Ko'pchilik "ehtimollar nazariyasi" tushunchasiga duch kelib, bu juda og'ir, juda murakkab narsa deb o'ylab, qo'rqib ketishadi. Lekin bu unchalik fojiali emas. Bugun biz ehtimollar nazariyasining asosiy kontseptsiyasini ko'rib chiqamiz, muammolarni aniq misollar yordamida qanday hal qilishni o'rganamiz.
Fan
Matematikaning "ehtimollar nazariyasi" kabi bo'limi nimani o'rganadi? U tasodifiy hodisalar va miqdorlarning naqshlarini qayd etadi. Birinchi marta olimlar bu masalaga XVIII asrda, qimor o'yinlarini o'rganganlarida qiziqish bildirishgan. Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchasi hodisadir. Bu tajriba yoki kuzatish orqali aniqlangan har qanday fakt. Ammo tajriba nima? Ehtimollar nazariyasining yana bir asosiy tushunchasi. Demak, bu holatlar tarkibi tasodifan emas, balki ma'lum bir maqsad uchun yaratilgan. Kuzatishga kelsak, bu yerda tadqiqotchining o'zi eksperimentda qatnashmaydi, shunchaki bu voqealarning guvohi bo'lib, u sodir bo'layotgan voqealarga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi.
Tadbirlar
Biz ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchasi hodisa ekanligini bilib oldik, lekin tasnifni hisobga olmadik. Ularning barchasi quyidagi toifalarga bo'lingan:
- Ishonchli.
- mumkin emas.
- Tasodifiy.
Farqi emastajriba jarayonida qanday hodisalar kuzatiladi yoki yaratiladi, ularning barchasi shu tasnifga bo'ysunadi. Biz turlarning har biri bilan alohida tanishishni taklif qilamiz.
Ayrim hodisa
Bu zaruriy chora-tadbirlar majmui qabul qilingan holat. Mohiyatni yaxshiroq tushunish uchun bir nechta misollar keltirgan ma'qul. Fizika, kimyo, iqtisod va oliy matematika bu qonunga bo'ysunadi. Ehtimollar nazariyasi ma'lum bir hodisa kabi muhim tushunchani o'z ichiga oladi. Mana bir nechta misollar:
- Biz ishlaymiz va ish haqi shaklida haq olamiz.
- Biz imtihonlarni yaxshi topshirdik, tanlovdan oʻtdik, buning uchun taʼlim muassasasiga oʻqishga kirish shaklida mukofot olamiz.
- Biz pulni bankka kiritdik, kerak boʻlsa qaytarib beramiz.
Bunday tadbirlar ishonchli. Agar biz barcha kerakli shartlarni bajargan bo'lsak, kutilgan natijani albatta olamiz.
Imkonsiz hodisalar
Endi biz ehtimollar nazariyasi elementlarini ko'rib chiqamiz. Biz keyingi turdagi hodisani, ya'ni imkonsiz narsani tushuntirishga o'tishni taklif qilamiz. Birinchidan, eng muhim qoidani aniqlaymiz - imkonsiz hodisaning ehtimoli nolga teng.
Muammolarni hal qilishda siz ushbu so'zdan chetga chiqa olmaysiz. Aniqlik kiritish uchun bunday hodisalarga misollar keltiramiz:
- Suv plyus 10 da muzlab qoldi (bu mumkin emas).
- Elektr quvvatining etishmasligi ishlab chiqarishga hech qanday ta'sir qilmaydi (oldingi misoldagi kabi imkonsiz).
Yana misollarIqtibos keltirishning hojati yo'q, chunki yuqorida tavsiflanganlar ushbu toifaning mohiyatini juda aniq aks ettiradi. Tajriba davomida imkonsiz hodisa hech qachon sodir bo'lmaydi.
Tasodifiy hodisalar
Ehtimollik nazariyasi elementlarini o'rganar ekan, ushbu hodisaning alohida turiga alohida e'tibor qaratish lozim. Buni fan o'rganadi. Tajriba natijasida biror narsa sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin. Bundan tashqari, test cheksiz ko'p marta takrorlanishi mumkin. Bunga yorqin misollar:
- Tanga tashlash - bu tajriba yoki sinov, sarlavha - voqea.
- X altadan koʻr-koʻrona toʻp chiqarish - bu sinov, qizil toʻpni ushlash - hodisa va hokazo.
