Tasodifiy miqdorlar va ularning o’zgaruvchilari taqsimot funksiyalarini topish uchun ushbu bilim sohasining barcha xususiyatlarini o’rganish kerak. Ko'rib chiqilayotgan qiymatlarni topishning bir necha xil usullari mavjud, jumladan, o'zgaruvchini o'zgartirish va momentni yaratish. Tarqatish - bu dispersiya, variatsiya kabi elementlarga asoslangan tushuncha. Biroq, ular faqat tarqalish amplitudasi darajasini tavsiflaydi.
Tasodifiy o'zgaruvchilarning eng muhim funktsiyalari o'zaro bog'liq va mustaqil va teng taqsimlangan funktsiyalardir. Misol uchun, agar X1 - erkak populyatsiyadan tasodifiy tanlangan shaxsning vazni, X2 - boshqasining vazni, … va Xn - erkak populyatsiyadan yana bir kishining vazni bo'lsa, biz tasodifiy funktsiyani bilishimiz kerak. X taqsimlanadi. Bunday holda, markaziy chegara teoremasi deb ataladigan klassik teorema qo'llaniladi. Bu katta n uchun funksiya standart taqsimotlarga amal qilishini koʻrsatish imkonini beradi.
Bir tasodifiy oʻzgaruvchining funksiyalari
Markaziy chegara teoremasi binomial va Puasson kabi koʻrib chiqilayotgan diskret qiymatlarni taxmin qilish uchun moʻljallangan. Tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimlash funktsiyalari, birinchi navbatda, bitta o'zgaruvchining oddiy qiymatlari bo'yicha ko'rib chiqiladi. Misol uchun, agar X o'z ehtimollik taqsimotiga ega bo'lgan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa. Bunday holda, biz Y ning zichlik funktsiyasini ikki xil yondashuv, ya'ni taqsimlash funktsiyasi usuli va o'zgaruvchining o'zgarishi yordamida qanday topishni o'rganamiz. Birinchidan, faqat birma-bir qiymatlar hisobga olinadi. Keyin uning ehtimolini topish uchun o'zgaruvchini o'zgartirish texnikasini o'zgartirishingiz kerak. Nihoyat, teskari kümülatif taqsimot funksiyasi ma’lum ketma-ketliklarga amal qiluvchi tasodifiy sonlarni modellashtirishga qanday yordam berishi mumkinligini bilib olishimiz kerak.
Ko'rib chiqilgan qiymatlarni taqsimlash usuli
Tasodifiy o'zgaruvchining zichligini topish uchun uning ehtimollik taqsimoti funksiyasi usuli qo'llaniladi. Ushbu usuldan foydalanganda umumiy qiymat hisoblanadi. Keyin, uni farqlash orqali siz ehtimollik zichligini olishingiz mumkin. Endi biz tarqatish funksiyasi usuliga egamiz, biz yana bir nechta misollarni ko'rib chiqishimiz mumkin. X ma'lum bir ehtimollik zichligiga ega uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin.
X2 ning ehtimollik zichligi funksiyasi nima? Agar siz funktsiyani (yuqori va o'ng) y \u003d x2 ga qarasangiz yoki grafigini tuzsangiz, u ortib borayotgan X va 0 <y<1 ekanligini ta'kidlashingiz mumkin. Endi Y ni topish uchun ko'rib chiqilgan usuldan foydalanish kerak. Birinchidan, yig'ma taqsimot funksiyasi topiladi, ehtimollik zichligini olish uchun faqat farqlash kerak. Shunday qilib, biz olamiz: 0<y<1. Y ni X ning ortib boruvchi funksiyasi bo‘lganda Y ni topish uchun taqsimlash usuli muvaffaqiyatli amalga oshirildi. Aytgancha, f(y) y dan 1 ga integrasiyalanadi.
Oxirgi misolda kümülatif funksiyalar va ehtimollik zichligini X yoki Y bilan indekslash, ular qaysi tasodifiy oʻzgaruvchiga tegishli ekanligini koʻrsatish uchun juda ehtiyotkorlik bilan foydalanilgan. Masalan, Y ning kümülatif taqsimot funksiyasini topishda biz X ni oldik. Agar siz X tasodifiy o‘zgaruvchini va uning zichligini topishingiz kerak bo‘lsa, uni farqlash kifoya.
