Toʻgʻri chiziq tekislikdagi va uch oʻlchamli fazodagi asosiy geometrik jismdir. Aynan to'g'ri chiziqlardan ko'plab figuralar qurilgan, masalan: parallelogram, uchburchak, prizma, piramida va boshqalar. Maqolada chiziqlar tenglamalarini o'rnatishning turli usullarini ko'rib chiqing.
Toʻgʻri chiziq taʼrifi va uni tavsiflovchi tenglamalar turlari
Har bir talaba qaysi geometrik jism haqida gapirayotgani haqida yaxshi tasavvurga ega. To'g'ri chiziqni nuqtalar yig'indisi sifatida tasvirlash mumkin va agar biz ularning har birini boshqa barcha bilan navbatma-navbat bog'lasak, biz parallel vektorlar to'plamini olamiz. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, chiziqning har bir nuqtasiga uning qo'zg'almas nuqtalaridan biridan borish mumkin, uni qandaydir birlik vektoriga haqiqiy songa ko'paytiriladi. Toʻgʻri chiziqning bu taʼrifi uning tekislikda ham, uch oʻlchamli fazoda ham matematik tavsifi uchun vektor tengligini aniqlash uchun ishlatiladi.
Toʻgʻri chiziqni matematik tarzda quyidagi turdagi tenglamalar bilan ifodalash mumkin:
- umumiy;
- vektor;
- parametrik;
- segmentlarda;
- simmetrik (kanonik).
Keyin, biz barcha nom berilgan turlarni koʻrib chiqamiz va muammolarni echish misollari yordamida ular bilan qanday ishlashni koʻrsatamiz.
Toʻgʻri chiziqning vektor va parametrik tavsifi
Ma'lum vektor orqali to'g'ri chiziqni belgilashdan boshlaylik. Faraz qilaylik, M fazoda qo'zg'almas nuqta bor (x0; y0; z0). Ma'lumki, to'g'ri chiziq u orqali o'tadi va v¯(a; b; c) vektor segmenti bo'ylab yo'n altiriladi. Ushbu ma'lumotlardan chiziqning ixtiyoriy nuqtasini qanday topish mumkin? Bu savolga javob quyidagi tenglikni beradi:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + l(a; b; c)
Bu yerda l ixtiyoriy son.
Vektorlar va nuqtalar koordinatalari ikkita raqam toʻplami bilan ifodalanadigan ikki oʻlchovli holat uchun ham xuddi shunday ifoda yozilishi mumkin:
(x; y)=(x0; y0) + l(a; b)
Yozilgan tenglamalar vektor tenglamalar deb ataladi va yo'n altirilgan v¯ segmentining o'zi to'g'ri chiziq uchun yo'nalish vektoridir.
Yozma ifodalardan mos parametrik tenglamalar oddiygina olinadi, ularni aniq qayta yozish kifoya. Masalan, fazodagi holat uchun quyidagi tenglamani olamiz:
x=x0+ la;
y=y0+ lb;
z=z0+ lc
Agar siz xatti-harakatlarni tahlil qilishingiz kerak bo'lsa, parametrik tenglamalar bilan ishlash qulayhar bir koordinata. Esda tutingki, l parametri ixtiyoriy qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo‘lsa-da, u barcha uchta tenglikda bir xil bo‘lishi kerak.
Umumiy tenglama
Ko'rib chiqilayotgan geometrik ob'ekt bilan ishlashda ko'pincha ishlatiladigan to'g'ri chiziqni aniqlashning yana bir usuli bu umumiy tenglamadan foydalanishdir. Ikki oʻlchovli holat uchun u quyidagicha koʻrinadi:
Ax + By + C=0
Bu yerda bosh lotin harflari aniq raqamli qiymatlarni bildiradi. Masalalarni yechishda bu tenglikning qulayligi shundaki, u to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar vektorni aniq o‘z ichiga oladi. Agar uni n¯ bilan belgilasak, u holda yozishimiz mumkin:
n¯=[A; B]
Bundan tashqari, ifoda toʻgʻri chiziqdan qandaydir P nuqtagacha boʻlgan masofani aniqlashda foydalanish uchun qulaydir(x1; y1). d masofasi formulasi:
d=|Ax1+ By1+ C| / √(A2+ B2)
Ko'rsatish oson, agar y o'zgaruvchisini umumiy tenglamadan aniq ifodalasak, to'g'ri chiziq yozishning quyidagi mashhur shaklini olamiz:
y=kx + b
Bu yerda k va b yagona A, B, C raqamlari bilan aniqlanadi.
Segmentlardagi tenglama va kanonik
Segmentlardagi tenglamani umumiy koʻrinishdan olish eng oson. Buni qanday qilishni sizga ko‘rsatamiz.
