1900-yilda oʻtgan asrning eng buyuk olimlaridan biri Devid Xilbert matematikadan 23 ta yechilmagan masalalar roʻyxatini tuzgan. Ular ustida olib borilgan ishlar insoniyat bilimining ushbu sohasining rivojlanishiga katta ta'sir ko'rsatdi. 100 yil o'tgach, Kley matematika instituti Mingyillik muammolari deb nomlanuvchi 7 ta muammoning ro'yxatini taqdim etdi. Ularning har biriga 1 million dollar mukofot taklif qilindi.
Bir asrdan koʻproq vaqt davomida olimlarni hayratda qoldirgan jumboqlarning ikkala roʻyxatida paydo boʻlgan yagona muammo Riemann gipotezasi edi. U hali ham qarorini kutmoqda.
Qisqacha biografik eslatma
Georg Fridrix Bernxard Rimann 1826-yilda Gannoverda kambagʻal pastorning katta oilasida tugʻilgan va bor-yoʻgʻi 39 yil yashagan. U 10 ta asar nashr etishga muvaffaq bo'ldi. Biroq, Riemann hayoti davomida o'z ustozi Iogan Gaussning vorisi hisoblangan. Yosh olim 25 yoshida “Kompleks o‘zgaruvchining funksiyalari nazariyasi asoslari” mavzusida nomzodlik dissertatsiyasini himoya qildi. Keyinchalik u shakllantirdiuning mashhur gipotezasi.
Asosiy raqamlar
Matematika inson hisoblashni oʻrganganida paydo boʻlgan. Shu bilan birga, raqamlar haqidagi birinchi g'oyalar paydo bo'ldi, ular keyinchalik tasniflashga harakat qilishdi. Ulardan ba'zilari umumiy xususiyatlarga ega ekanligi kuzatilgan. Xususan, natural sonlar, ya'ni ob'ektlar sonini sanash (raqamlash) yoki belgilashda foydalanilganlar orasida faqat bittaga va o'ziga bo'linadigan guruh ajratilgan. Ular oddiy deb ataladi. Bunday sonlar to'plamining cheksizlik teoremasining nafis isbotini Evklid o'zining "Elementlar" asarida keltirgan. Ayni paytda ularning qidiruv ishlari davom etmoqda. Xususan, allaqachon ma'lum bo'lgan eng katta raqam 274 207 281 – 1.
Eyler formulasi
Evklid tub sonlar toʻplamining cheksizligi tushunchasi bilan bir qatorda tub omillarga yagona mumkin boʻlgan parchalanish haqidagi ikkinchi teoremani ham aniqladi. Unga ko'ra, har qanday musbat son faqat bitta tub sonlar to'plamining mahsulotidir. 1737 yilda buyuk nemis matematigi Leonhard Eyler Evklidning birinchi cheksizlik teoremasini quyidagi formula sifatida ifodalagan.
Bu zeta funktsiyasi deb ataladi, bu erda s doimiy va p barcha asosiy qiymatlarni oladi. Evklidning kengayishning o'ziga xosligi haqidagi bayonoti bevosita undan kelib chiqqan.
Riemann Zeta funktsiyasi
Eyler formulasi, yaqinroq tekshirilganda, to'liqajablanarli, chunki u tub sonlar va butun sonlar o'rtasidagi munosabatni belgilaydi. Axir, faqat tub sonlarga bog'liq bo'lgan cheksiz ko'p iboralar uning chap tomoniga ko'paytiriladi va barcha musbat sonlar bilan bog'langan yig'indi o'ng tomonda joylashgan.
Rimann Eylerdan uzoqroqqa bordi. Raqamlarni taqsimlash muammosining kalitini topish uchun u haqiqiy va murakkab o'zgaruvchilar uchun formulani aniqlashni taklif qildi. Aynan u keyinchalik Riemann zeta funktsiyasi nomini oldi. 1859-yilda olim "Belgilangan qiymatdan oshmaydigan tub sonlar soni to'g'risida" nomli maqola e'lon qildi va unda o'zining barcha fikrlarini jamladi.
Riemann har qanday haqiqiy s>1 uchun birlashuvchi Eyler seriyasidan foydalanishni taklif qildi. Agar kompleks s uchun bir xil formuladan foydalanilsa, u holda bu oʻzgaruvchining har qanday qiymati uchun 1 dan katta haqiqiy qismga ega boʻlgan qatorlar yaqinlashadi. Rieman zeta(lar) ning taʼrifini barcha kompleks sonlarga kengaytirib, analitik davom ettirish protsedurasini qoʻlladi, lekin birlikni "tashqariga tashladi". U chiqarib tashlandi, chunki s=1 da zeta funksiyasi cheksizgacha oshadi.
