Kvadrik tenglamalar koʻpincha matematika va fizikadagi qator masalalarda uchraydi, shuning uchun har bir talaba ularni yecha olishi kerak. Ushbu maqolada kvadrat tenglamalarni yechishning asosiy usullari batafsil yoritilgan va ulardan foydalanish misollari keltirilgan.
Qanday tenglama kvadrat deb ataladi
Avvalo, maqola nima haqida boʻlishini yaxshiroq tushunish uchun ushbu bandning savoliga javob beramiz. Demak, kvadrat tenglama quyidagi umumiy ko rinishga ega: c + bx+ax2=0, bu yerda a, b, c ba’zi sonlar bo’lib, ular koeffitsientlar deyiladi. Bu erda a≠0 majburiy shart, aks holda ko'rsatilgan tenglama chiziqli tenglamaga aylanadi. Qolgan koeffitsientlar (b, c) mutlaqo har qanday qiymatlarni, shu jumladan nolni ham qabul qilishi mumkin. Shunday qilib, ax2=0, bu erda b=0 va c=0 yoki c+ax2=0, bu erda b iboralar=0 yoki bx+ax2=0, bu yerda c=0 ham kvadrat tenglamalar boʻlib, ular toʻliq emas deb ataladi, chunki ulardagi chiziqli b koeffitsienti nol yoki nolga teng.bepul atama c yoki ikkalasi ham yo'qoladi.
A=1 qisqartirilgan deb ataladigan tenglama, ya'ni quyidagi ko'rinishga ega: x2 + s/a + (b/a)x=0.
Kvadrat tenglamaning yechimi uning tengligini qanoatlantiradigan shunday x qiymatlarni topishdir. Bu qiymatlar ildizlar deb ataladi. Ko'rib chiqilayotgan tenglama ikkinchi darajali ifoda bo'lgani uchun, bu uning ildizlarining maksimal soni ikkitadan oshmasligini bildiradi.
Kvadrat tenglamalarni yechishning qanday usullari mavjud
Umuman olganda, 4 ta yechim usuli mavjud. Ularning nomlari quyida keltirilgan:
- Faktoring.
- Kvadratga qoʻshish.
- Ma'lum formuladan foydalanish (diskriminant orqali).
- Yechish usuli geometrik.
Yuqoridagi roʻyxatda koʻrib turganingizdek, dastlabki uchta usul algebraikdir, shuning uchun ular funksiya grafigini oʻz ichiga olgan oxirgisiga qaraganda tez-tez ishlatiladi.
Vyeta teoremasi yordamida kvadrat tenglamalarni yechishning yana bir usuli bor. U yuqoridagi roʻyxatda 5-oʻringa qoʻshilishi mumkin, ammo bu bajarilmaydi, chunki Vyeta teoremasi 3-usulning oddiy natijasidir.
Keyinroq maqolada biz nomli yechish usullarini batafsil koʻrib chiqamiz, shuningdek, muayyan tenglamalarning ildizlarini topishda ulardan foydalanishga misollar keltiramiz.
1-usul. Faktoring
Kvadrat tenglamalar matematikasida bu usul uchun chiroylinomi: faktorizatsiya. Bu usulning mohiyati quyidagicha: kvadrat tenglamani nolga teng bo'lishi kerak bo'lgan ikkita had (ifoda) ko'paytmasi sifatida ko'rsatish kerak. Bunday taqdimotdan keyin mahsulot xususiyatidan foydalanishingiz mumkin, u faqat uning bir yoki bir nechta (barcha) aʼzolari nolga teng boʻlganda nolga teng boʻladi.
Endi tenglamaning ildizlarini topish uchun bajarilishi kerak boʻlgan aniq harakatlar ketma-ketligini koʻrib chiqing:
- Barcha a'zolarni ifodaning bir qismiga (masalan, chapga) o'tkazing, shunda uning boshqa qismida (o'ngda) faqat 0 qoladi.
- Tenglamaning bir qismidagi hadlar yigʻindisini ikkita chiziqli tenglamaning koʻpaytmasi sifatida koʻrsating.
- Har bir chiziqli ifodani nolga sozlang va ularni yeching.