Oʻzgaruvchan oʻzgartirish texnikasi
X umumiy maxraj f (x) bilan taqsimot funksiyasi tomonidan berilgan uzluksiz tasodifiy oʻzgarmas boʻlsin. Bunday holda, agar siz y ning qiymatini X=v (Y) ga qo'ysangiz, u holda siz x qiymatini olasiz, masalan, v (y). Endi uzluksiz tasodifiy miqdor Y ning taqsimot funksiyasini olishimiz kerak. Bunda birinchi va ikkinchi tenglik yig‘indisi Y ta’rifidan kelib chiqadi. Uchinchi tenglik o‘rinli, chunki funksiyaning u (X) ≦ y bo‘lgan qismi X ≦ v (Y) ekanligi ham to'g'ri. Va oxirgisi doimiy X tasodifiy o'zgaruvchidagi ehtimollikni aniqlash uchun bajariladi. Endi Y ehtimollik zichligini olish uchun FY (y) ning hosilasini, Y ning yig'indisi taqsimot funksiyasini olishimiz kerak.
Kamaytirish funksiyasi uchun umumlashtirish
X uzluksiz tasodifiy oʻzgaruvchi boʻlsin, umumiy f (x) c1<x<c2 ustida aniqlangan. Va Y=u (X) teskari X=v (Y) bilan X ning kamayuvchi funktsiyasi bo'lsin. Funktsiya uzluksiz va kamayuvchi bo'lgani uchun X=v (Y) teskari funksiya mavjud.
Bu muammoni hal qilish uchun siz miqdoriy ma'lumotlarni to'plashingiz va empirik kümülatif taqsimot funksiyasidan foydalanishingiz mumkin. Ushbu ma'lumot va unga murojaat qilish uchun siz vositalar namunalari, standart og'ishlar, media ma'lumotlari va hokazolarni birlashtirishingiz kerak.
Shunga oʻxshab, hatto juda oddiy ehtimolli model ham juda koʻp natijalarga ega boʻlishi mumkin. Misol uchun, agar siz tangani 332 marta aylantirsangiz. Keyin flips natijasida olingan natijalar soni google (10100) dan ko'proq - bu raqam, lekin ma'lum koinotdagi elementar zarrachalardan kamida 100 kvintillion marta yuqori. Har bir mumkin bo'lgan natijaga javob beradigan tahlilga qiziqmaydi. Boshlar soni yoki dumlarning eng uzun zarbasi kabi oddiyroq tushuncha kerak bo'ladi. Qiziqarli masalalarga e'tibor qaratish uchun aniq natija qabul qilinadi. Bu holatda ta'rif quyidagicha bo'ladi: tasodifiy o'zgaruvchi - ehtimollik fazosiga ega haqiqiy funksiya.
Tasodifiy o'zgaruvchining S diapazoni ba'zan holat fazosi deb ataladi. Shunday qilib, agar X ko'rib chiqilayotgan qiymat bo'lsa, u holda N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc va hokazo. Ularning oxirgisi, X ni eng yaqin butun songa yaxlitlash, qavat funksiyasi deb ataladi.
Tarqatish funksiyalari
X tasodifiy o'zgaruvchisi uchun qiziqishning taqsimot funksiyasi aniqlangandan so'ng, odatda savol tug'iladi: "X ning B qiymatlarining ba'zi bir kichik to'plamiga tushishi ehtimoli qanday?". Masalan, B={toq raqamlar}, B={1 dan kattaroq} yoki B={2 va 7 orasida} X bo'lgan natijalarni ko'rsatish uchun qiymattasodifiy o'zgaruvchi, A kichik to'plamida. Shunday qilib, yuqoridagi misolda siz hodisalarni quyidagicha tasvirlashingiz mumkin.
{X toq son}, {X 1 dan katta}={X> 1}, {X 2 va 7 orasida}={2 <X <7} B kichik toʻplami uchun yuqoridagi uchta variantga mos keladi. Tasodifiy miqdorlarning ko'p xossalari ma'lum bir X bilan bog'liq emas. Aksincha, ular X o'z qiymatlarini qanday taqsimlashiga bog'liq. Bu shunday ta'rifga olib keladi: x tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot funksiyasi yig'indisidir va miqdoriy kuzatishlar bilan aniqlanadi.
Tasodifiy oʻzgaruvchilar va tarqatish funksiyalari
Shunday qilib, siz x tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot funksiyasi intervalda qiymatlarni ayirish yo'li bilan hisoblashingiz mumkin. Oxirgi nuqtalarni kiritish yoki chiqarib tashlash haqida o‘ylab ko‘ring.