Amaliy ma'no
Mantiqiy savol tug'iladi: Rimanning nol gipoteza ustidagi ishida asosiy bo'lgan zeta funksiyasi nima uchun qiziqarli va muhim? Ma'lumki, hozirgi vaqtda tub sonlarning natural sonlar o'rtasida taqsimlanishini tavsiflovchi oddiy naqsh aniqlanmagan. Rimann x dan oshmagan tub sonlarning pi(x) soni zeta funksiyasining notrivial nollarining taqsimlanishi bilan ifodalanishini aniqlay oldi. Bundan tashqari, Riemann gipotezasiba'zi kriptografik algoritmlarning ishlashi uchun vaqt hisob-kitoblarini isbotlash uchun zarur shart.
Riman gipotezasi
Bu matematik muammoning bugungi kungacha isbotlanmagan birinchi formulalaridan biri shunday yangraydi: notrivial 0 zeta funksiyalar haqiqiy qismi ½ ga teng kompleks sonlardir. Boshqacha qilib aytganda, ular Re s=½ qatorida joylashgan.
Umumlashtirilgan Rieman gipotezasi ham mavjud, bu xuddi shu bayonotdir, lekin zeta funktsiyalarini umumlashtirish uchun, odatda Dirichlet L-funksiyalari deb ataladi (quyidagi rasmga qarang).
Formulada ch(n) - ba'zi sonli belgilar (modul k).
Riman bayonoti nol gipoteza deb ataladi, chunki u mavjud namunaviy ma'lumotlarga muvofiqligi tekshirilgan.
Riman ta'kidlaganidek
Nemis matematigining gapi dastlab juda oddiy tarzda yozilgan. Gap shundaki, olim o'sha paytda tub sonlarning taqsimoti haqidagi teoremani isbotlamoqchi bo'lgan va bu kontekstda bu faraz alohida ahamiyatga ega emas edi. Biroq, boshqa ko'plab muammolarni hal qilishda uning roli juda katta. Shuning uchun ham Riemannning taxmini hozirda ko‘plab olimlar tomonidan isbotlanmagan matematik muammolarning eng muhimi sifatida tan olingan.
Yuqorida aytib oʻtganimizdek, taqsimot teoremasini isbotlash uchun toʻliq Riman gipotezasi shart emas va zeta funksiyasining har qanday notrivial nolning haqiqiy qismi quyidagi mantiqiy asosda boʻlishini mantiqiy asoslash kifoya.0 va 1 orasida. Bu xossadan kelib chiqadiki, yuqoridagi aniq formulada ko'rinadigan zeta funksiyaning barcha 0 lar ustidagi yig'indisi chekli doimiydir. X ning katta qiymatlari uchun u butunlay yo'qolishi mumkin. Hatto juda katta x uchun ham bir xil bo'lib qoladigan formulaning yagona a'zosi x ning o'zidir. Qolgan murakkab atamalar unga nisbatan asimptotik tarzda yo'qoladi. Shunday qilib, vaznli yig'indi x ga intiladi. Bu holatni tub sonlarni taqsimlash haqidagi teorema haqiqatining tasdig'i deb hisoblash mumkin. Shunday qilib, Riemann zeta funktsiyasining nollari alohida rol o'ynaydi. Bu bunday qiymatlar parchalanish formulasiga sezilarli hissa qo'sha olmasligini isbotlashdan iborat.
Rimanning izdoshlari
Sil kasalligidan fojiali oʻlim bu olimga oʻz dasturini mantiqiy yakuniga yetkazishga imkon bermadi. Biroq, Sh-J uning o'rnini egalladi. de la Vallee Pussin va Jak Hadamard. Ular bir-biridan mustaqil ravishda tub sonlarning taqsimoti haqidagi teoremani chiqardilar. Hadamard va Pussin barcha noaniq 0 zeta funktsiyalari kritik diapazonda ekanligini isbotlashga muvaffaq bo'lishdi.
