Odatiy geometrik muammo bu chiziqlar orasidagi burchakni topishdir. Tekislikda, agar chiziqlar tenglamalari ma'lum bo'lsa, ularni chizish va burchakni transportyor bilan o'lchash mumkin. Biroq, bu usul mashaqqatli va har doim ham mumkin emas. Belgilangan burchakni bilish uchun to'g'ri chiziqlar chizish shart emas, uni hisoblash mumkin. Bu qanday amalga oshirilishiga ushbu maqola javob beradi.
Toʻgʻri chiziq va uning vektor tenglamasi
Har qanday toʻgʻri chiziq -∞ dan boshlanib, +∞ da tugaydigan vektor sifatida tasvirlanishi mumkin. Bunda vektor fazoning qaysidir nuqtasidan o'tadi. Shunday qilib, to'g'ri chiziqning istalgan ikkita nuqtasi orasiga o'tkaziladigan barcha vektorlar bir-biriga parallel bo'ladi. Bu taʼrif vektor koʻrinishida toʻgʻri chiziq tenglamasini oʻrnatish imkonini beradi:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + a(a; b; c)
Bu yerda (a; b; c) koordinatali vektor (x0; y0) nuqtadan oʻtuvchi chiziq uchun yoʻn altiruvchi hisoblanadi.; z0).a parametri belgilangan nuqtani ushbu chiziq uchun boshqa istalgan nuqtaga o'tkazish imkonini beradi. Bu tenglama intuitiv va 3D kosmosda ham, tekislikda ham ishlash oson. Samolyot uchun u z koordinatalarini va uchinchi yo'nalish vektor komponentini o'z ichiga olmaydi.
Vektor tenglamasidan foydalanish hisob-kitoblarni bajarish va toʻgʻri chiziqlarning nisbiy oʻrnini oʻrganish qulayligi uning yoʻn altiruvchi vektori maʼlum boʻlganligi bilan bogʻliq. Uning koordinatalari chiziqlar orasidagi burchak va ular orasidagi masofani hisoblash uchun ishlatiladi.
Teklikdagi toʻgʻri chiziq uchun umumiy tenglama
Ikki oʻlchovli holat uchun toʻgʻri chiziqning vektor tenglamasini aniq yozamiz. Bu shunday ko'rinadi:
x=x0+ aa;
y=y0+ ab
Endi biz har bir tenglik uchun a parametrini hisoblaymiz va olingan tengliklarning to'g'ri qismlarini tenglashtiramiz:
a=(x - x0)/a;
a=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Qavslarni ochib, barcha shartlarni tenglikning bir tomoniga o'tkazsak, biz quyidagilarni olamiz:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, bu erda A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Olingan ifoda ikki oʻlchovli fazoda berilgan toʻgʻri chiziqning umumiy tenglamasi deb ataladi (uch oʻlchovlida bu tenglama toʻgʻri chiziq emas, z oʻqiga parallel tekislikka mos keladi).
Agar bu ifodada y dan x ga aniq yozilsa, quyidagi shaklni olamiz, ma'lumhar bir talaba:
y=kx + p, bu erda k=-A/B, p=-C/B
Ushbu chiziqli tenglama tekislikdagi toʻgʻri chiziqni yagona aniqlaydi. Uni taniqli tenglama bo'yicha chizish juda oson, buning uchun siz navbat bilan x=0 va y=0 ni qo'yishingiz, koordinatalar tizimidagi tegishli nuqtalarni belgilashingiz va olingan nuqtalarni bog'laydigan to'g'ri chiziq chizishingiz kerak.
Chiziqlar orasidagi burchak formulasi
Teklikda ikkita chiziq kesishishi yoki bir-biriga parallel boʻlishi mumkin. Kosmosda bu variantlarga egilgan chiziqlarning mavjudligi qo'shiladi. Ushbu bir o'lchovli geometrik jismlarning nisbiy pozitsiyasining qaysi versiyasi amalga oshirilmasin, ular orasidagi burchakni har doim quyidagi formula bilan aniqlash mumkin:
ph=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Bu yerda v1¯ va v2¯ mos ravishda 1 va 2-qator uchun yo’n altiruvchi vektorlardir. Numerator nuqta ko'paytmasining moduli bo'lib, o'tkir burchaklarni istisno qiladi va faqat o'tkir burchaklarni hisobga oladi.
v1¯ va v2¯ vektorlari ikki yoki uchta koordinata bilan berilishi mumkin, bunda burchak formulasi ph o'zgarishsiz qoladi.
