Ko'pchilik tasodifiy hodisalarni hisoblash mumkinmi yoki yo'qmi, deb o'ylamasligi dargumon. Oddiy qilib aytganda, zardagi o'limning qaysi tomoni keyingi tushishini bilish haqiqatmi? Aynan mana shu savolni ikki buyuk olim berishgan, ular ehtimollar nazariyasi kabi fanga asos solgan, bu fanda hodisa ehtimoli juda keng oʻrganiladi.
Asl kelib chiqishi
Agar siz ehtimollar nazariyasi kabi tushunchaga ta'rif berishga harakat qilsangiz, siz quyidagilarni olasiz: bu tasodifiy hodisalarning doimiyligini o'rganadigan matematikaning bo'limlaridan biridir. Albatta, bu kontseptsiya aslida butun mohiyatni ochib bermaydi, shuning uchun uni batafsilroq ko'rib chiqish kerak.
Men nazariyani yaratuvchilardan boshlamoqchiman. Yuqorida aytib o'tilganidek, ulardan ikkitasi bor edi, bular Per Ferma va Blez Paskal. Aynan ular birinchilardan bo'lib, formulalar va matematik hisoblar yordamida hodisaning natijasini hisoblashga harakat qilishdi. Umuman olganda, bu fanning asoslari allaqachon paydo bo'lganO'rta yosh. O'sha paytda turli mutafakkirlar va olimlar qimor o'yinlarini, masalan, ruletka, craps va hokazolarni tahlil qilishga harakat qilishdi va shu bilan ma'lum bir raqamning tushishi naqshini va foizini aniqladilar. Poydevor XVII asrda yuqorida tilga olingan olimlar tomonidan qo'yilgan.
Avvaliga ularning ishini bu sohadagi katta yutuqlar bilan izohlab boʻlmasdi, chunki ular qilgan hamma narsa shunchaki empirik faktlar boʻlib, tajribalar formuladan foydalanmasdan vizual tarzda oʻrnatildi. Vaqt o'tishi bilan zar otishni kuzatish natijasida paydo bo'lgan ajoyib natijalarga erishildi. Aynan shu vosita birinchi tushunarli formulalarni olishga yordam berdi.
Associates
“Ehtimollar nazariyasi” deb nomlangan mavzuni o’rganish jarayonida Kristian Gyuygens kabi shaxsni eslatib o’tmaslikning iloji yo’q (hodisa ehtimoli aynan shu fanda yoritilgan). Bu odam juda qiziq. U, yuqorida keltirilgan olimlar singari, tasodifiy hodisalarning qonuniyatlarini matematik formulalar shaklida olishga harakat qildi. Shunisi e'tiborga loyiqki, u buni Paskal va Fermat bilan birga qilmagan, ya'ni uning barcha asarlari hech qanday tarzda bu aqllar bilan kesishmagan. Gyuygens ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalarini oldi.
Qiziq fakt shundaki, uning ishi kashshoflar faoliyati natijalaridan ancha oldin, toʻgʻrirogʻi, yigirma yil oldin chiqqan. Belgilangan tushunchalar orasida eng mashhurlari:
- ehtimollik tushunchasi tasodifning kattaligi;
- diskret uchun kutishholatlar;
- ehtimollarni ko'paytirish va qo'shish teoremalari.
Muammoni oʻrganishga ham katta hissa qoʻshgan Jeykob Bernullini ham eslamaslik mumkin emas. Hech kimdan mustaqil ravishda o'z sinovlarini o'tkazar ekan, u katta sonlar qonunining isbotini taqdim etishga muvaffaq bo'ldi. O'z navbatida, XIX asr boshlarida ishlagan olimlar Puasson va Laplas asl teoremalarni isbotlay oldilar. Aynan shu paytdan boshlab ehtimollar nazariyasi kuzatishlar jarayonida xatolarni tahlil qilish uchun qo'llanila boshlandi. Rus olimlari, aniqrog'i Markov, Chebishev va Dyapunovlar ham bu fanni chetlab o'ta olmadilar. Buyuk daholar qilgan ishlardan kelib chiqib, bu fanni matematikaning bir tarmog‘i sifatida mustahkamladilar. Bu raqamlar o'n to'qqizinchi asrning oxirida allaqachon ishlagan va ularning hissasi tufayli quyidagilar kabi hodisalar mavjud:
- katta sonlar qonuni;
- Markov zanjiri nazariyasi;
- markaziy chegara teoremasi.
