Samolyotlar orasidagi burchaklar. Samolyotlar orasidagi burchakni qanday aniqlash mumkin

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-02 17:58

Kosmosda geometrik masalalarni yechishda ko'pincha turli fazoviy jismlar orasidagi burchaklarni hisoblash kerak bo'lgan holatlar mavjud. Ushbu maqolada biz tekisliklar orasidagi va ular orasidagi va to'g'ri chiziq orasidagi burchaklarni topish masalasini ko'rib chiqamiz.

Kosmosdagi chiziq

Ma'lumki, tekislikdagi mutlaqo istalgan to'g'ri chiziq quyidagi tenglik bilan aniqlanishi mumkin:

y=ax + b

Bu yerda a va b ba'zi raqamlar. Agar fazoda to'g'ri chiziqni xuddi shu ifoda bilan ifodalasak, u holda z o'qiga parallel tekislik olamiz. Fazoviy chiziqning matematik ta'rifi uchun ikki o'lchovli holatdan ko'ra boshqa yechim usuli qo'llaniladi. U "yo'nalish vektori" tushunchasidan foydalanishdan iborat.

Toʻgʻri chiziqning yoʻn altiruvchi vektori uning fazodagi yoʻnalishini koʻrsatadi. Ushbu parametr chiziqqa tegishli. Fazoda cheksiz parallel vektorlar to'plami mavjud bo'lganligi sababli, ko'rib chiqilayotgan geometrik ob'ektni yagona aniqlash uchun unga tegishli nuqtaning koordinatalarini ham bilish kerak.

Mana bor deb faraz qilayliknuqta P(x₀; y₀; z_{0) va yo’nalish vektori v¯(a; b; c), u holda to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagicha berilishi mumkin:}

(x; y; z)=P + av¯ yoki

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + a(a; b; c)}

Bu ifoda toʻgʻri chiziqning parametrik vektor tenglamasi deyiladi. a koeffitsienti mutlaqo har qanday haqiqiy qiymatlarni qabul qila oladigan parametrdir. Chiziq koordinatalarini ushbu tenglikni kengaytirish orqali aniq ifodalash mumkin:

x=x_{0+ aa;}

y=y_{0+ ab;}

z=z_{0+ ac}

Samolyot tenglamasi

Fazoda tekislik uchun tenglama yozishning bir necha shakllari mavjud. Bu erda biz ulardan birini ko'rib chiqamiz, bu ko'pincha ikkita tekislik orasidagi yoki ulardan biri bilan to'g'ri chiziq orasidagi burchaklarni hisoblashda ishlatiladi.

Agar istalgan tekislikka perpendikulyar boʻlgan n¯(A; B; C) vektori maʼlum boʻlsa va P(x₀; y ₀; z_{0), unga tegishli boʻlsa, ikkinchisi uchun umumiy tenglama:}

Ax + By + Cz + D=0 bu erda D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Biz bu iboraning hosilasini olib tashladik, bu juda oddiy. Bu erda biz shuni ta'kidlaymizki, tekislik tenglamasidagi o'zgaruvchilarning koeffitsientlarini bilib, unga perpendikulyar bo'lgan barcha vektorlarni osongina topish mumkin. Ikkinchisi normalar deb ataladi va qiyalik va tekislik orasidagi burchaklarni hisoblashda ishlatiladi.ixtiyoriy analoglar.

Samolyotlarning joylashuvi va ular orasidagi burchak formulasi

Aytaylik, ikkita samolyot bor. Ularning kosmosdagi nisbiy joylashuvi uchun qanday variantlar mavjud. Samolyot ikkita cheksiz o'lcham va bitta nolga ega bo'lgani uchun ularning o'zaro yo'nalishi uchun faqat ikkita variant mumkin:

ular bir-biriga parallel bo'ladi;
ular bir-biriga mos kelishi mumkin.

Samolyotlar orasidagi burchak ularning yoʻnalish vektorlari orasidagi indeks, yaʼni n₁¯ va n_{2¯ normallari orasidagi koʻrsatkichdir.}

Shubhasiz, agar ular tekislikka parallel bo'lsa, ular orasidagi kesishish burchagi nolga teng. Agar ular kesishsa, u nolga teng emas, lekin har doim o'tkir. Samolyotlar bir-biriga perpendikulyar bo'lganda, kesishishning alohida holati 90o burchak bo'ladi.

n₁¯ va n_{2¯ orasidagi burchak a burchakni bu vektorlarning skalyar koʻpaytmasidan osongina aniqlash mumkin. Ya'ni, formula sodir bo'ladi:}

a=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

Bu vektorlarning koordinatalari quyidagicha deb faraz qilaylik: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). Keyin vektorlarning koordinatalari orqali skalyar mahsulot va modullarni hisoblash formulalaridan foydalanib, yuqoridagi ifodani quyidagicha qayta yozish mumkin:}

a=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

Numeratordagi modul oʻlchamdagi burchaklar qiymatlarini istisno qilish uchun paydo boʻldi.