Tasodifiy oʻzgaruvchi chekli yoki sanab boʻladigan cheksiz holat fazosiga ega boʻlsa, uni diskret deb ataymiz. Shunday qilib, X - bu p ehtimollik bilan ortib boruvchi tanganing uchta mustaqil aylantirilishidagi boshlar soni. X uchun diskret tasodifiy FX ning kümülatif taqsimot funksiyasini topishimiz kerak. X uchta kartalar to'plamidagi tepaliklar soni bo'lsin. Keyin FX orqali Y=X3. FX 0 da boshlanadi, 1 da tugaydi va x qiymatlari oshgani sayin kamaymaydi. Diskret X tasodifiy o'zgaruvchining to'plangan FX taqsimot funksiyasi sakrashdan tashqari doimiydir. O'tish paytida FX uzluksiz bo'ladi. To'g'ri haqidagi bayonotni isbotlangtaqsimot funksiyasining ehtimollik xususiyatidan uzluksizligi ta'rifdan foydalanib mumkin. Bu shunday ko'rinadi: doimiy tasodifiy o'zgaruvchida differensiallanuvchi kumulyativ FX mavjud.
Bu qanday sodir boʻlishini koʻrsatish uchun misol keltirishimiz mumkin: birlik radiusi boʻlgan nishon. Taxminan. dart belgilangan maydonga teng ravishda taqsimlanadi. Ba'zilar uchun l> 0. Shunday qilib, uzluksiz tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalari silliq ortadi. FX tarqatish funksiyasi xususiyatlariga ega.
Bir kishi avtobus kelguncha avtobus bekatida kutadi. Kutish 20 daqiqaga yetganda, u rad etishga qaror qildi. Bu yerda T. uchun kumulyativ taqsimot funksiyasini topish kerak. Inson hali ham avtovokzalda bo'ladigan yoki ketmaydigan vaqt. Kumulyativ taqsimot funktsiyasi har bir tasodifiy o'zgaruvchi uchun aniqlanganiga qaramay. Shunga qaramay, boshqa xususiyatlar juda tez-tez ishlatiladi: diskret o'zgaruvchining massasi va tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish zichligi funktsiyasi. Odatda qiymat shu ikki qiymatdan biri orqali chiqariladi.
Ommaviy funksiyalar
Bu qiymatlar umumiy (ommaviy) xarakterga ega boʻlgan quyidagi xususiyatlar bilan koʻrib chiqiladi. Birinchisi, ehtimolliklarning salbiy emasligiga asoslanadi. Ikkinchisi kuzatuvdan kelib chiqadiki, barcha x=2S uchun toʻplam, X uchun holat fazosi X ning ehtimollik erkinligining boʻlimini tashkil qiladi. Misol: natijalari mustaqil boʻlgan tanga otish. Davom etishingiz mumkinboshning rulosini olmaguningizcha muayyan harakatlar. X birinchi boshning oldidagi dumlar sonini beradigan tasodifiy o'zgaruvchini belgilasin. Va p har qanday berilgan harakatdagi ehtimollikni bildiradi.
Demak, massa ehtimollik funksiyasi quyidagi xarakterli xususiyatlarga ega. Terminlar sonli ketma-ketlikni tashkil qilganligi uchun X geometrik tasodifiy miqdor deb ataladi. Geometrik sxema c, cr, cr2,.,,, crn summasi bor. Va shuning uchun sn ning n 1 kabi chegarasi bor. Bu holda cheksiz yig'indi chegara hisoblanadi.
Yuqoridagi massa funksiyasi nisbatga ega geometrik ketma-ketlikni hosil qiladi. Shuning uchun a va b natural sonlari. Tarqatish funksiyasidagi qiymatlar farqi massa funksiyasining qiymatiga teng.
Ko'rib chiqilayotgan zichlik qiymatlari ta'rifga ega: X FX taqsimoti lotinga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchidir. Z xFX (x)=fX (t) dt-1 ni qanoatlantiruvchi FX ehtimollik zichligi funksiyasi deyiladi. X esa uzluksiz tasodifiy miqdor deb ataladi. Hisoblashning asosiy teoremasida zichlik funksiyasi taqsimotning hosilasi hisoblanadi. Aniq integrallarni hisoblash orqali ehtimolliklarni hisoblashingiz mumkin.