Demak, fanning tugʻilish tarixi va unga taʼsir koʻrsatgan asosiy odamlar bilan hamma narsa koʻproq yoki kamroq aniq. Endi barcha faktlarni aniqlashtirish vaqti keldi.
Asosiy tushunchalar
Qonunlar va teoremalarga toʻxtalishdan oldin ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalarini oʻrganishga arziydi. Unda bosh rolni voqea egallaydi. Bu mavzu juda katta, lekin usiz qolgan hamma narsani tushunib bo'lmaydi.
Ehtimollar nazariyasidagi hodisa - bu tajriba natijalarining har qanday to'plamidir. Ushbu hodisa haqida juda ko'p tushunchalar mavjud emas. Demak, olim Lotman,ushbu sohada ishlayotgan, bu holatda biz "bo'lgan narsa haqida gapirayotganimizni aytdi, lekin bu sodir bo'lmagan bo'lishi mumkin"
Tasodifiy hodisalar (ehtimollar nazariyasi ularga alohida e'tibor beradi) - bu sodir bo'lish qobiliyatiga ega bo'lgan mutlaqo har qanday hodisani nazarda tutadigan tushuncha. Yoki, aksincha, bu stsenariy ko'p shartlar bajarilganda sodir bo'lmasligi mumkin. Bu sodir bo'lgan hodisalarning butun hajmini qamrab oladigan tasodifiy hodisalar ekanligini ham bilish kerak. Ehtimollar nazariyasi barcha shartlar doimiy ravishda takrorlanishi mumkinligini ko'rsatadi. Aynan ularning xatti-harakatlari "tajriba" yoki "sinov" deb ataldi.
Muayyan hodisa - bu berilgan testda 100% sodir bo'ladigan voqea. Shunga ko'ra, imkonsiz voqea sodir bo'lmaydigan voqeadir.
Bir juft harakatlar kombinatsiyasi (odatda A va B hollari) bir vaqtning o'zida sodir bo'ladigan hodisadir. Ular AB sifatida belgilangan.
A va B hodisa juftlarining yig’indisi C bo’ladi, boshqacha qilib aytganda, ulardan kamida bittasi (A yoki B) sodir bo’lsa, u holda C ga teng bo’ladi. Tasvirlangan hodisaning formulasi quyidagicha yoziladi.: C=A + B.
Ehtimollar nazariyasidagi ajratilgan hodisalar ikki holat bir-birini istisno qilishini bildiradi. Ular hech qachon bir vaqtning o'zida sodir bo'lolmaydi. Ehtimollar nazariyasidagi qo'shma hodisalar ularning antipodidir. Bu shuni anglatadiki, agar A sodir bo'lgan bo'lsa, u B bilan aralashmaydi.
Qarama-qarshi hodisalarni (ehtimollar nazariyasi ular bilan batafsil muhokama qiladi) tushunish oson. Taqqoslashda ular bilan shug'ullanish yaxshidir. Ular deyarli bir xilva ehtimollar nazariyasidagi mos kelmaydigan hodisalar. Lekin ularning farqi shundaki, ko'p hodisalardan biri baribir sodir bo'lishi kerak.
Ekvivalent hodisalar - bu ehtimoli teng bo'lgan harakatlar. Buni aniqroq qilish uchun biz tanga otilishini tasavvur qilishimiz mumkin: uning bir tomonining tushishi ikkinchi tomonining tushishi ehtimoli bir xil.
Baxtli voqeani misol bilan ko'rish osonroq. Aytaylik, B va A epizodlari bor. Birinchisi, toq sonning ko'rinishi bilan zarlarning o'ralishi, ikkinchisi esa zarda besh raqamining ko'rinishi. Keyin ma'lum bo'ldiki, A B.
Ehtimollar nazariyasidagi mustaqil hodisalar faqat ikki yoki undan ortiq holatlarga prognoz qilinadi va har qanday harakatning boshqasidan mustaqilligini bildiradi. Misol uchun, A - tanga uloqtirilganda dumlarning yo'qolishi va B - palubadan jekning chizilganligi. Ular ehtimollar nazariyasidagi mustaqil hodisalardir. Bu lahzada aniqroq bo'ldi.
Ehtimollar nazariyasidagi qaram hodisalar ham faqat ularning to'plami uchun joizdir. Ular birining ikkinchisiga bog'liqligini bildiradi, ya'ni B hodisasi faqat A sodir bo'lgan yoki aksincha, sodir bo'lmagan taqdirdagina sodir bo'lishi mumkin, bu B uchun asosiy shart bo'lganda.
