Ba'zi matematik muammolar kvadrat ildizni hisoblash qobiliyatini talab qiladi. Bu masalalarga ikkinchi tartibli tenglamalarni yechish kiradi. Ushbu maqolada biz kvadrat ildizlarni hisoblashning samarali usulini taqdim etamiz va undan kvadrat tenglama ildizlari uchun formulalar bilan ishlashda foydalanamiz.
Kvadrat ildiz nima?
Matematikada bu tushuncha √ belgisiga mos keladi. Tarixiy ma'lumotlarga ko'ra, u birinchi marta 16-asrning birinchi yarmida Germaniyada qo'llanila boshlandi (Kristof Rudolfning algebra bo'yicha birinchi nemis asari). Olimlarning fikriga ko'ra, bu belgi o'zgartirilgan lotin harfi r (radix lotincha "ildiz" degan ma'noni anglatadi).
Har qanday sonning ildizi shunday qiymatga teng, uning kvadrati ildiz ifodasiga mos keladi. Matematika tilida bu ta'rif quyidagicha ko'rinadi: √x=y, agar y2=x.
Ijobiy sonning ildizi (x > 0) hammusbat son (y > 0), lekin ildiz manfiy sondan (x < 0) olingan boʻlsa, uning natijasi allaqachon murakkab son boʻladi, jumladan, i.
Mana ikkita oddiy misol:
√9=3, chunki 32 =9; √(-9)=3i, chunki i2=-1.
Kvadrat ildizlarni topish uchun Heronning iterativ formulasi
Yuqoridagi misollar juda oddiy va ulardagi ildizlarni hisoblash qiyin emas. Tabiiy sonning kvadrati sifatida ifodalanishi mumkin bo'lmagan har qanday qiymatning ildiz qiymatlarini topishda allaqachon qiyinchiliklar paydo bo'la boshlaydi, masalan, √10, √11, √12, √13, amalda buni hisobga olmaganda. butun son bo'lmagan raqamlarning ildizlarini topish uchun zarur: masalan √(12, 15), √(8, 5) va hokazo.
Yuqoridagi barcha holatlarda kvadrat ildizni hisoblashning maxsus usulidan foydalanish kerak. Hozirgi vaqtda bunday usullarning bir nechtasi ma'lum: masalan, Teylor seriyasida kengaytirish, ustunga bo'linish va boshqalar. Ma'lum bo'lgan usullardan, ehtimol, eng sodda va eng samaralisi Heronning iterativ formulasidan foydalanish bo'lib, u Kvadrat ildizlarni aniqlashning Bobil usuli sifatida ham tanilgan (qadimgi bobilliklar o'zlarining amaliy hisob-kitoblarida undan foydalanganliklari haqida dalillar mavjud).
√x qiymatini aniqlash zarur bo'lsin. Kvadrat ildizni topish formulasi quyidagicha:
an+1=1/2(a+x/a), bu erda limn->∞(a)=> x.
Ushbu matematik yozuvni deshifr qiling. √x ni hisoblash uchun siz a0 raqamini olishingiz kerak (bu ixtiyoriy boʻlishi mumkin, lekin tez natijaga erishish uchun uni shunday tanlashingiz kerak (a0)) 2 imkon qadar x ga yaqin edi, keyin uni belgilangan kvadrat ildiz formulasiga almashtiring va yangi a1 raqamini oling. Istalgan qiymatga yaqinroq bo'ling. ifodaga 1 ni qo'yish va 2 olish kerak. Ushbu protsedura kerakli aniqlik olinmaguncha takrorlanishi kerak.
Geronning takrorlanuvchi formulasini qoʻllashga misol
Ma'lum bir raqamning kvadrat ildizini olish uchun yuqorida tavsiflangan algoritm ko'pchilik uchun juda murakkab va chalkash tuyulishi mumkin, lekin aslida hamma narsa ancha sodda bo'lib chiqadi, chunki bu formula juda tez birlashadi (ayniqsa, agar omadli raqam bo'lsa a0 tanlangan.
Oddiy misol keltiraylik: √11 ni hisoblashimiz kerak. Biz 0=3ni tanlaymiz, chunki 32=9, bu 42 dan 11 ga yaqinroq=16. Formulani almashtirsak, biz quyidagilarga erishamiz:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Hisob-kitoblarni davom ettirishning ma'nosi yo'q, chunki biz a2 va a3 faqat 5-o'nli kasrda farq qila boshlaganini aniqladik. joy. Shunday qilib, formulani faqat 2 marta qo'llash kifoya edi√11 dan 0,0001 gacha hisoblang.
Hozirda ildizlarni hisoblash uchun kalkulyatorlar va kompyuterlar keng qo'llaniladi, ammo ularning aniq qiymatini qo'lda hisoblash imkoniyatiga ega bo'lish uchun belgilangan formulani eslab qolish foydalidir.
