Echilmaydigan masalalar 7 ta eng qiziqarli matematik masalalardir. Ularning har biri bir vaqtning o'zida taniqli olimlar tomonidan, qoida tariqasida, gipoteza shaklida taklif qilingan. Ko'p o'n yillar davomida butun dunyo bo'ylab matematiklar o'zlarining yechimlari ustida boshlarini chalg'itdilar. Muvaffaqiyatga erishganlar Clay Institute tomonidan taklif qilingan million AQSh dollari bilan taqdirlanadilar.
Backstory
1900-yilda buyuk nemis matematigi Devid Xilbert 23 ta masala roʻyxatini taqdim etdi.
Ularni hal qilish uchun olib borilgan tadqiqotlar 20-asr faniga katta ta'sir ko'rsatdi. Ayni paytda ularning aksariyati sir bo'lishni to'xtatdi. Yechilmagan yoki qisman hal qilinganlar orasida:
- arifmetik aksiomalar izchilligi muammosi;
- har qanday son maydonining fazodagi umumiy oʻzaro qonuni;
- fizik aksiomalarning matematik tadqiqi;
- ixtiyoriy algebraik sonlar uchun kvadrat shakllarni oʻrganishkoeffitsient;
- Fyodor Shubertning hisoblash geometriyasini qat'iy asoslash muammosi;
- va boshqalar
O'rganilmaganlar: taniqli Kroneker teoremasini ratsionallikning har qanday algebraik mintaqasiga va Riman gipotezasiga kengaytirish muammosi.
The Clay Institute
Bu shtab-kvartirasi Massachusets shtatining Kembrij shahrida joylashgan xususiy notijorat tashkilotining nomi. U 1998 yilda Garvard matematiki A. Jeffi va biznesmen L. Kley tomonidan asos solingan. Institutning maqsadi matematik bilimlarni ommalashtirish va rivojlantirishdir. Bunga erishish uchun tashkilot olimlar va istiqbolli tadqiqot homiylarini mukofotlaydi.
21-asrning boshlarida Kley Matematika Instituti eng qiyin yechilmaydigan muammolarni hal qilganlarga mukofot taklif qildi va ularning ro'yxatini Mingyillik mukofoti muammolari deb nomladi. Hilbert ro'yxatiga faqat Riemann gipotezasi kiritilgan.
Mingyillik muammolari
The Clay Institute roʻyxati dastlab kiritilgan:
- Xodj sikli gipotezasi;
- kvant Yang-Mills nazariyasi tenglamalari;
- Puankare gipotezasi;
- P va NP sinflarining tengligi muammosi;
- Riman gipotezasi;
- Navier-Stokes tenglamalari, uning yechimlarining mavjudligi va silliqligi haqida;
- Birch-Svinnerton-Dyer muammosi.
Bu ochiq matematik muammolar katta qiziqish uyg'otadi, chunki ular ko'plab amaliy tadbiqlarga ega bo'lishi mumkin.
Grigoriy Perelman nimani isbotladi
1900-yilda mashhur faylasuf Anri Puankare chegarasiz har qanday oddiy bogʻlangan ixcham 3-manifold 3 oʻlchovli sferaga gomeomorf ekanligini taklif qildi. Umumiy holatda uning isboti bir asr davomida topilmadi. Faqat 2002-2003 yillarda peterburglik matematik G. Perelman Puankare muammosining yechimi bilan bir qator maqolalar chop etdi. Ular portlovchi bomba ta'siriga ega edi. 2010 yilda Puankare gipotezasi Kley institutining "Yechilmagan muammolari" ro'yxatidan chiqarib tashlandi va Perelmanning o'ziga unga tegishli bo'lgan katta haq olish taklif qilindi, ikkinchisi o'z qarorining sabablarini tushuntirmasdan rad etdi.
Rus matematigi isbotlay olgan narsaning eng tushunarli izohini rezina diskning donutga (torus) tortilishini tasavvur qilish orqali berish mumkin, keyin esa ular uning doira chetlarini bir nuqtaga tortishga harakat qilishadi. Bu mumkin emasligi aniq. Yana bir narsa, agar siz bu tajribani to'p bilan qilsangiz. Bunday holda, aylanasi gipotetik shnur orqali bir nuqtaga tortilgan diskdan paydo bo'lgan uch o'lchamli ko'rinadigan shar oddiy odamning tushunishida uch o'lchovli bo'ladi, lekin matematika nuqtai nazaridan ikki o'lchovli bo'ladi.
