Materiyaning gaz agregat holatining xossalarini o'rganish zamonaviy fizikaning muhim yo'nalishlaridan biridir. Gazlarni mikroskopik miqyosda hisobga olsak, tizimning barcha makroskopik parametrlarini olish mumkin. Ushbu maqola gazlarning molekulyar kinetik nazariyasining muhim masalasini ochib beradi: molekulalarning tezliklar bo'yicha Maksvell taqsimoti nima.
Tarixiy ma'lumot
Gazning mikroskopik harakatlanuvchi zarralar tizimi sifatidagi g'oyasi qadimgi Yunonistonda paydo bo'lgan. Ilm-fanni rivojlantirish uchun 1700 yildan ortiq vaqt kerak bo'ldi.
Gazning zamonaviy molekulyar-kinetik nazariyasi (MKT) asoschisi Daniil Bernulli haqida o'ylash adolatli. 1738 yilda "Gidrodinamika" nomli asarini nashr ettirdi. Unda Bernulli MKTning bugungi kungacha qo'llanilgan g'oyalarini bayon qildi. Demak, olim gazlar barcha yo‘nalishlarda tasodifiy harakatlanuvchi zarrachalardan tashkil topgan deb hisoblagan. Ko'p to'qnashuvlartomir devorlari bo'lgan zarralar gazlarda bosim mavjudligi sifatida qabul qilinadi. Zarrachalar tezligi tizimning harorati bilan chambarchas bog'liq. Ilmiy hamjamiyat Bernullining dadil g‘oyalarini qabul qilmadi, chunki energiyaning saqlanish qonuni hali o‘rnatilmagan edi.
Keyinchalik koʻplab olimlar gazlarning kinetik modelini yaratish bilan shugʻullandilar. Ular orasida 1857 yilda oddiy gaz modelini yaratgan Rudolf Klausiusni ta'kidlash kerak. Unda olim molekulalarda translatsion, aylanish va tebranish erkinlik darajalarining mavjudligiga alohida e'tibor bergan.
1859 yilda Klauziusning ishini o'rganar ekan, Jeyms Maksvell molekulyar tezliklar bo'yicha Maksvell taqsimotini ishlab chiqdi. Aslida, Maksvell MKT g'oyalarini tasdiqladi va ularni matematik apparat bilan qo'llab-quvvatladi. Keyinchalik, Lyudvig Boltsmann (1871) Maksvell taqsimotining xulosalarini umumlashtirdi. U molekulalarning tezliklar va energiyalar bo'yicha umumiy statistik taqsimotini ilgari surdi. Hozirda u Maksvell-Boltzman taqsimoti sifatida tanilgan.
Ideal gaz. ILC ning asosiy postulatlari
Maksvell tarqatish funksiyasi nima ekanligini tushunish uchun ushbu funksiya qoʻllanilishi mumkin boʻlgan tizimlarni aniq tushunishingiz kerak. Biz ideal gaz haqida gapiramiz. Fizikada bu tushuncha potentsial energiyaga ega bo'lmagan amalda o'lchamsiz zarrachalardan tashkil topgan suyuq modda sifatida tushuniladi. Bu zarralar yuqori tezlikda harakat qiladi, shuning uchun ularning harakati to'liq kinetik energiya bilan belgilanadi. Bundan tashqari, zarralar orasidagi masofalar juda kattaularning o'lchamlari bilan solishtirganda, ikkinchisiga e'tibor berilmaydi.
Ideal gazlar MKTda tasvirlangan. Uning asosiy postulatlari quyidagilardan iborat:
- gaz tizimlari juda ko'p miqdordagi erkin zarralardan tashkil topgan;
- zarralar toʻgʻri traektoriyalar boʻylab turli yoʻnalishlarda turli tezliklarda tasodifiy harakatlanadi;
- zarrachalar tomir devorlari bilan elastik tarzda to'qnashadi (zarrachalar kichik o'lchamlari tufayli bir-biri bilan to'qnashish ehtimoli past);
- Tizimning harorati yagona zarrachalarning oʻrtacha kinetik energiyasi bilan aniqlanadi, agar tizimda termodinamik muvozanat oʻrnatilgan boʻlsa, oʻz vaqtida saqlanib qoladi.