Bunday misollar cheksiz koʻp boʻlishi mumkin, lekin, umuman olganda, mohiyati aniq boʻlishi kerak. Hodisalar haqida olingan bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish uchun jadval berilgan. Ehtimollar nazariyasi taqdim etilganlarning faqat oxirgi turini o'rganadi.
| sarlavha | ta'rif | misol |
| Ishonchli | Muayyan sharoitlarda 100% kafolat bilan sodir boʻladigan hodisalar. | Ta'lim muassasasiga yaxshi kirish imtihonlari bilan kirish. |
| mumkin emas | Hech qachon sodir boʻlmaydigan voqealar. | Telsiy boʻyicha +30 daraja issiqda qor yogʻmoqda. |
| Tasodifiy | Tajriba/sinov paytida yuz berishi yoki boʻlmasligi mumkin boʻlgan hodisa. | Basketbol toʻpini halqaga tashlashda urish yoki oʻtkazib yuborish. |
Qonunlar
Ehtimollar nazariyasi - hodisaning roʻy berish ehtimolini oʻrganuvchi fan. Boshqalar singari, u ham ba'zi qoidalarga ega. Ehtimollar nazariyasining quyidagi qonunlari mavjud:
- Tasodifiy oʻzgaruvchilar ketma-ketligining konvergentsiyasi.
- Katta sonlar qonuni.
Kompleksning imkoniyatini hisoblashda, natijaga osonroq va tezroq erishish uchun oddiy hodisalar majmuasidan foydalanishingiz mumkin. E'tibor bering, ehtimollar nazariyasi qonunlari ba'zi teoremalar yordamida osongina isbotlanadi. Birinchi qonundan boshlaylik.
Tasodifiy oʻzgaruvchilar ketma-ketligining konvergentsiyasi
Yaqinlashuvning bir necha turlari borligini unutmang:
- Tasodifiy oʻzgaruvchilar ketma-ketligi ehtimollikda yaqinlashadi.
- Deyarli imkonsiz.
- RMS konvergentsiyasi.
- Taqsimotdagi konvergentsiya.
Shunday qilib, tez orada uning tubiga yetish juda qiyin. Ushbu mavzuni tushunishingizga yordam beradigan ba'zi ta'riflar. Keling, birinchi qarashdan boshlaylik. Agar quyidagi shart bajarilsa, ketma-ketlik ehtimollik boʻyicha konvergent deb ataladi: n cheksizlikka intiladi, ketma-ketlik moyil boʻlgan son noldan katta va birga yaqin boʻlsa.
Keyingi koʻrinishga oʻtish deyarli aniq. Ular shunday deyishadiketma-ketlik deyarli shubhasiz tasodifiy o'zgaruvchiga yaqinlashadi, n cheksizlikka, P esa birga yaqin qiymatga intiladi.
Keyingi tur - ildiz-o'rtacha kvadrat yaqinlashuvi. SC-konvergentsiyadan foydalanganda vektor tasodifiy jarayonlarini o'rganish ularning koordinatali tasodifiy jarayonlarini o'rganishga qisqartiriladi.
Oxirgi tur qolmoqda, keling, muammolarni toʻgʻridan-toʻgʻri hal qilishga oʻtish uchun uni qisqacha koʻrib chiqamiz. Tarqatish konvergentsiyasining boshqa nomi bor - "zaif", nima uchun quyida tushuntiramiz. Zaif yaqinlashuv - chegara taqsimoti funksiyasi uzluksizligining barcha nuqtalarida taqsimot funksiyalarining yaqinlashishi.
Va'dani bajarishga ishonch hosil qiling: zaif konvergentsiya yuqoridagilarning barchasidan tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik maydonida aniqlanmaganligi bilan farq qiladi. Bu mumkin, chunki shart faqat tarqatish funksiyalari yordamida tuzilgan.
Katta sonlar qonuni
Ushbu qonunni isbotlashda ajoyib yordamchilar ehtimollar nazariyasi teoremalari boʻladi, masalan:
- Chebishev tengsizligi.
- Chebishev teoremasi.
- Umumiy Chebishev teoremasi.
- Markov teoremasi.
Agar biz ushbu teoremalarning barchasini ko'rib chiqsak, bu savol bir necha o'nlab varaqlarga cho'zilishi mumkin. Bizning asosiy vazifamiz - ehtimollik nazariyasini amaliyotda qo'llashdir. Sizni hozir buni qilishga taklif qilamiz. Ammo bundan oldin ehtimollar nazariyasi aksiomalarini ko'rib chiqamiz, ular muammolarni hal qilishda asosiy yordamchi bo'ladi.