Chiziqlarning parallelligi va perpendikulyarligi
Yuqoridagi formula yordamida hisoblangan 2 ta chiziq orasidagi burchak 0o bo’lsa, ular parallel deyiladi. Chiziqlar parallel yoki parallel emasligini aniqlash uchun burchakni hisoblab bo'lmaydiph, bitta yo'nalish vektorini boshqa chiziqning o'xshash vektori orqali ko'rsatish mumkinligini ko'rsatish kifoya, ya'ni:
v1¯=qv2¯
Bu yerda q haqiqiy son.
Agar chiziqlar tenglamalari quyidagicha berilgan boʻlsa:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
bunda ular x koeffitsientlari teng bo'lgandagina parallel bo'ladi, ya'ni:
k1=k2
Bu faktni k koeffitsienti toʻgʻri chiziqning yoʻn altiruvchi vektori koordinatalari bilan qanday ifodalanishini koʻrib chiqsak, isbotlash mumkin.
Agar chiziqlar orasidagi kesishish burchagi 90o bo’lsa, ular perpendikulyar deyiladi. Chiziqlarning perpendikulyarligini aniqlash uchun ph burchagini ham hisoblash shart emas, buning uchun faqat v1¯ va v vektorlarining skalyar mahsulotini hisoblash kifoya. 2¯. Nol boʻlishi kerak.
Fazoda kesishuvchi toʻgʻri chiziqlar boʻlsa, ph burchak formulasidan ham foydalanish mumkin. Bunday holda, natija to'g'ri talqin qilinishi kerak. Hisoblangan ph kesishmaydigan va parallel boʻlmagan chiziqlarning yoʻnalish vektorlari orasidagi burchakni koʻrsatadi.
1-topshiriq. Perpendikulyar chiziqlar
Ma'lumki, chiziqlar tenglamalari quyidagi ko'rinishga ega:
(x; y)=(1; 2) + a(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + b(-4; 2)
Bu satrlar bor yoki yoʻqligini aniqlash kerakperpendikulyar.
Yuqorida aytib oʻtilganidek, savolga javob berish uchun (1; 2) va (-4; 2) koordinatalariga mos keladigan yoʻriqnomalar vektorlarining skalyar koʻpaytmasini hisoblash kifoya. Bizda:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Biz 0 ga ega boʻlganimiz uchun, bu koʻrib chiqilayotgan chiziqlar toʻgʻri burchak ostida kesishadi, yaʼni ular perpendikulyardir.
2-topshiriq. Chiziqning kesishish burchagi
Ma'lumki, to'g'ri chiziqlar uchun ikkita tenglama quyidagi ko'rinishga ega:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Chiziqlar orasidagi burchakni topish kerak.
X koeffitsientlari turli qiymatlarga ega bo'lgani uchun bu chiziqlar parallel emas. Ular kesishganda hosil boʻladigan burchakni topish uchun tenglamalarning har birini vektor koʻrinishiga oʻtkazamiz.
Birinchi qator uchun biz olamiz:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Tenglamaning o'ng tomonida koordinatalari x ga bog'liq vektorni oldik. Keling, uni ikkita vektor yig'indisi sifatida ko'rsatamiz va birinchisining koordinatalarida x o'zgaruvchisi, ikkinchisining koordinatalari esa faqat raqamlardan iborat bo'ladi:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
X ixtiyoriy qiymatlarni qabul qilganligi uchun uni a parametri bilan almashtirish mumkin. Birinchi qator uchun vektor tenglamasi quyidagicha bo'ladi:
(x; y)=(0; - 1) + a(1; 2)
Biz chiziqning ikkinchi tenglamasi bilan bir xil amallarni bajaramiz, biz olamiz:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + b(1; -1)
Biz asl tenglamalarni vektor ko'rinishida qayta yozdik. Endi siz kesishish burchagi uchun formuladan foydalanishingiz mumkin, unda chiziqlarning yo'n altiruvchi vektorlarining koordinatalarini almashtiring:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
ph=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Shunday qilib, koʻrib chiqilayotgan chiziqlar 71,565o yoki 1,249 radian burchak ostida kesishadi.
Bu muammoni boshqacha hal qilish mumkin edi. Buning uchun har bir to'g'ri chiziqning ikkita ixtiyoriy nuqtasini olish, ulardan to'g'ridan-to'g'ri vektorlar tuzish va keyin ph formulasidan foydalanish kerak edi.