Bir komponentdan iborat tasodifiy tajriba natijasi elementar hodisalardir. Ehtimollar nazariyasi bu faqat bir marta sodir bo'lgan hodisa ekanligini tushuntiradi.
Asosiy formulalar
Demak, "hodisa", "ehtimollar nazariyasi" tushunchalari,bu fanning asosiy atamalarining ta'rifi ham berilgan. Endi muhim formulalar bilan bevosita tanishish vaqti keldi. Bu iboralar ehtimollar nazariyasi kabi murakkab mavzudagi barcha asosiy tushunchalarni matematik jihatdan tasdiqlaydi. Bu yerda ham voqea ehtimoli katta rol o'ynaydi.
Kombinatorikaning asosiy formulalaridan boshlash yaxshidir. Va ularga o'tishdan oldin, bu nima ekanligini ko'rib chiqishga arziydi.
Kombinatorika birinchi navbatda matematikaning bir bo'limi bo'lib, u juda ko'p sonlarni o'rganish bilan shug'ullanadi, shuningdek raqamlarning o'zi va ularning elementlari, turli xil ma'lumotlar va hokazolarning paydo bo'lishiga olib keladi. bir qator kombinatsiyalar. Ehtimollar nazariyasidan tashqari, bu soha statistika, informatika va kriptografiya uchun ham muhimdir.
Demak, endi formulalarning oʻzini koʻrsatishga va ularni belgilashga oʻtishimiz mumkin.
Birinchisi almashtirishlar sonining ifodasi boʻladi, u quyidagicha koʻrinadi:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Tenglama faqat elementlar bir-biridan faqat tartibda farq qilsagina amal qiladi.
Endi joylashtirish formulasi koʻrib chiqiladi, u quyidagicha koʻrinadi:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Bu ibora nafaqat element tartibiga, balki uning tarkibiga ham tegishli.
Kombinatorikaning uchinchi tenglamasi va u ham oxirgisi kombinatsiyalar soni formulasi deb ataladi:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Kombinatsiyalar mos ravishda tartiblanmagan tanlovlardir va bu qoida ularga nisbatan qoʻllaniladi.
Kombinatorika formulalarini aniqlash oson boʻlib chiqdi, endi ehtimollarning klassik taʼrifiga oʻtishimiz mumkin. Bu ifoda quyidagicha ko'rinadi:
P(A)=m: n.
Ushbu formulada m - A hodisasi uchun qulay shartlar soni, n esa mutlaqo barcha teng va elementar natijalar soni.
Ko'p sonli iboralar mavjud, maqola ularning hammasini qamrab olmaydi, lekin ulardan eng muhimiga to'xtalib o'tamiz, masalan, hodisalar yig'indisining ehtimoli:
P(A + B)=P(A) + P(B) - bu teorema faqat mos kelmaydigan hodisalarni qo'shish uchun;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - va bu faqat mos keladiganlarini qo'shish uchun.
Hodisalar yuzaga kelishi ehtimoli:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – bu teorema mustaqil hodisalar uchun;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - va bu uchun giyohvandlar.
Hodisa formulasi roʻyxatni tugatadi. Ehtimollar nazariyasi Bayes teoremasi haqida gapirib beradi, u quyidagicha ko'rinadi:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Bu formulada H1, H2, …, H gipotezalarning toʻliq guruhi.
Keling, shu yerda toʻxtaylik, soʻngra amaliyotdan aniq masalalarni yechish uchun formulalarni qoʻllash misollari koʻrib chiqiladi.
Misollar
Birorta boʻlimni diqqat bilan oʻrgansangizmatematika, u mashqlarsiz va namunali echimlarsiz bajarilmaydi. Ehtimollar nazariyasi ham shunday: hodisalar, misollar ilmiy hisob-kitoblarni tasdiqlovchi ajralmas komponentdir.
Oʻzgartirishlar soni formulasi
Aytaylik, kartalar toʻplamida nominal qiymatidan boshlab oʻttizta karta bor. Keyingi savol. Nominal qiymati bir va ikkita boʻlgan kartalar yonma-yon boʻlmasligi uchun desteni joylashtirishning nechta usuli bor?
Vazifa qoʻyildi, endi uni hal qilishga oʻtamiz. Avval siz o'ttiz elementning almashtirish sonini aniqlashingiz kerak, buning uchun biz yuqoridagi formulani olamiz, P_30=30 chiqadi!.
