Chiziq va tekislik 2D va 3D fazoda turli shakllarni yaratish uchun ishlatilishi mumkin boʻlgan ikkita eng muhim geometrik elementdir. Parallel chiziqlar va parallel tekisliklar orasidagi masofani qanday topishni ko'rib chiqing.
Matematik topshiriq toʻgʻri chiziq
Maktab geometriya kursidan ma'lumki, ikki o'lchovli to'rtburchaklar koordinatalar tizimida chiziq quyidagi shaklda ko'rsatilishi mumkin:
y=kx + b.
Bu yerda k va b raqamlar (parametrlar). Tekislikdagi chiziqni tasvirlashning yozma shakli uch o'lchamli fazoda z o'qiga parallel bo'lgan tekislikdir. Shuni hisobga olib, ushbu maqolada to'g'ri chiziqni matematik tarzda belgilash uchun biz qulayroq va universal shakl - vektordan foydalanamiz.
Faraz qilaylik, bizning chiziq u¯(a, b, c) vektoriga parallel va P(x0,nuqtadan o'tadi.y0, z0). Bu holda vektor shaklida uning tenglamasi quyidagicha ifodalanadi:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + l(a, b, c).
Bu yerda l istalgan raqam. Agar yozma ifodani kengaytirish orqali koordinatalarni aniq ifodalasak, to‘g‘ri chiziq yozishning parametrik shaklini olamiz.
Paralel chiziqlar orasidagi masofani aniqlash zarur boʻlgan turli masalalarni yechishda vektor tenglamasi bilan ishlash qulay.
Chiziqlar va ular orasidagi masofa
Chiziqlar orasidagi masofa haqida faqat ular parallel bo'lganda gapirish mantiqan to'g'ri keladi (uch o'lchovli holatda, qiyshaygan chiziqlar orasida nolga teng bo'lmagan masofa ham mavjud). Agar chiziqlar kesishsa, ular bir-biridan nol masofada joylashganligi aniq.
Paralel chiziqlar orasidagi masofa ularni tutashtiruvchi perpendikulyar uzunligi. Ushbu ko'rsatkichni aniqlash uchun chiziqlardan birida ixtiyoriy nuqtani tanlash va undan boshqasiga perpendikulyar tushirish kifoya.
Keling, kerakli masofani topish tartibini qisqacha tasvirlab beraylik. Aytaylik, biz ikkita chiziqning vektor tenglamalarini bilamiz, ular quyidagi umumiy shaklda keltirilgan:
(x, y, z)=P + lu¯;
(x, y, z)=Q + bv¯.
Bu toʻgʻrilar ustida parallelogramm tuzing, shunda tomonlardan biri PQ, ikkinchisi, masalan, u boʻlsin. Shubhasiz, bu raqamning balandligi, P nuqtadan chizilgan, kerakli perpendikulyarning uzunligi. Uni topish uchun siz quyidagi oddiy amallarni qo'llashingiz mumkinformula:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Toʻgʻri chiziqlar orasidagi masofa ular orasidagi perpendikulyar segment uzunligi boʻlgani uchun yozma ifodaga koʻra PQ¯ va u¯ vektor koʻpaytmasining modulini topib, natijani ga boʻlish kifoya. u¯ vektorining uzunligi.
Toʻgʻri chiziqlar orasidagi masofani aniqlash topshirigʻiga misol
Ikkita toʻgʻri chiziq quyidagi vektor tenglamalari bilan berilgan:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + l(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + b(2, -1, -3).
Yozma ifodalardan koʻrinib turibdiki, bizda ikkita parallel chiziq bor. Haqiqatan ham, agar birinchi chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini -1 ga ko'paytirsak, ikkinchi chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini olamiz, bu ularning parallelligini ko'rsatadi.
Toʻgʻri chiziqlar orasidagi masofa maqolaning oldingi bandida yozilgan formula boʻyicha hisoblanadi. Bizda:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Unda biz olamiz:
|u¯|=√14 sm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 sm.
E'tibor bering, masalani hal qilish uchun P va Q nuqtalari o'rniga ushbu chiziqlarga tegishli har qanday nuqtalardan foydalanish mumkin. Bu holda biz bir xil masofani olamiz d.
Geometriyada tekislikni sozlash
Chiziqlar orasidagi masofa masalasi yuqorida batafsil muhokama qilingan. Keling, parallel tekisliklar orasidagi masofani qanday topishni ko'rsatamiz.