Maksvellning taqsimot qonuni
Agar odamda bitta gaz molekulasining tezligini o'lchash mumkin bo'lgan asbob bo'lsa, unda tegishli tajriba o'tkazgandan so'ng, u hayratda qoladi. Tajriba shuni ko'rsatadiki, har qanday gaz tizimining har bir molekulasi butunlay ixtiyoriy tezlikda harakat qiladi. Bunday holda, atrof-muhit bilan termal muvozanatdagi bitta tizim doirasida juda sekin va juda tez molekulalar aniqlanadi.
Maksvellning gaz molekulalarining tezlikni taqsimlash qonuni oʻrganilayotgan tizimda v tezligi berilgan zarrachalarni aniqlash ehtimolini aniqlash imkonini beruvchi vositadir. Tegishli funksiya quyidagicha ko'rinadi:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
Ushbu ifodada m -zarracha (molekula) massasi, k - Boltsman doimiysi, T - mutlaq harorat. Shunday qilib, agar zarrachalarning kimyoviy tabiati (m ning qiymati) ma'lum bo'lsa, f (v) funktsiyasi mutlaq harorat bilan yagona aniqlanadi. f(v) funksiyaga ehtimollik zichligi deyiladi. Agar undan qandaydir tezlik chegarasi (v; v+dv) uchun integralni olsak, u holda belgilangan oraliqda tezlikka ega bo'lgan Ni zarrachalar sonini olamiz. Shunga ko‘ra, 0 dan ∞ gacha bo‘lgan tezlik chegaralari uchun f(v) ehtimollik zichligining integralini olsak, sistemadagi N molekulalarning umumiy sonini olamiz.
Ehtimollik zichligining grafik tasviri f(v)
Ehtimollik zichligi funksiyasi biroz murakkab matematik shaklga ega, shuning uchun berilgan haroratda uning harakatini ifodalash oson emas. Agar siz uni ikki o'lchovli grafikda tasvirlasangiz, bu muammoni hal qilish mumkin. Maksvell taqsimot grafigining sxematik ko'rinishi quyida rasmda ko'rsatilgan.
Biz u noldan boshlanganini ko'ramiz, chunki molekulalarning v tezligi manfiy qiymatlarga ega bo'la olmaydi. Grafik yuqori tezliklar mintaqasida bir joyda tugaydi va silliq ravishda nolga tushadi (f(∞)->0). Quyidagi xususiyat ham hayratlanarli: silliq egri chiziq assimetrik, kichik tezlikda u keskin pasayadi.
Ehtimollik zichligi f(v) funksiyasi xatti-harakatining muhim xususiyati unda bir talaffuz qilingan maksimalning mavjudligidir. Funktsiyaning jismoniy ma'nosiga ko'ra, bu maksimal gazdagi molekulalarning tezligining eng ehtimol qiymatiga to'g'ri keladi.tizim.
f(v)
funksiyasi uchun muhim tezliklar
Ehtimollik zichligi funksiyasi f(v) va uning grafik tasviri tezlikning uchta muhim turini aniqlash imkonini beradi.
Tezlikning birinchi turi aniq va yuqorida aytib oʻtilgan boʻlishi mumkin boʻlgan tezlik v1. Grafikda uning qiymati f(v) funksiyaning maksimaliga mos keladi. Aynan shu tezlik va unga yaqin bo'lgan qiymatlar tizimning ko'p zarralariga ega bo'ladi. Uni hisoblash qiyin emas, buning uchun f(v) funksiya tezligiga nisbatan birinchi hosilani olish va uni nolga tenglashtirish kifoya. Ushbu matematik operatsiyalar natijasida biz yakuniy natijaga erishamiz:
v1=√(2RT/M).
Bu erda R - universal gaz doimiysi, M - molekulalarning molyar massasi.
Tezlikning ikkinchi turi uning barcha N zarralar uchun oʻrtacha qiymati. Uni v2 deb belgilaymiz. Uni vf(v) funksiyani barcha tezliklarga integrallash orqali hisoblash mumkin. Belgilangan integratsiya natijasi quyidagi formula bo'ladi:
v2=√(8RT/(piM)).