Ushbu qoidaga asoslanib, biz pastki qavatni turli yo'llar bilan katlamaning nechta varianti borligini bilib olamiz, ammo ulardan birinchi va ikkinchi kartalar keyingisini ayirishimiz kerak. Buni amalga oshirish uchun birinchisi ikkinchisidan yuqori bo'lgan variantdan boshlaylik. Ma'lum bo'lishicha, birinchi karta yigirma to'qqizta o'rinni egallashi mumkin - birinchidan yigirma to'qqizinchigacha, ikkinchi karta esa ikkinchidan o'ttizinchigacha, u bir juft karta uchun yigirma to'qqizta o'rinni egallaydi. O'z navbatida, qolganlari yigirma sakkizta o'rinni egallashi mumkin va har qanday tartibda. Ya'ni, yigirma sakkizta kartani almashtirish uchun P_28=28 yigirma sakkizta variant mavjud!
Natijada ma'lum bo'lishicha, agar birinchi karta ikkinchisidan oshib ketganda yechimni ko'rib chiqsak, 29 ⋅ 28 ta qo'shimcha imkoniyatlar mavjud!=29!
Xuddi shu usuldan foydalanib, birinchi karta ikkinchi karta ostida bo'lgan holat uchun ortiqcha variantlar sonini hisoblashingiz kerak. Bundan tashqari, 29 ⋅ 28 chiqadi!=29!
Demak, 2 ⋅ 29 ta qoʻshimcha variant mavjud!, paluba qurish uchun esa 30 ta talab qilinadigan usul mavjud! - 2 ⋅ 29!. Faqat hisoblash uchun qoladi.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Endi siz birdan yigirma to'qqizgacha bo'lgan barcha raqamlarni birga ko'paytirishingiz kerak va oxirida hamma narsani 28 ga ko'paytirishingiz kerak. Javob: 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Misolning yechimi. Joylashtirish raqami formulasi
Bu masalada siz oʻn besh jildni bir javonga qoʻyishning nechta usuli borligini, lekin jami oʻttiz jild boʻlishi sharti bilan aniqlashingiz kerak.
Bu muammo oldingisiga qaraganda biroz osonroq yechimga ega. Ma'lum bo'lgan formuladan foydalanib, o'n beshdan o'ttiz jilddan joylashuvning umumiy sonini hisoblash kerak.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 2073 320
Javob mos ravishda 202 843 204 931 727 360 000 boʻladi.
Endi vazifani biroz qiyinlashtiramiz. Bitta javonda atigi o‘n besh jild bo‘lishi sharti bilan o‘ttizta kitobni ikkita javonda joylashtirishning qancha yo‘li borligini bilib olishingiz kerak.
Yechishni boshlashdan oldin, men aniqlik kiritmoqchimanki, ba'zi muammolar bir necha usul bilan hal qilinadi, shuning uchun buning ikkita usuli bor, lekin ikkalasida bir xil formuladan foydalaniladi.
Bu masalada siz avvalgisidan javob olishingiz mumkin, chunki u yerda biz javonni necha marta o'n beshta kitob bilan to'ldirishingiz mumkinligini hisoblab chiqdik.boshqacha. Ma'lum bo'lishicha, A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Ikkinchi javonni almashtirish formulasi yordamida hisoblaymiz, chunki unda o'n beshta kitob joylashtirilgan, faqat o'n beshtasi qolgan. P_15=15 formulasidan foydalaning!.
Ma'lum bo'lishicha, jami A_30^15 ⋅ P_15 yo'l bo'ladi, ammo, bundan tashqari, o'ttizdan o'n oltigacha bo'lgan barcha raqamlarning ko'paytmasini birdan o'n beshgacha bo'lgan sonlar ko'paytmasiga ko'paytirish kerak bo'ladi, chunki natijada birdan o‘ttizgacha bo‘lgan barcha raqamlarning ko‘paytmasi, shuning uchun javob 30!
Ammo bu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin - osonroq. Buning uchun siz o'ttizta kitob uchun bitta javon borligini tasavvur qilishingiz mumkin. Ularning barchasi shu tekislikka joylashtirilgan, ammo shart ikkita javon bo'lishini talab qilganligi sababli, biz bitta uzunni yarmiga kesib tashladik, har biri ikkita o'n besh bo'ladi. Bundan ma'lum bo'lishicha, joylashtirish variantlari P_30=30 bo'lishi mumkin!.
Misolning yechimi
kombinatsiya raqami formulasi
Endi biz kombinatorikadan uchinchi masala variantini ko’rib chiqamiz. O'n beshta kitobni tartibga solishning necha yo'li borligini bilib olishingiz kerak, agar siz o'ttiztadan mutlaqo bir xilni tanlashingiz kerak bo'lsa.