Ma'lumotlar bir nechta kuzatuvlardan to'planganligi sababli, eksperimental protseduralarni modellashtirish uchun bir vaqtning o'zida bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilar hisobga olinishi kerak. Shunday qilib, ushbu qiymatlar to'plami va ularning X1 va X2 ikkita o'zgaruvchisi uchun birgalikda taqsimlanishi voqealarni ko'rishni anglatadi. Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun qo'shma ehtimollik massa funktsiyalari aniqlanadi. Uzluksizlar uchun fX1, X2 hisobga olinadi, bu erdaqo'shma ehtimollik zichligi bajarildi.
Mustaqil tasodifiy oʻzgaruvchilar
Ikki tasodifiy oʻzgaruvchi X1 va X2 mustaqil boʻladi, agar ular bilan bogʻliq ikkita hodisa bir xil boʻlsa. So'z bilan aytganda, {X1 2 B1} va {X2 2 B2} ikkita hodisaning bir vaqtning o'zida sodir bo'lish ehtimoli, y, yuqoridagi o'zgaruvchilarning ko'paytmasiga teng, ularning har biri alohida sodir bo'ladi. Mustaqil diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun chegaralovchi ion hajmining mahsuloti bo'lgan qo'shma ehtimollik massa funktsiyasi mavjud. Mustaqil bo'lgan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun qo'shma ehtimollik zichligi funktsiyasi chegaraviy zichlik qiymatlarining mahsulotidir. Nihoyat, n ta mustaqil kuzatishni x1, x2, ko'rib chiqamiz.,,, xn noma'lum zichlik yoki massa funksiyasidan kelib chiqadigan f. Masalan, avtobus kutish vaqtini tavsiflovchi eksponensial tasodifiy oʻzgaruvchi funksiyalaridagi nomaʼlum parametr.
Tasodifiy oʻzgaruvchilarga taqlid
Ushbu nazariy sohaning asosiy maqsadi statistik fanning asosli tamoyillari asosida xulosa chiqarish tartib-qoidalarini ishlab chiqish uchun zarur vositalarni taqdim etishdan iborat. Shunday qilib, dasturiy ta'minotdan foydalanishning juda muhim holatlaridan biri bu haqiqiy ma'lumotni taqlid qilish uchun psevdo-ma'lumotlarni yaratish qobiliyatidir. Bu tahlil usullarini haqiqiy ma'lumotlar bazalarida ishlatishdan oldin sinab ko'rish va takomillashtirish imkonini beradi. Bu orqali ma'lumotlarning xususiyatlarini o'rganish uchun talab qilinadimodellashtirish. Ko'p ishlatiladigan tasodifiy o'zgaruvchilar oilalari uchun R ularni yaratish uchun buyruqlar beradi. Boshqa holatlar uchun umumiy taqsimotga ega bo'lgan mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligini modellashtirish usullari kerak bo'ladi.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar va buyruq naqshlari. Namuna buyrug'i oddiy va tabaqalashtirilgan tasodifiy namunalarni yaratish uchun ishlatiladi. Natijada, agar x ketma-ketligi kiritilgan bo'lsa, namuna (x, 40) x dan 40 ta yozuvni tanlaydi, shunda 40 o'lchamdagi barcha tanlovlar bir xil ehtimolga ega bo'ladi. Bu almashtirishsiz olish uchun standart R buyrug'idan foydalanadi. Diskret tasodifiy o'zgaruvchilarni modellashtirish uchun ham foydalanish mumkin. Buning uchun x vektorida holat bo'shlig'ini va f massa funksiyasini berish kerak. O'zgartirish chaqiruvi=TRUE almashtirish bilan namuna olish sodir bo'lishini bildiradi. Keyin, umumiy massa funksiyasi f bo'lgan n ta mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar namunasini berish uchun namuna (x, n, almashtiring=TRUE, prob=f) ishlatiladi.
1 ifodalangan eng kichik qiymat va 4 eng kattasi ekanligi aniqlandi. Agar prob=f buyrug'i o'tkazib yuborilsa, namuna x vektoridagi qiymatlardan bir xilda tanlanadi. Simulyatsiyani ma'lumotlarni yaratgan massa funktsiyasiga nisbatan ikki barobarlik belgisiga qarab tekshirishingiz mumkin,==. Va x uchun barcha mumkin bo'lgan qiymatlarni oladigan kuzatuvlarni qayta hisoblash. Siz stol yasashingiz mumkin. Buni 1000 uchun takrorlang va simulyatsiyani mos keladigan massa funksiyasi bilan solishtiring.
