Stereometriyadagi keng tarqalgan muammolardan biri toʻgʻri chiziqlar va tekisliklarni kesib oʻtish va ular orasidagi burchaklarni hisoblash vazifalaridir. Keling, ushbu maqolada koordinata usuli deb ataladigan va chiziq va tekislik orasidagi burchaklarni batafsil ko'rib chiqaylik.
Geometriyada chiziq va tekislik
Koordinata usulini va chiziq va tekislik orasidagi burchakni ko'rib chiqishdan oldin siz nomlangan geometrik jismlar bilan tanishishingiz kerak.
Chiziq - fazodagi yoki tekislikdagi nuqtalarning shunday yig'indisi bo'lib, ularning har biri oldingisini ma'lum vektorga chiziqli o'tkazish yo'li bilan olinishi mumkin. Quyida biz bu vektorni u¯ belgisi bilan belgilaymiz. Agar bu vektor nolga teng bo'lmagan istalgan songa ko'paytirilsa, u¯ ga parallel vektorni olamiz. Chiziq chiziqli cheksiz obyektdir.
Samolyot, shuningdek, shunday joylashganki nuqtalar yigʻindisidirki, agar siz ulardan ixtiyoriy vektorlar yasasangiz, ularning barchasi n¯ vektoriga perpendikulyar boʻladi. Ikkinchisi oddiy yoki oddiy deb ataladi. Tekislik, to'g'ri chiziqdan farqli o'laroq, ikki o'lchovli cheksiz ob'ektdir.
Geometriya masalalarini yechishning koordinata usuli
Usulning nomidan kelib chiqib, biz analitik ketma-ket hisob-kitoblarni bajarishga asoslangan muammolarni hal qilish usuli haqida gapiramiz, degan xulosaga kelishimiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, koordinata usuli universal algebra vositalari yordamida geometrik masalalarni yechish imkonini beradi, ularning asosiysi tenglamalardir.
Shuni ta'kidlash kerakki, ko'rib chiqilayotgan usul zamonaviy geometriya va algebraning boshlanishida paydo bo'lgan. Uning rivojlanishiga 17-18-asrlarda Rene Dekart, Per de Ferma, Isaak Nyuton va Leybnits katta hissa qoʻshgan.
Usulning mohiyati ma'lum nuqtalarning koordinatalari asosida geometrik elementlarning masofalari, burchaklari, maydonlari va hajmlarini hisoblashdan iborat. E'tibor bering, olingan yakuniy tenglamalar shakli koordinatalar tizimiga bog'liq. Ko'pincha to'rtburchaklar Dekart tizimi masalalarda qo'llaniladi, chunki u bilan ishlash eng qulaydir.
Chiziq tenglama
Koordinata usulini va chiziq va tekislik orasidagi burchaklarni hisobga olgan holda, chiziq tenglamasini o'rnatishdan boshlaylik. Chiziqlarni algebraik shaklda tasvirlashning bir necha usullari mavjud. Bu erda biz faqat vektor tenglamasini ko'rib chiqamiz, chunki uni boshqa istalgan shaklda osongina olish mumkin va u bilan ishlash oson.
Ikkita nuqta bor deb faraz qilaylik: P va Q. Ular orqali chiziq oʻtkazish mumkinligi maʼlum va uyagona bo'ladi. Elementning mos keladigan matematik ko'rinishi quyidagicha ko'rinadi:
(x, y, z)=P + lPQ¯.
Bu yerda PQ¯ vektor koordinatalari quyidagicha olinadi:
PQ¯=Q - P.
l belgisi mutlaqo istalgan raqamni qabul qila oladigan parametrni bildiradi.
Yozma ifodada siz vektor yoʻnalishini oʻzgartirishingiz, shuningdek, P nuqta oʻrniga Q koordinatalarini qoʻyishingiz mumkin. Bu oʻzgarishlarning barchasi chiziqning geometrik joylashuvini oʻzgartirishga olib kelmaydi.
E'tibor bering, masalani yechishda, ba'zan yozma vektor tenglamani aniq (parametrik) ko'rinishda ifodalash talab qilinadi.
Kosmosda samolyot oʻrnatish
Toʻgʻri chiziq uchun boʻlgani kabi, tekislik uchun ham matematik tenglamalarning bir nechta shakllari mavjud. Ular orasida vektorni, segmentlardagi tenglamani va umumiy shaklni qayd etamiz. Ushbu maqolada biz oxirgi shaklga alohida e'tibor qaratamiz.
Ixtiyoriy tekislik uchun umumiy tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
Ax + By + Cz + D=0.
Lotin bosh harflari tekislikni belgilaydigan ma'lum raqamlardir.
Bu belgining qulayligi shundaki, unda tekislikka normal vektor aniq kiritilgan. Bu teng:
n¯=(A, B, C).
