Ehtimollar nazariyasi matematikaning maxsus bo`limi bo`lib, uni faqat oliy o`quv yurtlari talabalari o`rganadilar. Hisoblash va formulalarni yaxshi ko'rasizmi? Oddiy taqsimot, ansamblning entropiyasi, matematik kutish va diskret tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi bilan tanishish istiqbollaridan qo'rqmaysizmi? Shunda bu mavzu sizni juda qiziqtiradi. Keling, ushbu fan bo'limining eng muhim asosiy tushunchalari bilan tanishib chiqamiz.
Asosiylarni eslang
Ehtimollar nazariyasining eng oddiy tushunchalarini eslasangiz ham, maqolaning birinchi xatboshilarini e'tiborsiz qoldirmang. Gap shundaki, siz asoslarni aniq tushunmasangiz, quyida muhokama qilingan formulalar bilan ishlay olmaysiz.
Demak, tasodifiy hodisa, tajriba bor. Amalga oshirilgan harakatlar natijasida biz bir nechta natijalarni olishimiz mumkin - ulardan ba'zilari tez-tez uchraydi, boshqalari kamroq. Hodisa ehtimoli - bu bitta turdagi haqiqatda olingan natijalar sonining mumkin bo'lganlarning umumiy soniga nisbati. Faqatgina ushbu kontseptsiyaning klassik ta'rifini bilib, siz uzluksiz matematik kutish va dispersiyani o'rganishni boshlashingiz mumkin.tasodifiy oʻzgaruvchilar.
Oʻrtacha arifmetik
Maktabda ham matematika darslarida oʻrtacha arifmetik bilan ishlay boshlagansiz. Bu tushuncha ehtimollar nazariyasida keng qo'llaniladi va shuning uchun uni e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi. Ayni paytda biz uchun asosiysi shundaki, biz buni tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasi formulalarida uchratamiz.
Bizda raqamlar ketma-ketligi bor va o'rtacha arifmetikni topmoqchimiz. Bizdan talab qilinadigan narsa - mavjud bo'lgan barcha narsalarni jamlash va ketma-ketlikdagi elementlar soniga bo'lish. Bizda 1 dan 9 gacha raqamlar bo'lsin. Elementlarning yig'indisi 45 bo'ladi va biz bu qiymatni 9 ga bo'lamiz. Javob: - 5.
Dispersiya
Ilmiy nuqtai nazardan, dispersiya - olingan xususiyat qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatdan chetlanishining o'rtacha kvadrati. Biri bosh lotin harfi D bilan belgilanadi. Uni hisoblash uchun nima kerak? Ketma-ketlikning har bir elementi uchun mavjud son va arifmetik o'rtacha o'rtasidagi farqni hisoblab chiqamiz va uning kvadratiga aylantiramiz. Biz ko'rib chiqayotgan voqea uchun qancha natijalar bo'lishi mumkin bo'lsa, shuncha ko'p qiymatlar bo'ladi. Keyinchalik, biz olingan hamma narsani umumlashtiramiz va ketma-ketlikdagi elementlar soniga bo'linadi. Agar bizda beshta natija bo‘lsa, beshga bo‘ling.
Dispersiya, shuningdek, muammolarni hal qilishda uni qo'llash uchun eslab qolishingiz kerak bo'lgan xususiyatlarga ega. Misol uchun, agar tasodifiy miqdor X marta ko'paytirilsa, dispersiya kvadratdan X marta ortadi (ya'ni XX). U hech qachon noldan kam emas va unga bog'liq emasqiymatlarni teng qiymatga yuqoriga yoki pastga siljitish. Shuningdek, mustaqil sinovlar uchun yig‘indining dispersiyasi dispersiyalarning yig‘indisiga teng.
Endi biz, albatta, diskret tasodifiy oʻzgaruvchining dispersiyasi va matematik kutish misollarini koʻrib chiqishimiz kerak.
Fazrat qilaylik, biz 21 ta tajriba oʻtkazdik va 7 xil natijaga erishdik. Biz ularning har birini mos ravishda 1, 2, 2, 3, 4, 4 va 5 marta kuzatdik. Farqi qanday bo'ladi?