Nisob 8/pi>2 boʻlgani uchun oʻrtacha tezlik har doim eng ehtimoldan bir oz yuqoriroq.
Fizika haqida ozgina ma'lumotga ega bo'lgan har bir kishi molekulalarning o'rtacha tezligi v2 gaz tizimida katta ahamiyatga ega bo'lishi kerakligini tushunadi. Biroq, bu noto'g'ri taxmin. RMS tezligi muhimroqdir. Uni belgilaylikv3.
Ta'rifga ko'ra, o'rtacha kvadrat tezlik - bu barcha zarrachalarning alohida tezliklarining kvadratlari yig'indisi, bu zarralar soniga bo'linib, kvadrat ildiz sifatida olinadi. Agar v2f(v) funksiyaning barcha tezliklari ustidan integralni aniqlasak, uni Maksvell taqsimoti uchun hisoblash mumkin. O'rtacha kvadratik tezlik formulasi quyidagi shaklda bo'ladi:
v3=√(3RT/M).
Tenglik shuni koʻrsatadiki, bu tezlik har qanday gaz tizimi uchun v2 va v1 dan kattaroqdir.
Shunday qilib, Maksvell taqsimot grafigida koʻrib chiqilgan tezliklarning barcha turlari ekstremumda yoki uning oʻng tomonida yotadi.
v3-ning ahamiyati
Yuqorida ta'kidlanganidek, gaz tizimining fizik jarayonlari va xususiyatlarini tushunish uchun oddiy o'rtacha tezlik v2 dan ko'ra o'rtacha kvadrat tezlik muhimroqdir. Bu to'g'ri, chunki ideal gazning kinetik energiyasi v3 ga bog'liq, v2 ga emas.
Agar monoatomik ideal gazni hisobga olsak, u uchun quyidagi ifoda to'g'ri bo'ladi:
mv32/2=3/2kT.
Bu yerda tenglamaning har bir qismi m massali bitta zarraning kinetik energiyasini ifodalaydi. Nima uchun iborada o'rtacha tezlik v2 emas, balki aynan v3 qiymati mavjud? Juda oddiy: har bir zarrachaning kinetik energiyasini aniqlashda uning individual tezligi v kvadratga olinadi, keyin esa barcha tezliklar.qo'shiladi va zarrachalar soniga bo'linadi N. Ya'ni kinetik energiyani aniqlash tartibining o'zi o'rtacha kvadrat tezlikning qiymatiga olib keladi.
f(v) funktsiyasining haroratga bog'liqligi
Biz yuqorida molekulyar tezliklarning ehtimollik zichligi faqat haroratga bog'liqligini aniqladik. T ni oshirsa yoki kamaytirsa, funktsiya qanday o'zgaradi? Quyidagi diagramma bu savolga javob berishga yordam beradi.
Ko'rinib turibdiki, yopiq tizimning isishi cho'qqining bulg'anishiga va uning yuqori tezlikka siljishiga olib keladi. Haroratning oshishi barcha turdagi tezliklarning oshishiga va ularning har birining ehtimollik zichligining pasayishiga olib keladi. Yopiq tizimda N zarrachalar sonining saqlanishi tufayli tepalik qiymati kamayadi.
Keyin, olingan nazariy materialni mustahkamlash uchun bir nechta muammolarni hal qilamiz.
Havodagi azot molekulalari bilan muammo
Tezliklarni hisoblash kerak v1, v2 va v3 havo azoti uchun 300 K haroratda (taxminan 27 oC).
N2 azotning molyar massasi 28 g/mol. Yuqoridagi formulalar yordamida biz quyidagilarni olamiz:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Kislorod baki muammosi
Tsilindrdagi kislorod ma'lum bir haroratda edi T1. Keyin shar sovuqroq xonaga joylashtirildi. Tizim termodinamik muvozanatga kelganda kislorod molekulalari uchun Maksvell tezligini taqsimlash sxemasi qanday o'zgaradi?
Nazariyani eslab, muammoning savoliga shunday javob berishimiz mumkin: molekulalar tezligining barcha turlarining qiymatlari kamayadi, f(v) funktsiyaning cho'qqisi chapga siljiydi, torroq va balandroq bo'ling.
