Matematikada va qayta ishlashda analitik signal tushunchasi (qisqacha - C, AC) manfiy chastotali komponentlarga ega bo'lmagan murakkab funktsiyadir. Ushbu hodisaning haqiqiy va xayoliy qismlari Gilbert konvertatsiyasi orqali bir-biri bilan bog'liq bo'lgan real funktsiyalardir. Analitik signal kimyoda juda keng tarqalgan hodisa bo'lib, uning mohiyati ushbu tushunchaning matematik ta'rifiga o'xshaydi.
Smoslar
Haqiqiy funktsiyaning analitik tasviri asl funktsiyani va uning Hilbert konvertatsiyasini o'z ichiga olgan analitik signaldir. Ushbu tasvir ko'plab matematik manipulyatsiyalarni osonlashtiradi. Asosiy g'oya shundan iboratki, haqiqiy funktsiyaning Furye transformatsiyasining (yoki spektrining) salbiy chastotali komponentlari bunday spektrning Germit simmetriyasi tufayli ortiqcha bo'ladi. Ushbu salbiy chastotali komponentlarsiz tashlanishi mumkinuning o'rniga murakkab funktsiya bilan shug'ullanmoqchi bo'lsangiz, ma'lumot yo'qolishi. Bu muayyan xususiyat atributlariga kirishni osonlashtiradi va SSB kabi modulyatsiya va demodulyatsiya usullarini olishni osonlashtiradi.
Salbiy komponentlar
Manipulatsiya qilinayotgan funksiya salbiy chastotali komponentlarga ega boʻlmasa (yaʼni u hali ham analitik), murakkabdan realga oʻtkazish shunchaki xayoliy qismdan voz kechish masalasidir. Analitik tasvir vektor tushunchasini umumlashtirishdir: vektor vaqt bilan o'zgarmas amplituda, faza va chastota bilan chegaralangan bo'lsa, analitik signalning sifat tahlili vaqt bo'yicha o'zgaruvchan parametrlarga imkon beradi.
Bir lahzali amplituda, bir lahzali faza va chastota C ning mahalliy xususiyatlarini o'lchash va aniqlash uchun ba'zi ilovalarda qo'llaniladi. Analitik tasvirning yana bir qo'llanilishi modulyatsiyalangan signallarning demodulyatsiyasi bilan bog'liq. Qutbli koordinatalar AM va faza (yoki chastota) modulyatsiyasining ta'sirini qulay tarzda ajratib turadi va ayrim turlarni samarali demodulyatsiya qiladi.
Unda real koeffitsientlarga ega oddiy past oʻtkazuvchan filtr qiziqish qismini kesib tashlashi mumkin. Yana bir sabab maksimal chastotani pasaytirishdir, bu esa taxallussiz namuna olish uchun minimal chastotani pasaytiradi. Chastotani o'zgartirish vakillikning matematik foydaliligiga putur etkazmaydi. Shunday qilib, bu ma'noda pastga aylantirilgan hali ham analitik hisoblanadi. Biroq, haqiqiy vakillikning tiklanishiendi shunchaki haqiqiy komponentni ajratib olish oddiy masala emas. Yuqoriga aylantirish talab qilinishi mumkin va agar signal namunasi olingan boʻlsa (diskret vaqt), boshqa nom qoʻymaslik uchun interpolyatsiya (yuqori namuna olish) ham talab qilinishi mumkin.
Oʻzgaruvchilar
Tseptsiya odatda vaqtinchalik boʻlgan yagona oʻzgaruvchan hodisalar uchun yaxshi belgilangan. Bu vaqtinchalik ko'plab boshlang'ich matematiklarni chalg'itadi. Ikki yoki undan ortiq oʻzgaruvchilar uchun analitik C turli yoʻllar bilan aniqlanishi mumkin va quyida ikkita yondashuv keltirilgan.