Koʻrib turganingizdek, faktorizatsiya algoritmi juda oddiy, ammo koʻpchilik talabalar 2-bandni amalga oshirishda qiyinchiliklarga duch kelishadi, shuning uchun biz buni batafsilroq tushuntiramiz.
Qaysi ikkita chiziqli ifodalar bir-biriga koʻpaytirilganda kerakli kvadrat tenglamani berishini taxmin qilish uchun ikkita oddiy qoidani eslab qolish kerak:
- Ikki chiziqli ifodaning chiziqli koeffitsientlari bir-biriga ko'paytirilganda kvadrat tenglamaning birinchi koeffitsientini, ya'ni a sonini berishi kerak.
- Chiziqli ifodalarning erkin shartlari koʻpaytirilganda kerakli tenglamaning c sonini berishi kerak.
Omillarning barcha soni tanlangandan so'ng, ularni ko'paytirish kerak va agar ular kerakli tenglamani bersa, 3-bosqichga o'ting.yuqoridagi algoritmga rioya qiling, aks holda siz ko'paytirgichlarni o'zgartirishingiz kerak, lekin yuqoridagi qoidalarga doimo rioya qilish uchun buni qilishingiz kerak.
Faktorizatsiya usuli bilan yechimga misol
Kvadrat tenglamani yechish algoritmi noma'lum ildizlarni qanday tuzish va topish ekanligini aniq ko'rsatamiz. Ixtiyoriy ifoda berilsin, masalan, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Keling, maqolaning oldingi bandida keltirilgan 1 dan 3 gacha bo'lgan nuqtalar ketma-ketligiga rioya qilgan holda uning yechimiga o'tamiz.
1-band. Barcha shartlarni chap tomonga siljiting va ularni kvadrat tenglama uchun klassik ketma-ketlikda joylashtiring. Bizda quyidagi tenglik mavjud: 2x+(-8)+x2=0.
2-band. Biz uni chiziqli tenglamalar mahsulotiga ajratamiz. a=1, va c=-8 ekan, u holda, masalan, bunday hosilani (x-2)(x+4) tanlaymiz. Yuqoridagi paragrafda ko'rsatilgan kutilgan omillarni topish qoidalariga javob beradi. Qavslarni ochsak: -8+2x+x2, ya'ni tenglamaning chap tomonidagi bilan aynan bir xil ifodani olamiz. Bu ko‘paytiruvchilarni to‘g‘ri taxmin qilganimizni anglatadi va biz algoritmning 3-bosqichiga o‘tishimiz mumkin.
3-band. Har bir omilni nolga tenglashtirsak, biz quyidagilarga erishamiz: x=-4 va x=2.
Natijada shubha tugʻilsa, topilgan ildizlarni asl tenglamaga almashtirish orqali tekshirish tavsiya etiladi. Bu holatda bizda: 22+22-8=0 va 2(-4)+(-4)2 -8=0. Ildizlar toʻgʻri topildi.
Shunday qilib, faktorizatsiya usulidan foydalanib, biz berilgan tenglama turli xil ikkita ildizga ega ekanligini aniqladik.bor: 2 va -4.
2-usul. Toʻliq kvadrat
bilan toʻldiring
Kvadrat tenglamalar algebrasida ko'paytma usulini har doim ham qo'llash mumkin emas, chunki kvadrat tenglama koeffitsientlarining kasr qiymatlari bo'lsa, algoritmning 2-bandini bajarishda qiyinchiliklar paydo bo'ladi.
Toʻliq kvadrat usuli, oʻz navbatida, universal boʻlib, har qanday turdagi kvadrat tenglamalarga qoʻllanilishi mumkin. Uning mohiyati quyidagi operatsiyalarni bajarishdir:
- a va b koeffitsientlarini o'z ichiga olgan tenglamaning shartlari tenglamaning bir qismiga, erkin c hadi esa boshqasiga o'tkazilishi kerak.
- Keyin, tenglik qismlarini (o'ng va chap) a koeffitsientiga bo'lish kerak, ya'ni tenglama qisqartirilgan shaklda (a=1) taqdim etiladi.
