati arxitekturada keng qoʻllaniladi.
Parabolik funktsiyaning ahamiyatini tushunib, "diskriminant" va "kvadrat tenglamaning ildizlari" tushunchalaridan foydalanib, uning xususiyatlarini o'rganish uchun grafikdan qanday foydalanishni aniqlaymiz.
a va b koeffitsientlarining qiymatiga qarab, egri chiziqning joylashuvi uchun faqat oltita variant mavjud:
- Diskriminant musbat, a va b belgilari har xil. Parabolaning shoxlari tepaga qaraydi, kvadrat tenglama ikkita yechimga ega.
- Diskriminant va b koeffitsienti nolga teng, a koeffitsienti noldan katta. Grafik musbat zonada, tenglama 1 ta ildizga ega.
- Diskriminant va barcha koeffitsientlar ijobiy. Kvadrat tenglamaning yechimi yo‘q.
- Diskriminant va a koeffitsienti manfiy, b noldan katta. Grafik shoxlari pastga yo'n altirilgan, tenglama ikkita ildizga ega.
- Diskriminant vab koeffitsienti nolga teng, a koeffitsienti manfiy. Parabola pastga qaraydi, tenglama bitta ildizga ega.
- Diskriminant va barcha koeffitsientlarning qiymatlari manfiy. Yechim yo‘q, funksiya qiymatlari butunlay salbiy zonada.
Eslatma: a=0 varianti hisobga olinmaydi, chunki bu holda parabola toʻgʻri chiziqqa aylanadi.
Yuqoridagilarning barchasi quyidagi rasmda yaxshi tasvirlangan.
Muammo yechishga misollar
Shart: umumiy xususiyatlardan foydalanib, ildizlari bir-biriga teng boʻlgan kvadrat tenglama tuzing.
Yechim:
muammo shartiga koʻra x1 =x2 yoki -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Belgilanishni soddalashtirish:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, qavslarni oching va o'xshash shartlarni bering. Tenglama 2√(b2 - 4ac)=0 ga aylanadi. Bu gap b2 - 4ac=0 bo'lganda to'g'ri bo'ladi, shuning uchun b 2=4ac, keyin b=2√(ac) qiymatitenglamasiga almashtiriladi
ax2 + 2√(ac)x + c=0, qisqartirilgan shaklda biz x2 + 2√(ni olamiz c / a)x + c=0.
Javob:
0 ga teng boʻlmagan va har qanday c uchun, agar b=2√(c / a) boʻlsa, faqat bitta yechim bor.
Kvadrik tenglamalar barcha soddaligi bilan muhandislik hisoblarida katta ahamiyatga ega. Deyarli har qanday jismoniy jarayonni ba'zi bir taxminlar yordamida tasvirlash mumkinn tartibli quvvat funksiyalari. Kvadrat tenglama shunday birinchi taxmin bo'ladi.