Ushbu hodisaning haqiqiy va xayoliy qismlari bitta oʻzgaruvchiga ega oʻxshash hodisalar uchun belgilangan vektor qiymatli monogen signalning ikkita elementiga mos keladi. Biroq, monogen ixtiyoriy sonli o'zgaruvchilarga oddiy tarzda kengaytirilishi mumkin, bu n o'zgaruvchi signallari uchun (n + 1) o'lchovli vektor funksiyasini yaratadi.
Signal konvertatsiyasi
Haqiqiy signalni xayoliy (Q) komponentni qoʻshish orqali analitik signalga aylantirishingiz mumkin, bu haqiqiy komponentning Hilbert konvertatsiyasidir.
Aytgancha, bu raqamli ishlov berish uchun yangilik emas. Yagona yon tarmoqli (SSB) AM ishlab chiqarishning an'anaviy usullaridan biri, bosqichma-bosqich usuli analog rezistor-kondensator tarmog'ida audio signalning Hilbert transformatsiyasini yaratish orqali signallarni yaratishni o'z ichiga oladi. U faqat ijobiy chastotalarga ega bo'lgani uchun uni faqat bitta yon tarmoqli bilan modulyatsiyalangan RF signaliga aylantirish oson.
Tanrif formulalari
Analitik signal ifodasi yuqori kompleks yarim tekislik chegarasida aniqlangan golomorf kompleks funksiyadir. Yuqori yarim tekislikning chegarasi tasodifiy bilan mos keladi, shuning uchun C xaritalash fa tomonidan beriladi: R → C. O'tgan asrning o'rtalaridan boshlab, Denis Gabor 1946 yilda doimiy amplituda va fazani o'rganish uchun ushbu hodisadan foydalanishni taklif qilganidan beri., signal ko'plab ilovalarni topdi. Ushbu hodisaning o'ziga xosligi ta'kidlangan [Vak96], bu erda analitik signalning faqat sifatli tahlili amplituda, faza va chastota uchun fizik shartlarga mos kelishi ko'rsatilgan.
Soʻnggi yutuqlar
Soʻnggi bir necha oʻn yilliklar davomida tasvir/videoni qayta ishlashdan tortib fizikadagi koʻp oʻlchovli tebranish jarayonlarigacha, masalan, seysmik, elektromagnit va elektromagnit jarayonlarigacha boʻlgan sohalarda yuzaga keladigan muammolar bilan bogʻliq boʻlgan koʻp oʻlchovlarda signalni oʻrganishga qiziqish paydo boʻldi. tortishish to'lqinlari. Analitik C ni (sifatli tahlil) bir necha o‘lchamlar holatiga to‘g‘ri umumlashtirish uchun oddiy kompleks sonlarni qulay tarzda kengaytiruvchi algebraik konstruksiyaga tayanish kerakligi odatda qabul qilingan. Bunday konstruktsiyalar odatda giperkompleks raqamlar deb ataladi [SKE].
Nihoyat, fh giperkompleks analitik signalini qurish mumkin bo'lishi kerak: Rd → S, bu erda ba'zi umumiy giperkompleks algebraik tizim ifodalanadi, bu tabiiy ravishda bir lahzali amplitudani olish uchun barcha kerakli xususiyatlarni kengaytiradi vafaza.
Oʻqish
Bir qator maqolalar giperkompleks sanoq tizimini toʻgʻri tanlash, giperkompleks Furye konvertatsiyasini aniqlash va lahzali amplituda va fazani oʻrganish uchun kasrli Hilbert oʻzgarishlariga oid turli masalalarga bagʻishlangan. Bu ishlarning aksariyati Cd, kvaternionlar, Clearon algebralari va Kayli-Dikson konstruktsiyalari kabi turli fazolarning xususiyatlariga asoslangan.