Aksiomalar
Biz imkonsiz voqea haqida gaplashganimizda birinchisini uchratdik. Esda tutaylik: imkonsiz hodisaning ehtimoli nolga teng. Biz juda yorqin va esda qolarli misol keltirdik: havo harorati o‘ttiz daraja Selsiyda qor yog‘di.
Ikkinchisi shunday yangradi: ishonchli hodisa birga teng ehtimol bilan sodir bo'ladi. Endi uni matematik til yordamida qanday yozishni ko‘rsatamiz: P(B)=1.
Uchinchisi: Tasodifiy hodisa roʻy berishi mumkin yoki boʻlmasligi mumkin, lekin imkoniyat har doim noldan birgacha oʻzgarib turadi. Qiymat birga qanchalik yaqin bo'lsa, imkoniyat shunchalik katta bo'ladi; qiymat nolga yaqinlashsa, ehtimollik juda past. Buni matematik tilda yozamiz: 0<R(S)<1.
Oxirgi, toʻrtinchi aksiomani koʻrib chiqamiz, u shunday eshitiladi: ikki hodisa yigʻindisining ehtimoli ularning ehtimolliklari yigʻindisiga teng. Biz matematik tilda yozamiz: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Ehtimollik nazariyasi aksiomalari eslab qolish oson boʻlgan eng oddiy qoidalardir. Keling, olingan bilimlar asosida ba'zi muammolarni hal qilishga harakat qilaylik.
Lotereya chiptasi
Birinchidan, eng oddiy misol - lotereyani ko'rib chiqing. Tasavvur qiling, siz omad uchun bitta lotereya chiptasini sotib oldingiz. Siz kamida yigirma rubl yutib olish ehtimoli qanday? Muomalada jami mingta chipta qatnashadi, ulardan birida besh yuz rubl, o'nta yuz rubl, ellik yigirma rubl va yuz beshta mukofot bor. Ehtimollar nazariyasidagi muammolar imkoniyatni topishga asoslanadiomad. Endi yuqoridagi topshiriqning yechimini birgalikda tahlil qilamiz.
Agar biz A harfi bilan besh yuz rubllik yutuqni belgilasak, unda A ni olish ehtimoli 0,001 ga teng bo'ladi. Biz uni qanday oldik? Siz shunchaki "omadli" chiptalar sonini ularning umumiy soniga bo'lishingiz kerak (bu holda: 1/1000).
B - yuz rubllik yutuq, ehtimollik 0,01 bo'ladi. Endi biz avvalgi harakatdagi kabi (10/1000)
bo'yicha harakat qildik.
C - yutuq yigirma rublga teng. Ehtimolni toping, u 0,05 ga teng.
Qolgan chiptalar bizni qiziqtirmaydi, chunki ularning mukofot jamg'armasi shartda ko'rsatilganidan kam. To'rtinchi aksiomani qo'llaymiz: kamida yigirma rubl yutib olish ehtimoli P (A) + P (B) + P (C). P harfi ushbu hodisaning yuzaga kelish ehtimolini bildiradi, biz ularni oldingi bosqichlarda allaqachon topdik. Faqat kerakli ma'lumotlarni kiritish qoladi, javobda biz 0, 061 ni olamiz. Bu raqam topshiriq savoliga javob bo'ladi.
Kartalar toʻplami
Ehtimollar nazariyasi masalalari murakkabroq boʻlishi mumkin, masalan, quyidagi vazifani bajaring. Sizning oldingizda o'ttiz oltita kartadan iborat. Sizning vazifangiz qoziqni aralashtirmasdan ketma-ket ikkita kartani chizishdir, birinchi va ikkinchi kartalar eys bo'lishi kerak, kostyum muhim emas.
Birinchi, birinchi kartaning eys bo'lish ehtimolini topamiz, buning uchun biz to'rtni o'ttiz oltiga bo'lamiz. Ular uni chetga surib qo'yishdi. Biz ikkinchi kartani chiqaramiz, bu uch o'ttiz beshdan bir ehtimollik bilan ace bo'ladi. Ikkinchi hodisaning ehtimoli bizni birinchi bo'lib qaysi kartani tortganimizga bog'liq, bizni qiziqtiradibu eysmi yoki yo'qmi. Bundan kelib chiqadiki, B hodisasi A hodisasiga bog'liq.