Bizda quyidagi qator bor deylik:
Ax + By + C=0
Erkin atamani tenglikning oʻng tomoniga oʻtkazing, soʻngra butun tenglamani unga boʻlamiz, biz:
Ax + By=-C;
x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;
x / q + y / p=1, bu erda q=-C / A, p=-C / B
Biz segmentlardagi tenglamani oldik. U har bir o'zgaruvchi bo'linadigan maxraj chiziqning mos keladigan o'q bilan kesishishi koordinatasining qiymatini ko'rsatishi sababli o'z nomini oldi. Bu faktdan to‘g‘ri chiziqni koordinatalar sistemasida tasvirlash, shuningdek, uning boshqa geometrik jismlarga (to‘g‘ri chiziqlar, nuqtalar) nisbatan nisbiy o‘rnini tahlil qilishda foydalanish qulay.
Endi kanonik tenglamani olishga oʻtamiz. Agar parametrik variantni ko'rib chiqsak, buni qilish osonroq. Samolyotdagi holat uchun bizda:
x=x0+ la;
y=y0+ lb
Har bir tenglikda l parametrini ifodalaymiz, keyin ularni tenglashtiramiz, olamiz:
l=(x - x0) / a;
l=(y - y0) / b;
(x - x0) / a=(y - y0) / b
Bu simmetrik shaklda yozilgan kerakli tenglama. Xuddi vektor ifodasi kabi, u yoʻnalish vektorining koordinatalarini va chiziqqa tegishli nuqtalardan birining koordinatalarini aniq oʻz ichiga oladi.
Ko'rinib turibdiki, bu bandda biz ikki o'lchovli holat uchun tenglamalar berganmiz. Xuddi shunday, siz fazoda to'g'ri chiziq tenglamasini yozishingiz mumkin. Bu erda ta'kidlash kerakki, agar kanonik shaklsegmentlardagi yozuvlar va ifodalar bir xil ko'rinishga ega bo'ladi, keyin to'g'ri chiziq uchun fazodagi umumiy tenglama kesishgan tekisliklar uchun ikkita tenglama tizimi bilan ifodalanadi.
Toʻgʻri chiziq tenglamasini tuzish masalasi
Geometriyadan har bir talaba ikkita nuqta orqali bitta chiziq chizish mumkinligini biladi. Koordinata tekisligida quyidagi nuqtalar berilgan deb faraz qilaylik:
M1(1; 2);
M2(-1; 3)
Ikkala nuqta tegishli boʻlgan chiziq tenglamasini segmentlarda, vektor, kanonik va umumiy koʻrinishda topish kerak.
Avval vektor tenglamasini olaylik. Buning uchun M1M2¯: to'g'ridan-to'g'ri yo'nalish vektorini aniqlang.
M1M2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)
Endi siz muammo bayonotida koʻrsatilgan ikkita nuqtadan birini olib, vektor tenglamasini yaratishingiz mumkin, masalan, M2:
(x; y)=(-1; 3) + l(-2; 1)
Kanonik tenglamani olish uchun topilgan tenglikni parametrik shaklga aylantirish va l parametrini chiqarib tashlash kifoya. Bizda:
x=-1 - 2l, shuning uchun l=x + 1 / (-2);
y=3 + l, keyin l=y - 3 ni olamiz;
x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1
Qolgan ikkita tenglamani (umumiy va segmentlarda) kanonik tenglamadan quyidagi tarzda oʻzgartirish orqali topish mumkin:
x + 1=-2y + 6;
umumiy tenglama: x + 2y - 5=0;
segmentlar tenglamasi: x / 5 + y / 2, 5=1
Olingan tenglamalar vektor (1; 2) chiziqqa perpendikulyar boʻlishi kerakligini koʻrsatadi. Haqiqatan ham, agar siz uning skalyar mahsulotini yo'nalish vektori bilan topsangiz, u nolga teng bo'ladi. Chiziq segmenti tenglamasi aytilishicha, chiziq x o'qini (5; 0) va y o'qini (2, 5; 0) da kesishadi.
Chiziqlarning kesishish nuqtasini aniqlash muammosi
Tekislikda ikkita toʻgʻri chiziq quyidagi tenglamalar bilan berilgan:
2x + y -1=0;
(x; y)=(0; -1) + l(-1; 3)
Bu chiziqlar kesishgan nuqtaning koordinatalarini aniqlash kerak.
Muammoni hal qilishning ikki yoʻli bor:
- Vektor tenglamani umumiy koʻrinishga oʻtkazing, soʻngra ikkita chiziqli tenglamalar tizimini yeching.
- Hech qanday transformatsiyalarni amalga oshirmang, shunchaki birinchi tenglamaga l parametri orqali ifodalangan kesishish nuqtasining koordinatasini almashtiring. Keyin parametr qiymatini toping.
Keling, ikkinchi usulni qilaylik. Bizda:
x=-l;
y=-1 + 3l;
2(-l) + (-1) + 3l - 1=0;
l=2
Olingan sonni vektor tenglamasiga almashtiring:
(x; y)=(0; -1) + 2(-1; 3)=(-2; 5)
Shunday qilib, har ikkala chiziqqa tegishli boʻlgan yagona nuqta koordinatali nuqtadir (-2; 5). Unda chiziqlar kesishadi.