Bu olimlarning mehnati tufayli matematikada yangi yoʻnalish – sonlarning analitik nazariyasi paydo boʻldi. Keyinchalik, Riemann ustida ishlayotgan teoremaning yana bir qancha ibtidoiy isbotlari boshqa tadqiqotchilar tomonidan qo'lga kiritildi. Xususan, Pal Erdős va Atle Selberg hatto uni tasdiqlovchi juda murakkab mantiqiy zanjirni ham kashf etdilar, bu murakkab tahlildan foydalanishni talab qilmaydi. Biroq, bu nuqtaga kelib, bir nechta muhimteoremalar, shu jumladan ko'plab sonlar nazariyasi funktsiyalarining yaqinlashishi. Shu munosabat bilan, Erdos va Atle Selbergning yangi ishi deyarli hech narsaga ta'sir qilmadi.
Muammoning eng oddiy va eng chiroyli isbotlaridan biri 1980 yilda Donald Nyuman tomonidan topilgan. U mashhur Koshi teoremasiga asoslangan edi.
Riman gipotezasi zamonaviy kriptografiya asoslariga tahdid soladimi
Ma'lumotlarni shifrlash ierogliflarning paydo bo'lishi bilan birga paydo bo'ldi, aniqrog'i, ularning o'zlarini birinchi kodlar deb hisoblash mumkin. Ayni paytda raqamli kriptografiyaning butun sohasi mavjud bo'lib, u shifrlash algoritmlarini ishlab chiqmoqda.
Asosiy va "yarim tub" raqamlar, ya'ni faqat bitta sinfdagi 2 ta boshqa raqamlarga bo'linadiganlar RSA deb nomlanuvchi ochiq kalitlar tizimining asosini tashkil qiladi. U eng keng dasturga ega. Xususan, u elektron imzoni yaratishda qo'llaniladi. Riemann gipotezasi dummilar uchun mavjud bo'lgan atamalar bilan aytganda, tub sonlarni taqsimlashda tizim mavjudligini tasdiqlaydi. Shunday qilib, elektron tijorat sohasida onlayn tranzaktsiyalar xavfsizligi bog'liq bo'lgan kriptografik kalitlarning kuchi sezilarli darajada kamayadi.
Boshqa yechilmagan matematik muammolar
Maqolani boshqa mingyillik maqsadlariga bir necha so'z bag'ishlab tugatishga arziydi. Bunga quyidagilar kiradi:
- P va NP sinflarining tengligi. Muammo quyidagicha tuzilgan: agar ma'lum bir savolga ijobiy javob ko'p nomli vaqtda tekshirilsa, bu savolga javobning o'zi rostmi?tez topish mumkinmi?
- Xodjning taxmini. Oddiy so'z bilan aytganda, uni quyidagicha shakllantirish mumkin: proyektiv algebraik navlarning (bo'shliqlarning) ayrim turlari uchun Xodj sikllari geometrik talqinga ega bo'lgan ob'ektlar kombinatsiyasi, ya'ni algebraik tsikllardir.
- Puankarening taxmini. Bu hozirgacha isbotlangan yagona Mingyillik chaqiruvidir. Unga koʻra, 3 oʻlchovli sharning oʻziga xos xususiyatlariga ega boʻlgan har qanday 3 oʻlchamli obʼyekt deformatsiyagacha shar boʻlishi kerak.
- Yangning kvant nazariyasini tasdiqlash - Mills. Bu olimlar tomonidan ilgari surilgan R 4 fazo uchun kvant nazariyasi mavjudligini va har qanday oddiy ixcham oʻlchov Guruhi uchun 0-massa nuqsoniga ega ekanligini isbotlash talab etiladi.
- Birch-Svinnerton-Dyer gipotezasi. Bu kriptografiya bilan bog'liq yana bir masala. U elliptik egri chiziqlarga tegadi.
- Navier-Stoks tenglamalari yechimlarining mavjudligi va silliqligi muammosi.
Endi siz Riemann gipotezasini bilasiz. Oddiy qilib aytganda, biz boshqa Mingyillik vazifalaridan ba'zilarini ishlab chiqdik. Ularning hal etilishi yoki yechimi yo'qligi isbotlanishi vaqt masalasidir. Bundan tashqari, bu juda uzoq kutishga to'g'ri kelmaydi, chunki matematika kompyuterlarning hisoblash imkoniyatlaridan tobora ko'proq foydalanmoqda. Biroq, hamma narsa texnologiyaga bo'ysunmaydi va ilmiy muammolarni hal qilish uchun birinchi navbatda sezgi va ijodkorlik talab etiladi.