Tekliklarning kesishish burchagini aniqlash masalalarini yechishga misollar

Tekliklar orasidagi burchakni qanday topishni bilib, quyidagi masalani yechamiz. Ikki tekislik berilgan, ularning tenglamalari:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

Samolyotlar orasidagi burchak nima?

Masalan savoliga javob berish uchun tekislikning umumiy tenglamasidagi oʻzgaruvchilarning koeffitsientlari yoʻn altiruvchi vektorning koordinatalari ekanligini eslaylik. Ko'rsatilgan samolyotlar uchun bizda ularning normal koordinatalari mavjud:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

Endi biz ushbu vektorlar va ularning modullarining skalyar mahsulotini topamiz, bizda:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

Endi siz topilgan raqamlarni oldingi xatboshida keltirilgan formulaga almashtirishingiz mumkin. Biz olamiz:

a=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

Olingan qiymat shartda koʻrsatilgan tekisliklarning oʻtkir kesishish burchagiga mos keladivazifalar.

Endi boshqa misolni ko'rib chiqing. Ikkita samolyot berilgan:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Ular kesishadimi? Keling, ularning yo'nalish vektorlari koordinatalarining qiymatlarini yozamiz, ularning skalyar mahsuloti va modullarini hisoblaymiz:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

U holda kesishish burchagi:

a=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

Bu burchak tekisliklarning kesishmasligini, lekin parallel ekanligini bildiradi. Ularning bir-biriga mos kelmasligini tekshirish oson. Buning uchun ulardan birinchisiga tegishli ixtiyoriy nuqtani olaylik, masalan, P(0; 3; 2). Uning koordinatalarini ikkinchi tenglamaga almashtirsak:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

Ya'ni, P nuqta faqat birinchi tekislikka tegishli.

Demak, ikkita tekislik normal boʻlganda parallel boʻladi.

Teklik va toʻgʻri chiziq

Tekislik va toʻgʻri chiziq oʻrtasidagi nisbiy pozitsiyani hisobga oladigan boʻlsak, ikkita tekislikka qaraganda bir nechta variant mavjud. Bu fakt to'g'ri chiziqning bir o'lchovli ob'ekt ekanligi bilan bog'liq. Chiziq va tekislik quyidagicha bo'lishi mumkin:

oʻzaro parallel, bu holda tekislik chiziqni kesib oʻtmaydi;
ikkinchisi samolyotga tegishli boʻlishi mumkin, shu bilan birga u ham unga parallel boʻladi;
ikkalasi ham mumkinqaysidir burchak ostida kesish.

Avval oxirgi holatni ko'rib chiqamiz, chunki u kesishish burchagi tushunchasini kiritishni talab qiladi.

Chiziq va tekislik, ular orasidagi burchak

Agar toʻgʻri chiziq tekislikni kesib oʻtsa, unga nisbatan qiya chiziq deyiladi. Kesishish nuqtasi qiyalik asosi deb ataladi. Ushbu geometrik jismlar orasidagi burchakni aniqlash uchun har qanday nuqtadan tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziqni tushirish kerak. Keyin perpendikulyarning tekislik bilan kesishgan nuqtasi va u bilan qiya chiziqning kesishgan joyi to'g'ri chiziq hosil qiladi. Ikkinchisi, asl chiziqning ko'rib chiqilayotgan tekislikka proyeksiyasi deb ataladi. Chiziq va uning proyeksiyasi orasidagi oʻtkir burchak zarur.

Tekislik va qiya burchak oʻrtasidagi biroz chalkash taʼrif quyidagi rasmga aniqlik kiritadi.

Tekislikni kesib o'tuvchi to'g'ri chiziq

Bu yerda ABO burchagi AB toʻgʻrisi bilan a tekislik orasidagi burchakdir.

Uning formulasini yozish uchun misol keltiring. To'g'ri chiziq va tekislik bo'lsin, ular tenglamalar bilan tavsiflanadi:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + l(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

Agar chiziq va tekislikning yoʻnalish vektorlari orasidagi skalyar koʻpaytma topilsa, bu obyektlar uchun kerakli burchakni hisoblash oson. Olingan o'tkir burchakni 90o dan ayirish kerak, keyin u to'g'ri chiziq va tekislik o'rtasida olinadi.

Yuqoridagi rasmda topish uchun tavsiflangan algoritm koʻrsatilganburchak hisoblangan. Bu erda b - normal va chiziq orasidagi burchak, a - chiziq va uning tekislikka proyeksiyasi o'rtasidagi. Ko'rinib turibdiki, ularning yig'indisi 90o.

Yuqorida tekisliklar orasidagi burchakni qanday topish mumkinligi haqidagi savolga javob beradigan formula taqdim etilgan. Endi to'g'ri chiziq va tekislik holati uchun mos ifodani beramiz:

a=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

Formuladagi modul faqat o'tkir burchaklarni hisoblash imkonini beradi. Arksinus funksiyasi trigonometrik funksiyalar (cos(b)=sin(90o-b)=sin(a)) oʻrtasida mos keladigan qisqartirish formulasidan foydalanish tufayli arkkosin oʻrniga paydo boʻldi.