Puankare uch oʻlchamli shar sirti bir nuqtaga qisqarishi mumkin boʻlgan yagona uch oʻlchamli “obʼyekt” ekanligini aytdi va Perelman buni isbotlashga muvaffaq boʻldi. Shunday qilib, bugungi kunda "Yechilmaydigan muammolar" ro'yxati 6 ta muammodan iborat.
Yang-Mills nazariyasi
Bu matematik masala uning mualliflari tomonidan 1954 yilda taklif qilingan. Nazariyaning ilmiy formulasi quyidagicha:har qanday oddiy ixcham o'lchov guruhi uchun Yang va Mills tomonidan yaratilgan kvant fazoviy nazariya mavjud va ayni paytda nol massa nuqsoniga ega.
Oddiy odamga tushunarli tilda gapiradigan boʻlsak, tabiiy jismlar (zarralar, jismlar, toʻlqinlar va boshqalar) oʻrtasidagi oʻzaro taʼsirlar 4 turga boʻlinadi: elektromagnit, tortishish, kuchsiz va kuchli. Ko'p yillar davomida fiziklar umumiy maydon nazariyasini yaratishga harakat qilishdi. Bu barcha o'zaro ta'sirlarni tushuntirish uchun vositaga aylanishi kerak. Yang-Mills nazariyasi - bu matematik til bo'lib, uning yordamida tabiatning 4 ta asosiy kuchidan 3 tasini tasvirlash mumkin bo'ldi. Bu tortishish kuchiga taalluqli emas. Shuning uchun Yang va Mills maydon nazariyasini yaratishga muvaffaq bo'lishdi, deb hisoblash mumkin emas.
Bundan tashqari, taklif qilingan tenglamalarning chiziqli emasligi ularni yechishda juda qiyin. Kichik birlashtiruvchi konstantalar uchun ular taxminan bir qator buzilish nazariyasi shaklida echilishi mumkin. Biroq, bu tenglamalarni kuchli ulanish bilan qanday yechish mumkinligi hali aniq emas.
Navier-Stoks tenglamalari
Bu iboralar havo oqimlari, suyuqlik oqimi va turbulentlik kabi jarayonlarni tavsiflaydi. Ba'zi maxsus holatlar uchun Navier-Stokes tenglamasining analitik echimlari allaqachon topilgan, ammo hozirgacha hech kim buni umumiy uchun bajara olmadi. Shu bilan birga, tezlik, zichlik, bosim, vaqt va hokazolarning aniq qiymatlari uchun raqamli simulyatsiyalar ajoyib natijalarga erishishi mumkin. Kimdir Navier-Stoks tenglamalarini teskari yo'nalishda qo'llashi mumkinligiga umid qilish kerak.yoʻnalish, yaʼni ular yordamida parametrlarni hisoblang yoki yechim usuli yoʻqligini isbotlang.
Birch-Svinnerton-Dyer muammosi
“Yechilmagan muammolar” turkumiga Kembrij universitetining britaniyalik olimlari tomonidan taklif qilingan gipoteza ham kiradi. Bundan 2300 yil oldin ham qadimgi yunon olimi Evklid x2 + y2=z2 tenglama yechimlarining to'liq tavsifini bergan.
Agar har bir tub son uchun egri chiziqdagi nuqtalar sonini modul boʻyicha hisoblasak, cheksiz butun sonlar toʻplamini olamiz. Agar siz uni kompleks oʻzgaruvchining 1 funksiyasiga maxsus “yopishtirsangiz”, u holda siz L harfi bilan belgilangan uchinchi tartibli egri chiziq uchun Hasse-Vayl zeta funksiyasini olasiz. Unda bir vaqtning oʻzida barcha tub sonlarning xatti-harakati moduli haqidagi maʼlumotlar mavjud.