Echim uchun, albatta, kombinatsiyalar soni formulasi qo'llaniladi. Shartdan ma'lum bo'ladiki, bir xil o'n besh kitobning tartibi muhim emas. Shuning uchun, dastlab siz o'n beshdan iborat o'ttizta kitobning umumiy sonini bilib olishingiz kerak.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: o'n besh !=155 117 520
Hammasi. Ushbu formuladan foydalanib, eng qisqa vaqt ichida buni amalga oshirish mumkin edibunday muammoni hal qiling, javob mos ravishda 155 117 520.
Misolning yechimi. Ehtimolning klassik ta'rifi
Yuqoridagi formula yordamida oddiy masalaga javob topishingiz mumkin. Lekin bu harakatlar jarayonini vizual koʻrish va kuzatishga yordam beradi.
Masalada urnada oʻnta mutlaqo bir xil shar borligi berilgan. Ulardan to‘rttasi sariq, oltitasi ko‘k rangda. Idishdan bitta to'p olinadi. Siz ko'k rangga tushish ehtimolini bilib olishingiz kerak.
Muammoni hal qilish uchun koʻk toʻpni olishni A hodisasi sifatida belgilash kerak. Bu tajriba oʻnta natijaga ega boʻlishi mumkin, bu esa, oʻz navbatida, elementar va bir xil ehtimolga ega. Shu bilan birga, o'ntadan oltitasi A hodisasi uchun qulaydir. Biz formula bo'yicha hal qilamiz:
P(A)=6: 10=0, 6
Ushbu formuladan foydalanib, koʻk toʻpni olish ehtimoli 0,6 ekanligini aniqladik.
Misolning yechimi. Hodisalar yig‘indisining ehtimoli
Endi variant taqdim etiladi, u hodisalar yigʻindisining ehtimoli formulasi yordamida yechiladi. Shunday qilib, ikkita quti borligini hisobga olsak, birinchisida bitta kulrang va beshta oq sharlar, ikkinchisida sakkizta kulrang va to'rtta oq sharlar mavjud. Natijada, ulardan biri birinchi va ikkinchi qutilardan olingan. Olingan to'plarning oq va kulrang bo'lishi ehtimoli qancha ekanligini aniqlashingiz kerak.
Bu muammoni hal qilish uchun voqealarni belgilashingiz kerak.
- Demak, A - birinchi qutidan kulrang sharni oling: P(A)=1/6.
- A’ – birinchi qutidan oq sharni ham oling: P(A')=5/6.
- B – kulrang shar allaqachon ikkinchi qutidan chiqarilgan: P(B)=2/3.
- B’ – ikkinchi qutidan kulrang sharni oling: P(B')=1/3.
Muammoning shartiga ko'ra, hodisalardan biri sodir bo'lishi kerak: AB' yoki A'B. Formuladan foydalanib, biz olamiz: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Endi ehtimolliklarni koʻpaytirish formulasidan foydalanildi. Keyin javobni bilish uchun ularni qo'shish uchun tenglamani qo'llashingiz kerak:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Bu formuladan foydalanib, shunga o'xshash muammolarni hal qilishingiz mumkin.
Natija
Maqolada hodisa ehtimoli hal qiluvchi rol oʻynaydigan “Ehtimollar nazariyasi” mavzusi haqida maʼlumot berilgan. Albatta, hamma narsa hisobga olinmadi, lekin taqdim etilgan matnga asoslanib, matematikaning ushbu bo'limi bilan nazariy jihatdan tanishish mumkin. Ko'rib chiqilayotgan fan nafaqat professional ishda, balki kundalik hayotda ham foydali bo'lishi mumkin. Uning yordami bilan siz har qanday hodisa ehtimolini hisoblashingiz mumkin.
Matn, shuningdek, ehtimollik nazariyasining fan sifatida shakllanishi tarixidagi muhim sanalar va unga asarlari sarmoya qilingan kishilarning ismlariga ham toʻxtalib oʻtgan. Shunday qilib, insonning qiziqishi odamlarning tasodifiy hodisalarni ham hisoblashni o'rganishiga olib keldi. Bir paytlar ular shunchaki qiziqqan edilar, ammo bugun hamma bu haqda biladi. Va hech kim bizni kelajakda nima kutayotganini, ko'rib chiqilayotgan nazariya bilan bog'liq yana qanday ajoyib kashfiyotlar qilishini aytmaydi. Lekin bir narsa aniq - tadqiqot to'xtamaydi!