- Chiziqli tenglamaning kvadrati sifatida ifodalash uchun a va b koeffitsientli hadlarni yig'ing. Agar \u003d 1 bo'lsa, chiziqli koeffitsient 1 ga teng bo'ladi, chiziqli tenglamaning erkin muddatiga kelsak, u qisqartirilgan kvadrat tenglamaning chiziqli koeffitsientining yarmiga teng bo'lishi kerak. Chiziqli ifodaning kvadrati tuzilgandan so'ng, kvadratni kengaytirish orqali olingan erkin atama joylashgan tenglikning o'ng tomoniga mos keladigan raqamni qo'shish kerak.
- Kvadrat ildizni "+" va "-" belgilari bilan oling va olingan chiziqli tenglamani yeching.
Ta'riflangan algoritm bir qarashda ancha murakkab ko'rinishi mumkin, ammo amalda uni faktorizatsiya usulidan ko'ra amalga oshirish osonroq.
Toʻliq kvadrat toʻldiruvchi yordamida yechimga misol
Keling, oldingi bandda tasvirlangan usul bilan uning yechilishini o’rgatish uchun kvadrat tenglamaga misol keltiramiz. -10 - 6x+5x2=0 kvadrat tenglama berilsin. Uni yuqorida tavsiflangan algoritm boʻyicha yechishni boshlaymiz.
1-modda. Kvadrat tenglamalarni yechishda uzatish usulidan foydalanamiz, olamiz: - 6x+5x2=10.
2-band. Bu tenglamaning kichraytirilgan shakli uning har bir a’zosining 5 soniga bo’lish yo’li bilan olinadi (agar ikkala qism ham bir xil songa bo’linsa yoki ko’paytirilsa, tenglik saqlanib qoladi). O'zgartirishlar natijasida biz quyidagilarni olamiz: x2 - 6/5x=2.
3-band. Koeffitsientning yarmi - 6/5 -6/10=-3/5, kvadratni to'ldirish uchun ushbu raqamdan foydalaning, biz olamiz: (-3/5+x) 2 . Biz uni kengaytiramiz va hosil bo'lgan erkin atama kvadrat tenglamaning asl shaklini qondirish uchun tenglikning chap tomonidan ayirilishi kerak, bu uni o'ng tomoniga qo'shishga teng. Natijada: (-3/5+x)2=59/25.
4-band. Kvadrat ildizni musbat va manfiy belgilari bilan hisoblang va ildizlarni toping: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Ikki topilgan ildiz quyidagi qiymatlarga ega: x1=(√59+3)/5 va x1=(3-√59)/5.
Bajarilgan hisob-kitoblar ildizlar bilan bogʻliq boʻlgani uchun xato qilish ehtimoli yuqori. Shuning uchun x2 va x1 ildizlarining to'g'riligini tekshirish tavsiya etiladi. Biz x1 uchun olamiz: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Hozir almashtiringx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Shunday qilib, biz tenglamaning topilgan ildizlari toʻgʻri ekanligini koʻrsatdik.
3-usul. Mashhur formulani qo'llash
Kvadrat tenglamalarni yechishning bu usuli, ehtimol, eng soddadir, chunki u koeffitsientlarni ma'lum formulaga almashtirishdan iborat. Uni ishlatish uchun yechim algoritmlarini kompilyatsiya qilish haqida o'ylash shart emas, faqat bitta formulani eslab qolish kifoya. U yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan.
Bu formulada radikal ifoda (b2-4ac) diskriminant (D) deb ataladi. Uning qiymati qanday ildizlar olinganiga bog'liq. 3 ta holat mavjud:
- D>0, u holda ildiz ikki tenglama haqiqiy va har xil tenglamaga ega.
- D=0, keyin x=-b/(a2) ifodasidan hisoblangan ildiz olinadi.
- D<0, keyin siz ikki xil xayoliy ildiz olasiz, ular murakkab sonlar sifatida ifodalanadi. Masalan, 3-5i soni murakkab, xayoliy birlik i esa xususiyatni qondiradi: i2=-1.