Avval o'rtacha arifmetik qiymatni hisoblaymiz: elementlarning yig'indisi, albatta, 21 ga teng. Uni 7 ga bo'ling, 3 ni oling. Endi asl ketma-ketlikdagi har bir raqamdan 3 ni ayirib, har bir qiymatni kvadratga aylantiring va qo'shing. natijalar birgalikda. Bu 12 bo'lib chiqdi. Endi biz uchun raqamni elementlar soniga bo'lish qoladi va bu hammasi bo'lib tuyuladi. Ammo bir yutuq bor! Keling, buni muhokama qilamiz.
Tajribalar soniga bogʻliqlik
Ma'lum bo'lishicha, dispersiyani hisoblashda maxraj ikkita raqamdan biri bo'lishi mumkin: N yoki N-1. Bu erda N - bajarilgan tajribalar soni yoki ketma-ketlikdagi elementlar soni (aslida bir xil). Bu nimaga bog'liq?
Agar testlar soni yuzlab oʻlchangan boʻlsa, denominatorga N qoʻyishimiz kerak, agar birliklarda boʻlsa, N-1. Olimlar chegarani juda ramziy ravishda chizishga qaror qilishdi: bugungi kunda u 30 raqami bo'ylab o'tadi. Agar biz 30 dan kam tajriba o'tkazgan bo'lsak, miqdorni N-1 ga, agar ko'p bo'lsa, N ga bo'lamiz.
Vazifa
Keling, dispersiya va kutish muammosini hal qilish misolimizga qaytaylik. BizN yoki N-1 ga bo'linishi kerak bo'lgan oraliq 12 raqamini oldi. Biz 30 dan kam bo'lgan 21 ta tajriba o'tkazganimiz uchun biz ikkinchi variantni tanlaymiz. Demak, javob: dispersiya 12/2=2.
Kutish
Keling, ushbu maqolada ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan ikkinchi kontseptsiyaga o'tamiz. Matematik kutish barcha mumkin bo'lgan natijalarni mos keladigan ehtimollar bilan ko'paytirish natijasidir. Natijadagi qiymat, shuningdek, dispersiyani hisoblash natijasi, qancha natijalar hisobga olinmasin, butun vazifa uchun faqat bir marta olinishini tushunish muhimdir.
Kutish formulasi juda oddiy: biz natijani olamiz, uni ehtimoliga ko'paytiramiz, ikkinchi, uchinchi natijalar uchun ham xuddi shunday qo'shamiz va hokazo. Ushbu kontseptsiyaga tegishli hamma narsani hisoblash oson. Masalan, matematik taxminlar yig'indisi yig'indining matematik kutishiga teng. Xuddi shu narsa ish uchun ham amal qiladi. Ehtimollar nazariyasidagi har bir miqdor bunday oddiy amallarni bajarishga imkon bermaydi. Keling, topshiriqni olamiz va bir vaqtning o'zida o'rgangan ikkita tushunchaning qiymatini hisoblaymiz. Qolaversa, bizni nazariya chalg‘itib qo‘ydi – amaliyot vaqti keldi.
Boshqa misol
Biz 50 ta sinovni oʻtkazdik va 10 turdagi natijalarni oldik - 0 dan 9 gacha raqamlar - turli foizlarda namoyon boʻladi. Bular mos ravishda: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Eslatib o'tamiz, ehtimolliklarni olish uchun siz foiz qiymatlarini 100 ga bo'lishingiz kerak. Shunday qilib, biz 0,02 ni olamiz; 0, 1 va boshqalar. Tasodifiyning dispersiyasini ifodalaylikmuammoni hal qilishning qiymat va matematik kutish misoli.
Boshlang'ich maktabda eslab qolgan formuladan foydalanib o'rtacha arifmetikni hisoblang: 50/10=5.
Endi hisoblashni osonlashtirish uchun ehtimollarni natijalar soniga "bo'laklarga" aylantiramiz. Biz 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 va 9 ni olamiz. Olingan har bir qiymatdan o'rtacha arifmetikni ayirib, shundan so'ng olingan natijalarning har birini kvadratga aylantiramiz. Misol sifatida birinchi element yordamida buni qanday qilishni ko'ring: 1 - 5=(-4). Keyinchalik: (-4)(-4)=16. Boshqa qiymatlar uchun ushbu amallarni o'zingiz bajaring. Agar siz hamma narsani toʻgʻri bajargan boʻlsangiz, barcha oraliq natijalarni qoʻshgandan soʻng siz 90 ball olasiz.