Keyingi qadam bir vaqtning o'zida amalga oshirish ehtimolini topish, ya'ni biz A va B ni ko'paytiramiz. Ularning mahsuloti quyidagicha topiladi: bir hodisaning ehtimoli ikkinchisining shartli ehtimoli bilan ko'paytiriladi, biz buni hisoblaymiz., birinchi voqea sodir bo'lgan deb faraz qilsak, ya'ni birinchi karta bilan biz eys chizdik.
Hammasi aniq bo'lishi uchun keling, hodisaning shartli ehtimoli kabi elementga belgi beraylik. A hodisa sodir bo'lgan deb hisoblab chiqiladi. Quyidagi tarzda hisoblangan: P(B/A).
Muammomizni hal qilishda davom eting: P(AB)=P(A)P(B/A) yoki P (AB)=P(B)P(A/B). Ehtimollik (4/36)((3/35)/(4/36). Yuzliklarga yaxlitlash orqali hisoblang. Bizda: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Ikkita eysni ketma-ket chizish ehtimoli to‘qqiz yuzdan birga teng. Qiymat juda kichik, shundan kelib chiqadiki, hodisaning yuzaga kelish ehtimoli juda kichik.
Unutilgan raqam
Biz ehtimollik nazariyasi tomonidan o'rganiladigan vazifalar uchun yana bir nechta variantni tahlil qilishni taklif qilamiz. Siz ushbu maqolada ulardan ba'zilarini hal qilish misollarini allaqachon ko'rgansiz, keling, quyidagi muammoni hal qilishga harakat qilaylik: bola do'stining telefon raqamining oxirgi raqamini unutdi, lekin qo'ng'iroq juda muhim bo'lganligi sababli, u hamma narsani navbat bilan tera boshladi. U uch martadan ko'p bo'lmagan qo'ng'iroq qilish ehtimolini hisoblashimiz kerak. Ehtimollar nazariyasi qoidalari, qonunlari va aksiomalari ma’lum bo‘lsa, muammoning yechimi eng oddiy hisoblanadi.
Tomosha qilishdan oldinyechim, uni o'zingiz hal qilishga harakat qiling. Biz bilamizki, oxirgi raqam noldan to'qqizgacha bo'lishi mumkin, ya'ni jami o'nta qiymat mavjud. To'g'rini olish ehtimoli 1/10.
Keyin, biz hodisaning kelib chiqishi variantlarini ko'rib chiqishimiz kerak, deylik, bola to'g'ri taxmin qildi va darhol to'g'ri ball oldi, bunday hodisaning ehtimoli 1/10. Ikkinchi variant: birinchi qo'ng'iroq - o'tkazib yuborilgan, ikkinchisi esa maqsadga qaratilgan. Biz bunday hodisaning ehtimolini hisoblaymiz: 9/10 ni 1/9 ga ko'paytiramiz, natijada biz ham 1/10 ni olamiz. Uchinchi variant: birinchi va ikkinchi qo'ng'iroqlar noto'g'ri manzilda bo'lib chiqdi, faqat uchinchisidan bola xohlagan joyiga etib bordi. Biz bunday hodisaning ehtimolini hisoblaymiz: biz 9/10 ni 8/9 ga va 1/8 ga ko'paytiramiz, natijada biz 1/10 ni olamiz. Muammoning shartiga ko'ra, bizni boshqa variantlar qiziqtirmaydi, shuning uchun natijalarni qo'shish biz uchun qoladi, natijada biz 3/10 ga egamiz. Javob: Bolaning uch martadan ortiq qo'ng'iroq qilish ehtimoli 0,3 ga teng.
Raqamli kartalar
Sizning oldingizda to'qqizta karta bor, ularning har birida birdan to'qqizgacha raqam yozilgan, raqamlar takrorlanmaydi. Ular qutiga solingan va yaxshilab aralashtiriladi. Siz
ehtimolini hisoblashingiz kerak.
- juft raqam chiqadi;
- ikki xonali.
Yechishga o'tishdan oldin, m - muvaffaqiyatli holatlar soni va n - variantlarning umumiy soni ekanligini belgilaylik. Sonning juft bo‘lish ehtimolini toping. To'rtta juft son borligini hisoblash qiyin bo'lmaydi, bu bizning m bo'ladi, jami to'qqizta variant mavjud, ya'ni m=9. Keyin ehtimollik0, 44 yoki 4/9 ga teng.
Ikkinchi holatni ko'rib chiqaylik: variantlar soni to'qqizta va hech qanday muvaffaqiyatli natijalar bo'lishi mumkin emas, ya'ni m nolga teng. Chiqarilgan kartada ikki xonali raqam bo'lish ehtimoli ham nolga teng.