Diskriminantni hisoblash orqali yechimga misol
Yuqoridagi formuladan foydalanib mashq qilish uchun kvadrat tenglamaga misol keltiramiz. -3x2-6+3x+4x=0 uchun ildizlarni toping. Birinchidan, diskriminantning qiymatini hisoblang, biz quyidagilarni olamiz: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
D<0 olinganligi sababli, bu koʻrib chiqilayotgan tenglamaning ildizlari kompleks sonlar ekanligini bildiradi. Topilgan D qiymatini oldingi xatboshida berilgan formulaga qo'yib, ularni topamiz (u yuqoridagi fotosuratda ham ko'rsatilgan). Biz quyidagilarni olamiz: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
4-usul. Funktsiya grafigidan foydalanish
Kvadrat tenglamalarni echishning grafik usuli ham deyiladi. Aytish kerakki, qoida tariqasida, u miqdoriy emas, balki ko'rib chiqilayotgan tenglamaning sifat tahlili uchun ishlatiladi.
Usulning mohiyati parabola bo'lgan y=f(x) kvadrat funktsiyaning grafigini tuzishdan iborat. Keyin, parabola x o'qini (X) qaysi nuqtalarda kesishini aniqlash kerak, ular mos keladigan tenglamaning ildizlari bo'ladi.
Parabolaning X oʻqini kesishishini aniqlash uchun uning minimal (maksimal) oʻrnini va shoxlari yoʻnalishini bilish kifoya (ular ortishi yoki kamayishi mumkin). Bu egri chiziqning ikkita xususiyatini yodda tutish kerak:
- Agar a>0 - shoxchaning parabolalari yuqoriga yo'n altirilgan bo'lsa, aksincha, a<0 bo'lsa, ular pastga tushadi.
- Parabolaning minimal (maksimal) koordinatasi har doim x=-b/(2a).
Masalan, -4x+5x2+10=0 tenglamaning ildizlari bor yoki yoʻqligini aniqlashingiz kerak. Tegishli parabola yuqoriga yoʻn altiriladi, chunki a=5>0. Uning ekstremum koordinatalariga ega: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. egri chiziqning minimumi x o'qidan yuqorida joylashgan (y=9, 2), u holda u ikkinchisini hech qanday holatda kesishmaydi.x qiymatlari. Ya'ni, berilgan tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q.
Vyeta teoremasi
Yuqorida ta'kidlanganidek, bu teorema 3-usulning natijasi bo'lib, u formulani diskriminant bilan qo'llashga asoslangan. Vyeta teoremasining mohiyati shundaki, u tenglamaning koeffitsientlari va uning ildizlarini tenglikka ulash imkonini beradi. Tegishli tengliklarni olamiz.
Keling, diskriminant orqali ildizlarni hisoblash formulasidan foydalanamiz. Ikkita ildiz qo'shing, biz quyidagilarni olamiz: x1+x2=-b/a. Endi ildizlarni bir-biriga ko'paytiramiz: x1x2, bir qator soddalashtirishlardan so'ng c/a raqamini olamiz.
Shunday qilib, kvadrat tenglamalarni Vyeta teoremasi orqali yechish uchun olingan ikkita tenglikdan foydalanish mumkin. Agar tenglamaning uchta koeffitsienti ham ma'lum bo'lsa, u holda bu ikki tenglamaning tegishli tizimini yechish orqali ildizlarni topish mumkin.
Vyeta teoremasidan foydalanishga misol
Kvadrat tenglamaning x2+c=-bx koʻrinishida ekanligini va ildizlari 3 va -4 ekanligini bilsangiz, uni yozishingiz kerak.
Koʻrib chiqilayotgan tenglamada a=1 boʻlgani uchun Vieta formulalari quyidagicha koʻrinadi: x2+x1=-b va x2x1=p. Ildizlarning ma'lum qiymatlarini almashtirib, biz olamiz: b=1 va c=-12. Natijada tiklangan kvadratik qisqartirilgan tenglama quyidagicha bo'ladi: x2-12=-1x. Unga ildizlarning qiymatini almashtirishingiz va tenglik mavjudligiga ishonch hosil qilishingiz mumkin.
Vyeta teoremasining teskari qoʻllanilishi, yaʼni ildizlarni hisoblashtenglamaning ma'lum shakli, a, b va c kichik butun sonlarni tez (intuitiv) yechim topish imkonini beradi.