Muammo: tekislik toʻgʻri chiziqni kesib oʻtadi

Endi yuqoridagi formula bilan qanday ishlashni ko'rsatamiz. Keling, masalani hal qilaylik: y o'qi va tenglama bilan berilgan tekislik orasidagi burchakni hisoblash kerak:

y - z + 12=0

Bu samolyot rasmda koʻrsatilgan.

U y va z oʻqlarini mos ravishda (0; -12; 0) va (0; 0; 12) nuqtalarda kesib oʻtishini va x oʻqiga parallel ekanligini koʻrishingiz mumkin.

Y chiziqning yoʻnalish vektori koordinatalariga ega (0; 1; 0). Berilgan tekislikka perpendikulyar vektor koordinatalari (0; 1; -1) bilan xarakterlanadi. To'g'ri chiziq va tekislikning kesishish burchagi uchun formulani qo'llaymiz, biz olamiz:

a=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Muammo: tekislikka parallel toʻgʻri chiziq

Endi qaror qilaylikoldingi muammoga o'xshash, savol boshqacha qo'yilgan. Tekislik va toʻgʻri chiziq tenglamalari maʼlum:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + l(0; 2; 2)

Bu geometrik jismlar bir-biriga parallel yoki yoʻqligini aniqlash kerak.

Bizda ikkita vektor bor: toʻgʻri chiziq yoʻnalishi (0; 2; 2) va tekislikning yoʻnalishi (1; 1; -1). Ularning nuqta mahsulotini toping:

01 + 12 - 12=0

Olingan nol bu vektorlar orasidagi burchak 90o ekanligini bildiradi, bu esa chiziq va tekislikning parallel ekanligini isbotlaydi.

Endi bu chiziq faqat parallelmi yoki tekislikda yotadimi, tekshiramiz. Buning uchun chiziqning ixtiyoriy nuqtasini tanlang va uning tekislikka tegishli ekanligini tekshiring. Masalan, l=0 ni olaylik, u holda P(1; 0; 0) nuqta chiziqqa tegishlidir. P tekislik tenglamasini almashtiring:

1 - 3=-2 ≠ 0

P nuqta tekislikka tegishli emas, demak butun chiziq unda ham yotmaydi.

Ko'rib chiqilayotgan geometrik jismlar orasidagi burchaklarni bilish qayerda muhim?

Yuqoridagi formulalar va masalani yechish misollari nafaqat nazariy qiziqish uyg’otadi. Ular ko'pincha prizma yoki piramida kabi haqiqiy uch o'lchamli figuralarning muhim jismoniy miqdorlarini aniqlash uchun ishlatiladi. Shakllar hajmlarini va ularning sirtlari maydonlarini hisoblashda tekisliklar orasidagi burchakni aniqlay olish muhimdir. Bundan tashqari, agar to'g'ri prizma bo'lsa, aniqlash uchun ushbu formulalardan foydalanmaslik mumkin bo'lsabelgilangan qiymatlar bo'lsa, har qanday turdagi piramida uchun ulardan foydalanish muqarrar.

Quyida kvadrat asosli piramidaning burchaklarini aniqlash uchun yuqoridagi nazariyadan foydalanish misolini koʻrib chiqing.

Piramida va uning burchaklari

Quyidagi rasmda piramida ko'rsatilgan, uning tagida tomoni a bo'lgan kvadrat joylashgan. Shaklning balandligi h. Ikki burchakni topish kerak:

yon yuzasi va taglik oʻrtasida;
yon qovurgʻa va taglik oʻrtasida.

Muammoni yechish uchun avvalo koordinatalar tizimiga kirishingiz va tegishli cho’qqilarning parametrlarini aniqlashingiz kerak. Rasmda koordinatalarning kelib chiqishi kvadrat asosning markazidagi nuqtaga to'g'ri kelishi ko'rsatilgan. Bunday holda, asosiy tekislik tenglama bilan tavsiflanadi:

z=0

Ya'ni har qanday x va y uchun uchinchi koordinataning qiymati har doim nolga teng. ABC lateral tekisligi z o‘qini B(0; 0; h) nuqtada, y o‘qini esa (0; a/2; 0) koordinatali nuqtada kesib o‘tadi. U x o'qini kesib o'tmaydi. Bu shuni anglatadiki, ABC tekisligining tenglamasini quyidagicha yozish mumkin:

y / (a / 2) + z / h=1 yoki

2hy + az - ah=0

AB¯ vektori yon chekka. Uning boshlanish va tugash koordinatalari: A(a/2; a/2; 0) va B(0; 0; h). Keyin vektorning o'zi koordinatalari:

AB¯(-a/2; -a/2; h)

Biz barcha kerakli tenglamalar va vektorlarni topdik. Endi ko'rib chiqilgan formulalardan foydalanish qoladi.

Avval biz piramidada poydevor tekisliklari orasidagi burchakni hisoblaymizva yon. Tegishli normal vektorlar: n₁¯(0; 0; 1) va n_{2¯(0; 2h; a). Keyin burchak quyidagicha bo'ladi:}