Ehtimollik oʻzgarishi tasviri
Birinchiu1, u2, tasodifiy miqdorlarning bir hil taqsimot funksiyalarini simulyatsiya qilish.,,, un [0, 1] oraliqda. Raqamlarning taxminan 10% [0, 3, 0, 4] ichida bo'lishi kerak. Bu FX taqsimlash funksiyasi ko'rsatilgan tasodifiy o'zgaruvchi uchun [0, 28, 0, 38] oraliqdagi simulyatsiyalarning 10% ga to'g'ri keladi. Xuddi shunday, tasodifiy sonlarning taxminan 10% [0, 7, 0, 8] oralig'ida bo'lishi kerak. Bu FX taqsimot funktsiyasi bilan tasodifiy o'zgaruvchining [0, 96, 1, 51] oraliqdagi 10% simulyatsiyasiga to'g'ri keladi. X o'qidagi bu qiymatlarni FX dan teskarisini olish orqali olish mumkin. Agar X uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa, zichligi fX o'z sohasining hamma joyida musbat bo'lsa, u holda taqsimot funktsiyasi qat'iy ravishda ortib boradi. Bunday holda, FX kvant funktsiyasi deb nomlanuvchi teskari FX-1 funktsiyasiga ega. FX (x) u faqat qachon x FX-1 (u). Ehtimollik o'zgarishi tasodifiy o'zgarmaydigan U=FX (X) tahlilidan kelib chiqadi.
FX 0 dan 1 gacha diapazonga ega. U 0 dan past yoki 1 dan yuqori boʻlishi mumkin emas. U qiymatlari uchun 0 dan 1 gacha. Agar U ni simulyatsiya qilish mumkin boʻlsa, FX taqsimoti bilan tasodifiy oʻzgaruvchi boʻlishi kerak. kvant funksiyasi orqali simulyatsiya qilingan. U zichligi 1 oralig'ida o'zgarishini ko'rish uchun hosilani oling. U tasodifiy o'zgaruvchisi o'zining mumkin bo'lgan qiymatlari oralig'ida doimiy zichlikka ega bo'lganligi sababli, u [0, 1] oraliqda bir xil deyiladi. U R-da runif buyrug'i bilan modellashtirilgan. Identifikatsiya ehtimoliy transformatsiya deb ataladi. Bu qanday ishlashini dart taxtasi misolida ko'rishingiz mumkin. X 0 dan 1 gacha, funktsiyataqsimot u=FX (x)=x2 va demak, kvant funksiyasi x=FX-1 (u). Dart paneli markazidan masofani mustaqil kuzatishlarni modellashtirish va shu bilan U1, U2, bir xil tasodifiy o'zgaruvchilarni yaratish mumkin.,, Un. Tarqatish funktsiyasi va empirik funktsiya dart taxtasini taqsimlashning 100 ta simulyatsiyasiga asoslangan. Ko'rsatkichli tasodifiy o'zgaruvchi uchun, ehtimol u=FX (x)=1 - exp (- x) va shuning uchun x=- 1 ln (1 - u). Ba'zan mantiq ekvivalent bayonotlardan iborat. Bunday holda, siz argumentning ikki qismini birlashtirishingiz kerak. Kesishma identifikatori ba'zi qiymatlar o'rniga barcha 2 {S i i} S uchun o'xshash. Ci birlashmasi S holat fazosiga teng va har bir juft bir-birini istisno qiladi. Chunki Bi - uchta aksiomaga bo'linadi. Har bir tekshirish mos keladigan P ehtimoliga asoslanadi. Har qanday kichik to'plam uchun. Javob oraliq soʻnggi nuqtalar kiritilganligiga bogʻliq emasligiga ishonch hosil qilish uchun identifikatordan foydalanish.
Eksponensial funksiya va uning oʻzgaruvchilari
Barcha hodisalardagi har bir natija uchun, oxir-oqibat, ehtimollar uzluksizligining ikkinchi xususiyatidan foydalaniladi, bu aksiomatik hisoblanadi. Bu yerdagi tasodifiy miqdor funksiyasining taqsimlanish qonuni har birining o‘z yechimi va javobiga ega ekanligini ko‘rsatadi.