Ushbu vektorni bilish tekislik tenglamasiga qisqacha qarash orqali ikkinchisining koordinatalar tizimidagi joylashuvini tasavvur qilish imkonini beradi.
Oʻzaro tartibga solishchiziq va tekislik maydoni
Maqolaning keyingi bandida biz koordinata usuli va chiziq va tekislik orasidagi burchakni ko'rib chiqishga o'tamiz. Bu erda biz ko'rib chiqilgan geometrik elementlarni kosmosda qanday joylashtirish mumkinligi haqidagi savolga javob beramiz. Uchta usul mavjud:
- Toʻgʻri chiziq tekislikni kesib oʻtadi. Koordinata usulidan foydalanib, chiziq va tekislik qaysi bir nuqtada kesishishini hisoblashingiz mumkin.
- Toʻgʻri chiziq tekisligi parallel. Bunda geometrik elementlarning tenglamalar sistemasi yechimga ega emas. Parallellikni isbotlash uchun odatda toʻgʻri chiziqning yoʻn altiruvchi vektori va tekislikning normalining skalyar koʻpaytmasining xossasidan foydalaniladi.
- Samolyotda chiziq bor. Bu holda tenglamalar tizimini yechish, l parametrining istalgan qiymati uchun to'g'ri tenglik olinadi degan xulosaga kelamiz.
Ikkinchi va uchinchi hollarda belgilangan geometrik jismlar orasidagi burchak nolga teng. Birinchi holda, u 0 va 90o orasida joylashgan.
Chiziqlar va tekisliklar orasidagi burchaklarni hisoblash
Endi toʻgʻridan-toʻgʻri maqola mavzusiga oʻtamiz. Chiziq va tekislikning har qanday kesishishi qaysidir burchak ostida sodir bo'ladi. Bu burchak toʻgʻri chiziqning oʻzi va uning tekislikka proyeksiyasi orqali hosil boʻladi. To'g'ri chiziqning istalgan nuqtasidan tekislikka perpendikulyar tushirilsa, keyin esa tekislikning kesishish nuqtasi va perpendikulyar va tekislikning kesishish nuqtasi va asl chiziq orqali proyeksiyani olish mumkin. proyeksiya bo'ladigan to'g'ri chiziq.
Chiziqlar va tekisliklar orasidagi burchaklarni hisoblash qiyin ish emas. Uni yechish uchun mos keladigan geometrik jismlarning tenglamalarini bilish kifoya. Aytaylik, bu tenglamalar quyidagicha:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + l(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Istalgan burchak u¯ va n¯ skalar vektorlari koʻpaytmasi xossasidan foydalanib osongina topiladi. Yakuniy formula quyidagicha ko'rinadi:
th=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Ushbu formula chiziq va tekislik orasidagi burchakning sinusi belgilangan vektorlarning skalyar koʻpaytmasi modulining ularning uzunliklari koʻpaytmasiga nisbatiga teng ekanligini aytadi. Nima uchun kosinus oʻrniga sinus paydo boʻlganini tushunish uchun quyidagi rasmga murojaat qilaylik.
Ko'rinib turibdiki, agar biz kosinus funksiyasini qo'llasak, u¯ va n¯ vektorlari orasidagi burchakka ega bo'lamiz. Istalgan burchak th (rasmda a) quyidagicha olinadi:
th=90o- b.
Sinus qisqartirish formulalarini qoʻllash natijasida paydo boʻladi.
Misol muammo
Olingan bilimlardan amaliy foydalanishga oʻtamiz. To‘g‘ri chiziq va tekislik orasidagi burchakka oid tipik masalani yechamiz. To'rt nuqtaning quyidagi koordinatalari berilgan:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Ma'lumki, PQM punktlari orqaliu orqali tekislik, MN orqali esa to'g'ri chiziq o'tadi. Koordinata usulidan foydalanib, tekislik va chiziq orasidagi burchakni hisoblash kerak.
Avval toʻgʻri chiziq va tekislik tenglamalarini yozamiz. To'g'ri chiziq uchun uni tuzish oson:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + l(-2, -4, 2).
Teklik tenglamasini tuzish uchun avvalo uning normalini topamiz. Uning koordinatalari berilgan tekislikda yotgan ikkita vektorning vektor ko'paytmasiga teng. Bizda:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Endi unda yotgan har qanday nuqtaning koordinatalarini umumiy tekislik tenglamasiga almashtirib, erkin D hadining qiymatini olamiz:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Teklik tenglamasi:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Masala javobini olish uchun toʻgʻri chiziq va tekislikning kesishmasida hosil boʻlgan burchak formulasini qoʻllash qoladi. Bizda:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
th=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Ushbu masalani misol qilib, geometrik masalalarni yechishda koordinata usulidan qanday foydalanishni koʻrsatdik.