Ikkinchi tartibli tenglamalar
Kvadrat ildiz nima ekanligini tushunish va uni hisoblash qobiliyati kvadrat tenglamalarni yechishda ishlatiladi. Bu tenglamalar bitta noma'lum tenglik bo'lib, ularning umumiy shakli quyidagi rasmda ko'rsatilgan.
Bu erda c, b va a ba'zi raqamlar va a nolga teng bo'lmasligi kerak va c va b qiymatlari nol bilan birga butunlay ixtiyoriy bo'lishi mumkin.
Rasmda ko'rsatilgan tenglikni qanoatlantiradigan x ning har qanday qiymatlari uning ildizlari deb ataladi (bu tushunchani kvadrat ildiz √ bilan aralashtirib yubormaslik kerak). Ko'rib chiqilayotgan tenglama 2-tartibga ega bo'lgani uchun (x2), uning ildizlari uchun ikkitadan ortiq raqam bo'lishi mumkin emas. Keling, ushbu ildizlarni qanday topish mumkinligini maqolada ko'rib chiqamiz.
Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish (formula)
Ko'rib chiqilayotgan tenglik turini yechishning bu usuli universal yoki diskriminant orqali usul deb ham ataladi. U har qanday kvadrat tenglamalarga qo'llanilishi mumkin. Kvadrat tenglamaning diskriminanti va ildizlari formulasi quyidagicha:
Bu ildizlar tenglamaning uchta koeffitsientining har birining qiymatiga bog'liqligini ko'rsatadi. Bundan tashqari, hisoblashx1 hisobdan x2 faqat kvadrat ildiz oldidagi belgi bilan farq qiladi. b2 - 4ac ga teng bo'lgan radikal ifoda ko'rib chiqilayotgan tenglikning diskriminantidan boshqa narsa emas. Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidagi diskriminant muhim rol o'ynaydi, chunki u yechimlar soni va turini aniqlaydi. Demak, agar u nolga teng bo'lsa, u holda faqat bitta yechim bo'ladi, agar u ijobiy bo'lsa, tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega, nihoyat, salbiy diskriminant ikkita murakkab ildizga olib keladi x1 va x 2.
Vyeta teoremasi yoki ikkinchi tartibli tenglamalar ildizlarining ayrim xossalari
XVI asr oxirida zamonaviy algebra asoschilaridan biri fransuz Fransua Viet ikkinchi tartibli tenglamalarni o’rganib, uning ildizlari xossalarini olishga muvaffaq bo’ldi. Matematik jihatdan ularni quyidagicha yozish mumkin:
x1 + x2=-b / a va x1 x 2=c / a.
Ikkala tenglikni ham har kim osonlik bilan olishi mumkin, buning uchun faqat diskriminant bilan formula orqali olingan ildizlar bilan tegishli matematik amallarni bajarish kerak.
Bu ikki ifodaning birikmasini haqli ravishda kvadrat tenglama ildizlarining ikkinchi formulasi deb atash mumkin, bu esa diskriminantdan foydalanmasdan uning yechimlarini taxmin qilish imkonini beradi. Shuni ta'kidlash kerakki, har ikkala ibora har doim ham to'g'ri bo'lsa-da, faqat uni faktorlarga ajratish mumkin bo'lsa, ulardan tenglamani echishda foydalanish qulay.
Olingan bilimlarni mustahkamlash vazifasi
Maqolada muhokama qilingan barcha usullarni namoyish etadigan matematik muammoni hal qilaylik. Muammoning shartlari quyidagicha: ko'paytmasi -13 va yig'indisi 4 bo'lgan ikkita raqamni topishingiz kerak.
Bu shart darhol Vyeta teoremasini eslatadi, kvadrat ildizlar yig'indisi va ularning mahsuloti uchun formulalarni qo'llagan holda, biz yozamiz:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
A=1 deb faraz qilsak, b=-4 va c=-13. Bu koeffitsientlar bizga ikkinchi tartibli tenglama yozish imkonini beradi:
x2 - 4x - 13=0.
Diskriminant bilan formuladan foydalaning, biz quyidagi ildizlarni olamiz:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Ya'ni vazifa √68 sonini topishga qisqartirildi. E'tibor bering, 68=417, keyin kvadrat ildiz xususiyatidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz: √68=2√17.
Endi koʻrib chiqilgan kvadrat ildiz formulasidan foydalanamiz: a0=4, keyin:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
A3 ni hisoblashning hojati yo'q, chunki topilgan qiymatlar atigi 0,02 ga farq qiladi. Shunday qilib, √68=8,246. Uni x formulasiga almashtirish 1, 2, biz olamiz:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 va x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Ko'rib turganingizdek, topilgan raqamlarning yig'indisi haqiqatda 4 ga teng, lekin ularning mahsulotini topsangiz, u -12 ga teng bo'ladi,999, bu muammoning shartini 0,001 aniqlik bilan qondiradi.