90 ni N ga bo'lish orqali dispersiya va o'rtachani hisoblashda davom eting. Nega biz N-1 emas, N ni tanlaymiz? To'g'ri, chunki bajarilgan tajribalar soni 30 dan oshadi. Shunday qilib: 90/10=9. Biz dispersiyani oldik. Agar siz boshqa raqamni olsangiz, umidsizlikka tushmang. Katta ehtimol bilan siz hisob-kitoblarda xato qildingiz. Yozganlaringizni ikki marta tekshiring, shunda hammasi joyiga tushadi.
Nihoyat, kutish formulasini eslaylik. Biz barcha hisob-kitoblarni bermaymiz, faqat barcha kerakli protseduralarni bajarganingizdan so'ng tekshirishingiz mumkin bo'lgan javobni yozamiz. Kutish 5, 48 ga teng bo'ladi. Biz faqat birinchi elementlarning misolidan foydalanib, operatsiyalarni qanday bajarishni eslaymiz: 00, 02 + 10, 1… va hokazo. Ko'rib turganingizdek, biz natijaning qiymatini uning ehtimolligiga ko'paytiramiz.
Ogʻish
Tafsilot va kutilgan qiymat bilan chambarchas bog'liq bo'lgan yana bir tushunchastandart og'ish. U lotincha sd harflari yoki yunoncha kichik "sigma" harflari bilan belgilanadi. Ushbu kontseptsiya o'rtacha qiymatlarning markaziy xususiyatdan qanday chetga chiqishini ko'rsatadi. Uning qiymatini topish uchun dispersiyaning kvadrat ildizini hisoblashingiz kerak.
Agar siz normal taqsimotning grafigini tuzsangiz va unda toʻgʻridan-toʻgʻri standart ogʻish qiymatini koʻrmoqchi boʻlsangiz, buni bir necha bosqichda bajarish mumkin. Rasmning yarmini rejimning chap yoki o'ng tomoniga (markaziy qiymat) oling, natijada olingan raqamlarning maydonlari teng bo'lishi uchun gorizontal o'qga perpendikulyar chizing. Tarqatishning oʻrtasi va natijada gorizontal oʻqga proyeksiyasi orasidagi segment qiymati standart ogʻish boʻladi.
Dasturiy ta'minot
Formulalarning tavsiflari va taqdim etilgan misollardan ko'rinib turibdiki, dispersiya va matematik kutishni hisoblash arifmetik nuqtai nazardan eng oson protsedura emas. Vaqtni behuda o'tkazmaslik uchun oliy ta'limda qo'llaniladigan dasturdan foydalanish mantiqan to'g'ri keladi - u "R" deb ataladi. Unda statistika va ehtimollar nazariyasidan koʻplab tushunchalar uchun qiymatlarni hisoblash imkonini beruvchi funksiyalar mavjud.
Masalan, siz qiymatlar vektorini aniqlaysiz. Bu quyidagicha amalga oshiriladi: vektor <-c(1, 5, 2…). Endi siz ushbu vektor uchun ba'zi qiymatlarni hisoblashingiz kerak bo'lganda, siz funktsiyani yozasiz va uni argument sifatida berasiz. Farqni topish uchun siz var dan foydalanishingiz kerak bo'ladi. Unga misolfoydalanish: var (vektor). Keyin shunchaki “enter” tugmasini bosing va natijani oling.
Xulosa
Variant va matematik kutish ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari boʻlib, ularsiz kelajakda biror narsani hisoblash qiyin. Universitetlardagi ma'ruzalarning asosiy kursida ular fanni o'rganishning birinchi oylaridayoq ko'rib chiqiladi. Aynan shu oddiy tushunchalarni tushunmaslik va ularni hisoblab chiqa olmasligi tufayli ko‘pchilik talabalar darhol dasturda qolib ketishadi va keyinchalik mashg‘ulotlar oxirida yomon baho olishadi, bu esa ularni stipendiyalardan mahrum qiladi.
Kuniga yarim soatdan kamida bir hafta mashq qiling va ushbu maqolada keltirilgan muammolarni hal qiling. Keyin har qanday ehtimollik nazariyasi testida siz begona maslahatlarsiz va nayranglarsiz misollar bilan kurashasiz.