Keyingi, biz signalni ko'p o'lchovlarda o'rganishga bag'ishlangan ba'zi ishlarni sanab o'tamiz. Bizga ma'lumki, ko'p o'lchovli usul bo'yicha birinchi ishlar 1990-yillarning boshlarida olingan. Bularga Ellning giperkompleks transformatsiyalari haqidagi [Ell92] ishi kiradi; Bulovning analitik reaksiya (analitik signal) usulini koʻp oʻlchovlarga umumlashtirish boʻyicha ishi [BS01] va Felsberg va Sommerning monogen signallar boʻyicha ishi.
Keyingi istiqbollar
Giperkompleks signali 1D holatida mavjud boʻlgan barcha foydali xususiyatlarni kengaytirishi kutilmoqda. Avvalo, biz o'lchovlarga lahzali amplituda va fazani ajratib olishimiz va umumlashtirishimiz kerak. Ikkinchidan, murakkab analitik signalning Furye spektri faqat musbat chastotalarda saqlanadi, shuning uchun biz giperkompleks Furye konvertatsiyasining o'ziga xos yuqori baholangan spektriga ega bo'lishini kutamiz, bu faqat giperkompleks fazoning qandaydir ijobiy kvadrantida saqlanadi. Chunki bu juda muhim.
Uchinchidan, murakkab tushunchaning konjugat qismlarianalitik signalning Gilbert konvertatsiyasi bilan bog'liq va biz hiperkompleks fazodagi konjugat komponentlar ham Hilbert transformatsiyasining ba'zi kombinatsiyasi bilan bog'liq bo'lishi kerakligini kutishimiz mumkin. Va nihoyat, haqiqatan ham giperkompleks signalni giperkompleks fazodagi qandaydir shakl chegarasida aniqlangan bir nechta giperkompleks o‘zgaruvchilarning ba’zi giperkompleks golomorf funksiyasining kengaytmasi sifatida aniqlash kerak.
Biz bu muammolarni ketma-ketlikda hal qilamiz. Avvalo, biz Furye integral formulasini ko'rib chiqishni boshlaymiz va Hilbertning 1-D ga o'zgarishi o'zgartirilgan Furye integral formulasi bilan bog'liqligini ko'rsatamiz. Bu fakt bizga giperkompleks sanoq sistemalari va golomorf funksiyalarga murojaat qilmasdan lahzali amplituda, faza va chastotani aniqlash imkonini beradi.
Integrallarning modifikatsiyasi
Biz o'zgartirilgan Furye integral formulasini bir necha o'lchamlarga kengaytirish orqali davom etamiz va biz bir lahzali amplituda va fazaga to'plashimiz mumkin bo'lgan barcha kerakli fazali o'zgaruvchan komponentlarni aniqlaymiz. Ikkinchidan, biz bir nechta giperkompleks o'zgaruvchilarning golomorf funktsiyalari mavjudligi haqidagi savolga murojaat qilamiz. [Sch93] dan keyin ma'lum bo'ladiki, elliptik (e2i=-1) generatorlar to'plami tomonidan yaratilgan kommutativ va assotsiativ giperkompleks algebra giperkompleks analitik signalning yashashi uchun mos bo'shliqdir, biz bunday giperkompleks algebrani Shefer fazosi deb ataymiz va belgilaymiz. buSd.
Shuning uchun analitik signallarning giperkompleksi ba'zi bir giperkompleks fazoda polidisk / tekislikning yuqori yarmi chegarasida golomorf funksiya sifatida aniqlanadi, biz uni umumiy Shefer fazosi deb ataymiz va Sd bilan belgilanadi. Keyin biz Sd → Sd funktsiyalari uchun Koshi integral formulasining to'g'riligini kuzatamiz, ular Sd dagi polidisk ichidagi gipersirt orqali hisoblab chiqiladi va giperkompleks konjugat komponentlari bilan bog'liq bo'lgan mos keladigan kasr Hilbert o'zgarishlarini keltirib chiqaradi. Va nihoyat, Schaefers fazosidagi qiymatlar bilan Furye konvertatsiyasi faqat salbiy bo'lmagan chastotalarda qo'llab-quvvatlanadi. Ushbu maqola tufayli siz analitik signal nima ekanligini bilib oldingiz.
