Teklik tenglamalari. Ikki tekislik orasidagi burchak

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-02 17:58

Teklik nuqta va toʻgʻri chiziq bilan birga asosiy geometrik element hisoblanadi. Uning ishlatilishi bilan fazoviy geometriyadagi ko'plab raqamlar qurilgan. Ushbu maqolada biz ikkita tekislik orasidagi burchakni qanday topish masalasini batafsil ko'rib chiqamiz.

Konseptsiya

Ikki tekislik orasidagi burchak haqida gapirishdan oldin, geometriyada qaysi element haqida gapirayotganimizni yaxshi tushunishingiz kerak. Keling, terminologiyani tushunaylik. Samolyot - bu kosmosdagi cheksiz nuqtalar to'plami bo'lib, ularni bog'lab, biz vektorlarni olamiz. Ikkinchisi bitta vektorga perpendikulyar bo'ladi. U odatda tekislikning normali deb ataladi.

Yuqoridagi rasmda tekislik va unga ikkita normal vektor ko'rsatilgan. Ko'rinib turibdiki, ikkala vektor ham bir to'g'ri chiziqda yotadi. Ularning orasidagi burchak 180o.

Tenglamalar

Ikki tekislik orasidagi burchakni, agar ko'rib chiqilayotgan geometrik elementning matematik tenglamasi ma'lum bo'lsa, aniqlash mumkin. Bunday tenglamalarning bir nechta turlari mavjud,ismlari quyida keltirilgan:

• umumiy turi;
• vektor;
• segmentlarda.

Ushbu uchta tur har xil turdagi muammolarni hal qilish uchun eng qulay hisoblanadi, shuning uchun ular eng koʻp ishlatiladi.

Umumiy turdagi tenglama quyidagicha koʻrinadi:

Ax + By + Cz + D=0.

Bu yerda x, y, z - berilgan tekislikka tegishli ixtiyoriy nuqtaning koordinatalari. A, B, C va D parametrlari raqamlardir. Bu belgining qulayligi shundan iboratki, A, B, C raqamlari tekislikka normal vektorning koordinatalaridir.

Samolyotning vektor shakli quyidagicha ifodalanishi mumkin:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + a(a₁, b₁, c₁) + b(a ₂, b₂, c_2).

Bu yerda (a₂, b₂, c₂) va (a ₁, b₁, c₁) - ko'rib chiqilayotgan tekislikka tegishli ikkita koordinata vektorining parametrlari. Nuqta (x₀, y₀, z_{0) ham shu tekislikda yotadi. a va b parametrlari mustaqil va ixtiyoriy qiymatlarni qabul qilishi mumkin.}

Nihoyat, segmentlardagi tekislik tenglamasi quyidagi matematik shaklda ifodalanadi:

x/p + y/q + z/l=1.

Bu yerda p, q, l aniq sonlar (shu jumladan manfiy). Ushbu turdagi tenglama tekislikni to'rtburchaklar koordinatalar tizimida tasvirlash zarur bo'lganda foydalidir, chunki p, q, l raqamlari x, y va z o'qlari bilan kesishish nuqtalarini ko'rsatadi.samolyot.

Esda tutingki, har bir turdagi tenglamani oddiy matematik amallar yordamida istalgan boshqasiga aylantirish mumkin.

Ikki tekislik orasidagi burchak formulasi

Endi quyidagi nuanceni ko'rib chiqing. Uch o'lchovli fazoda ikkita tekislik faqat ikkita usulda joylashishi mumkin. Yo kesib o'ting yoki parallel bo'ling. Ikki tekislik orasidagi burchak ularning yo'n altiruvchi vektorlari (normal) o'rtasida joylashgan narsadir. Kesishgan, 2 vektor 2 burchak hosil qiladi (umumiy holatda o'tkir va o'tkir). Samolyotlar orasidagi burchak o'tkir deb hisoblanadi. Tenglamani ko'rib chiqing.

Ikki tekislik orasidagi burchak formulasi:

th=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Bu ifoda n₁¯ va n₂ normal vektorlarining skalyar koʻpaytmasining bevosita natijasi ekanligini taxmin qilish oson. ¯ ko'rib chiqilayotgan samolyotlar uchun. Numeratordagi nuqta mahsulotining moduli th burchagi faqat 0^o dan 90^{o gacha qiymatlarni olishini bildiradi. Mahramadagi normal vektorlar modullarining ko‘paytmasi ularning uzunliklarining ko‘paytmasini bildiradi.}

Eslatma, agar (n₁¯n_{2¯)=0 bo'lsa, tekisliklar to'g'ri burchak ostida kesishadi.}

Misol muammo

Ikki tekislik orasidagi burchak nima deb ataladiganini aniqlab, biz quyidagi masalani yechamiz. Misol tariqasida. Shunday qilib, bunday tekisliklar orasidagi burchakni hisoblash kerak:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + a(1, 1, -1) + b(0, 2, 3).

Muammoni yechish uchun siz tekisliklarning yoʻnalish vektorlarini bilishingiz kerak. Birinchi tekislik uchun normal vektor: n₁¯=(2, -3, 0). Ikkinchi tekislik normal vektorini topish uchun a va b parametrlardan keyingi vektorlarni ko'paytirish kerak. Natijada vektor: n_{2¯=(5, -3, 2).}

T burchakni aniqlash uchun biz oldingi paragrafdagi formuladan foydalanamiz. Biz olamiz:

th=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Radianlarda hisoblangan burchak 31,26^o ga mos keladi. Shunday qilib, masala shartidagi tekisliklar 31, 26^{o burchak ostida kesishadi.}