Samolyot nima ekanligini hamma ifodalaydi. Matematik ta'rifga ko'ra, ko'rsatilgan geometrik element nuqtalar to'plamidir. Bundan tashqari, agar siz ushbu nuqtalardan foydalanib barcha mumkin bo'lgan vektorlarni tuzsangiz, ularning barchasi bitta vektorga perpendikulyar bo'ladi. Ikkinchisi odatda tekislik uchun normal deb ataladi.
Uch oʻlchamli fazoda tekislik tenglamasini belgilash uchun koʻpincha tenglamaning umumiy shakli qoʻllaniladi. Bu shunday ko'rinadi:
Ax + By + Cz + D=0.
Bu erda katta lotin harflari ba'zi raqamlardir. Bunday tekislik tenglamasidan foydalanish qulay, chunki unda normal vektorning koordinatalari aniq berilgan. Ular A, B, C.
Ikki tekislik parallel ekanligini faqat ularning normallari parallel boʻlganda koʻrish oson.
Ikki parallel tekislik orasidagi masofani qanday topish mumkin?
Belgilangan masofani aniqlash uchun nima xavf ostida ekanligini aniq tushunishingiz kerak. Bir-biriga parallel bo'lgan tekisliklar orasidagi masofa ularga perpendikulyar bo'lgan segmentning uzunligi deb tushuniladi. Ushbu segmentning uchlari samolyotlarga tegishli.
Bunday masalalarni yechish algoritmi oddiy. Buning uchun siz ikkita tekislikdan biriga tegishli bo'lgan mutlaqo istalgan nuqtaning koordinatalarini topishingiz kerak. Keyin quyidagi formuladan foydalaning:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Masofa musbat qiymat boʻlgani uchun modul belgisi hisoblagichda. Yozma formula universaldir, chunki u tekislikdan mutlaqo har qanday geometrik elementgacha bo'lgan masofani hisoblash imkonini beradi. Bu elementning bir nuqtasining koordinatalarini bilish kifoya.
Toʻliqlik uchun shuni taʼkidlaymizki, agar ikkita tekislikning normallari bir-biriga parallel boʻlmasa, bunday tekisliklar kesishadi. Ularning orasidagi masofa nolga teng bo'ladi.
Samolyotlar orasidagi masofani aniqlash muammosi
Ma'lumki, ikkita tekislik quyidagi ifodalar bilan berilgan:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Tekliklarning parallel ekanligini isbotlash, shuningdek, ular orasidagi masofani aniqlash kerak.
Muammoning birinchi qismiga javob berish uchun birinchi tenglamani umumiy shaklga keltirish kerak. E'tibor bering, u segmentlarda tenglama deb ataladigan shaklda berilgan. Uning chap va o'ng qismlarini 15 ga ko'paytirsak va barcha shartlarni tenglamaning bir tomoniga o'tkazsak, biz quyidagilarga erishamiz:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Tekliklarning ikkita normal vektorining koordinatalarini yozamiz:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Ko'rinib turibdiki, agar n2¯ 5 ga ko'paytirilsa, biz n1¯ koordinatalarini aniq olamiz. Shunday qilib, ko'rib chiqilgan samolyotlarparallel.
Paralel tekisliklar orasidagi masofani hisoblash uchun ulardan birinchisining ixtiyoriy nuqtasini tanlang va yuqoridagi formuladan foydalaning. Masalan, birinchi tekislikka tegishli nuqtani (0, 0, 1) olaylik. Keyin biz olamiz:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 sm.
Istalgan masofa 31 mm.
Samolyot va chiziq orasidagi masofa
Berilgan nazariy bilimlar toʻgʻri chiziq va tekislik orasidagi masofani aniqlash masalasini ham yechishga imkon beradi. Samolyotlar orasidagi hisob-kitoblar uchun amal qiladigan formula universal ekanligi yuqorida aytib o'tilgan. Bu muammoni hal qilish uchun ham ishlatilishi mumkin. Buning uchun berilgan qatorga tegishli istalgan nuqtani tanlang.
Ko’rib chiqilayotgan geometrik elementlar orasidagi masofani aniqlashdagi asosiy muammo ularning parallelligini isbotlashdir (agar bo’lmasa, d=0). Agar chiziq uchun normal va yo'nalish vektorining skalyar mahsulotini hisoblasangiz, parallellikni isbotlash oson. Agar ko'rib chiqilayotgan elementlar parallel bo'lsa, bu mahsulot nolga teng bo'ladi.
