Arifmetik kvadrat ildiz va uning xossalari

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2023-12-17 05:45

Biz hammamiz maktabda algebra darsida arifmetik kvadrat ildizlarni o'rganganmiz. Shunday bo'ladiki, agar bilim yangilanmasa, u tezda unutiladi, xuddi ildizlar bilan. Ushbu maqola ushbu sohadagi bilimlarini yangilamoqchi bo'lgan sakkizinchi sinf o'quvchilari va boshqa maktab o'quvchilari uchun foydali bo'ladi, chunki biz 9, 10 va 11-sinflarda ildizlar bilan ishlaymiz.

Ildiz va daraja tarixi

Qadim zamonlarda ham, xususan, qadimgi Misrda ham odamlar raqamlar ustida amallarni bajarish uchun darajaga muhtoj edilar. Bunday kontseptsiya bo'lmaganida, misrliklar bir xil sonning mahsulotini yigirma marta yozib olishdi. Ammo tez orada muammoning yechimi ixtiro qilindi - uning ustidagi yuqori o'ng burchakda raqamni o'ziga necha marta ko'paytirish kerakligi yozila boshlandi va bu yozuv shakli bugungi kungacha saqlanib qolgan.

Va kvadrat ildiz tarixi taxminan 500 yil oldin boshlangan. U turli yo'llar bilan belgilangan va faqat XVII asrda Rene Dekart biz hozirgacha foydalanayotgan bunday belgini kiritgan.

Kvadrat ildiz nima

Keling, kvadrat ildiz nima ekanligini tushuntirishdan boshlaylik. Ayrim c sonining kvadrat ildizi manfiy bo'lmagan son bo'lib, kvadrati bo'lganda c ga teng bo'ladi. Bu holda c noldan katta yoki teng.

Raqamni ildiz ostiga keltirish uchun uni kvadratga aylantiramiz va ustiga ildiz belgisini qo'yamiz:

32=9, 3=√9

Shuningdek, biz manfiy sonning kvadrat ildizining qiymatini ham ololmaymiz, chunki kvadratdagi istalgan son musbat, ya'ni:

c² ≧ 0, agar √c manfiy son bo'lsa, u holda c^{2 < 0 - qoidaga zid.}

Kvadrat ildizlarni tez hisoblash uchun sonlar kvadratlari jadvalini bilish kerak.

Xususiyatlar

Kvadrat ildizning algebraik xususiyatlarini ko'rib chiqamiz.

1) Mahsulotning kvadrat ildizini olish uchun har bir omilning ildizini olish kerak. Ya'ni, uni omillar ildizlarining mahsuloti sifatida yozish mumkin:

√ac=√a × √c, masalan:

√36=√4 × √9

2) Kasrdan ildiz ayirishda pay va maxrajdan alohida ajratib olish kerak, ya'ni ularni ildizlarning bo'lagi sifatida yozish kerak.

3) Raqamning kvadrat ildizini olish orqali olingan qiymat har doim bu sonning moduliga teng, chunki modul faqat ijobiy bo'lishi mumkin:

√s2=∣s∣, ∣s∣ > 0.

4) Ildizni har qanday kuchga koʻtarish uchun biz unga koʻtaramizradikal ifoda:

(√s)⁴=√s^{4, masalan:}

(√2)⁶ =√2^6=√64=8

5) c ning arifmetik ildizining kvadrati shu sonning oʻziga teng:

(√s)2=s.

Irratsional sonlarning ildizlari

O'n oltining ildizi oson deylik, lekin 7, 10, 11 kabi raqamlarning ildizini qanday olish mumkin?

Ildizi cheksiz davriy bo'lmagan kasr bo'lgan songa irratsional deyiladi. Biz undan ildizni o'zimiz chiqara olmaymiz. Biz uni faqat boshqa raqamlar bilan solishtirishimiz mumkin. Masalan, 5 ning ildizini oling va uni √4 va √9 bilan solishtiring. Ko'rinib turibdiki, √4 < √5 < √9, keyin 2 < √5 < 3. Bu shuni anglatadiki, beshning ildizining qiymati ikki va uch orasida bo'ladi, lekin ular orasida o'nli kasrlar juda ko'p va har birini tanlash ildizni topishning shubhali usuli.

Bu amalni kalkulyatorda bajarishingiz mumkin - bu eng oson va tezkor usul, ammo 8-sinfda sizdan hech qachon arifmetik kvadrat ildizdan irratsional sonlarni chiqarish talab etilmaydi. Siz faqat ikkita ildiz va uchta ildizning taxminiy qiymatlarini eslab qolishingiz kerak:

√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.

Misollar

Endi kvadrat ildizning xossalariga asoslanib, biz bir nechta misollarni yechamiz:

1) √17² - 8²

Kvadratlar farqi formulasini eslang:

√(17-8) (17+8)=√9 ×25

Kvadrat arifmetik ildizning xususiyatini bilamiz - mahsulotdan ildizni ajratib olish uchun uni har bir omildan ajratib olish kerak:

√9 × √25=3 × 5=15

2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36

Ildizning boshqa xususiyatini qo'llang - sonning arifmetik ildizining kvadrati shu raqamning o'ziga teng:

2 × 3 + 6=12

Muhim! Ko'pincha, ishlashni va arifmetik kvadrat ildizlar bilan misollarni echishni boshlaganda, talabalar quyidagi xatoga yo'l qo'yishadi:

√12 + 3=√12 + √3 - buni qilolmaysiz!

Biz har bir atamaning ildizini ololmaymiz. Bunday qoida yo'q, lekin u har bir omilning ildizini olish bilan aralashtiriladi. Agar bizda bu yozuv bo'lsa:

√12 × 3, u holda √12 × 3=√12 × √3 yozish adolatli bo'lardi.

Va shuning uchun biz faqat yozishimiz mumkin:

√12 + 3=√15