Brian Birch va Piter Svinnerton-Dyer elliptik egri chiziqlar haqida taxmin qildilar. Unga ko'ra, uning ratsional yechimlari to'plamining tuzilishi va soni L-funksiyaning identifikatsiyadagi xatti-harakati bilan bog'liq. Hozirda isbotlanmagan Birch-Svinnerton-Dyer gipotezasi 3-darajali algebraik tenglamalar tavsifiga bog‘liq va elliptik egri chiziqlar darajasini hisoblashning yagona nisbatan oddiy umumiy usuli hisoblanadi.
Bu vazifaning amaliy ahamiyatini tushunish uchun shuni aytish kifoyaki, zamonaviy kriptografiyada assimetrik tizimlarning butun klassi elliptik egri chiziqlarga, mahalliy raqamli imzo standartlari esa ularni qoʻllashga asoslangan.
P va np sinflarining tengligi
Agar Mingyillik muammolarining qolganlari faqat matematik bo'lsa, unda bualgoritmlarning haqiqiy nazariyasiga munosabat. Kuk-Levin muammosi deb ham ataladigan p va np sinflarining tengligi muammosi tushunarli tilda quyidagicha ifodalanishi mumkin. Aytaylik, ma'lum bir savolga ijobiy javob etarlicha tez tekshirilishi mumkin, ya'ni polinom vaqtida (PT). Unda javobni juda tez topish mumkin degan gap to'g'rimi? Bu muammo yanada soddaroq ko'rinadi: haqiqatan ham muammoning echimini topishdan ko'ra uni tekshirish qiyinroq emasmi? Agar p va np sinflarining tengligi isbotlangan bo'lsa, u holda PV uchun barcha tanlash masalalarini hal qilish mumkin. Ayni paytda ko'plab ekspertlar bu gapning haqiqatiga shubha qilishmoqda, garchi ular buning aksini isbotlay olmasalar ham.
Riman gipotezasi
1859 yilgacha tub sonlarning natural sonlar orasida qanday taqsimlanishini tavsiflovchi naqsh topilmadi. Ehtimol, bu fanning boshqa masalalar bilan shug'ullanishi bilan bog'liqdir. Biroq, 19-asrning o'rtalariga kelib, vaziyat o'zgardi va ular matematika shug'ullana boshlagan eng dolzarb masalalardan biriga aylandi.
Bu davrda paydo boʻlgan Riman gipotezasi tub sonlarning taqsimlanishida maʼlum bir qonuniyat mavjudligi haqidagi farazdir.
Bugungi kunda koʻplab zamonaviy olimlarning fikricha, agar bu isbotlansa, elektron tijorat mexanizmlarining muhim qismini tashkil etuvchi zamonaviy kriptografiyaning koʻplab fundamental tamoyillarini qayta koʻrib chiqish zarur boʻladi.
Riman gipotezasiga ko'ra, xaraktertub sonlarning taqsimlanishi hozirgi taxmin qilinganidan sezilarli darajada farq qilishi mumkin. Gap shundaki, hozirgi kunga qadar tub sonlarni taqsimlash tizimi topilmagan. Masalan, "egizaklar" muammosi bor, ularning orasidagi farq 2. Bu raqamlar 11 va 13, 29. Boshqa tub sonlar klasterlarni tashkil qiladi. Bular 101, 103, 107 va boshqalar. Olimlar juda katta tub sonlar orasida bunday klasterlar mavjudligiga uzoq vaqtdan beri gumon qilishgan. Agar ular topilsa, zamonaviy kripto kalitlarining kuchi shubha ostida qoladi.
Xodj sikli gipotezasi
Bu haligacha hal etilmagan muammo 1941 yilda ishlab chiqilgan. Xodjning gipotezasi har qanday ob'ektning shaklini yuqori o'lchamdagi oddiy jismlarni bir-biriga "yopishtirish" orqali yaqinlashtirish imkoniyatini taklif qiladi. Bu usul uzoq vaqtdan beri ma'lum va muvaffaqiyatli qo'llanilgan. Biroq qay darajada soddalashtirish mumkinligi ma'lum emas.
Endi qanday hal qilib boʻlmaydigan muammolar borligini bilasiz. Ular butun dunyo bo'ylab minglab olimlar tomonidan tadqiqot mavzusidir. Umid qilish kerakki, ular yaqin kelajakda hal qilinadi va ularning amaliy qo'llanilishi insoniyatga texnologik taraqqiyotning yangi bosqichiga kirishga yordam beradi.
