Vektor muhim geometrik ob'ekt bo'lib, uning xossalari yordamida tekislikda va fazoda ko'plab masalalarni yechish qulay. Ushbu maqolada biz uni aniqlaymiz, uning asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqamiz, shuningdek, kosmosdagi vektordan tekisliklarni aniqlash uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Vektor nima: ikki oʻlchovli holat
Avvalo, qaysi ob'ekt haqida gapirayotganimizni aniq tushunish kerak. Geometriyada yo'n altirilgan segment vektor deyiladi. Har qanday segment singari, u ikkita asosiy element bilan tavsiflanadi: boshlang'ich va tugatish nuqtalari. Bu nuqtalarning koordinatalari vektorning barcha xarakteristikalarini yagona tarzda aniqlaydi.
Samolyotdagi vektor misolini ko'rib chiqamiz. Buning uchun ikkita o'zaro perpendikulyar x va y o'qlarini chizamiz. Ixtiyoriy P(x, y) nuqtani belgilaymiz. Agar biz ushbu nuqtani boshlang'ich (O nuqta) bilan bog'lab, P ga yo'nalishni belgilasak, u holda OP¯ vektorini olamiz (maqolada keyinroq, belgi ustidagi chiziq biz vektorni ko'rib chiqayotganimizni bildiradi). Samolyotdagi vektor chizmasi quyida ko'rsatilgan.
Bu yerda yana bir AB¯ vektori ham koʻrsatilgan va uning xarakteristikalari OP¯ bilan aynan bir xil ekanligini koʻrishingiz mumkin, lekin u koordinata tizimining boshqa qismida joylashgan. Parallel tarjima OP¯ orqali siz bir xil xususiyatlarga ega cheksiz miqdordagi vektorlarni olishingiz mumkin.
Kosmosdagi vektor
Bizni oʻrab turgan barcha real jismlar uch oʻlchamli fazoda. Uch o'lchovli figuralarning geometrik xususiyatlarini o'rganish uch o'lchovli vektorlar tushunchasi bilan ishlaydigan stereometriya bilan shug'ullanadi. Ular ikki o‘lchovlilardan faqat shu bilan farq qiladiki, ularni tavsiflash uchun uchinchi perpendikulyar x va y o‘qi z bo‘ylab o‘lchanadigan qo‘shimcha koordinata kerak bo‘ladi.
Quyidagi rasmda fazodagi vektor ko'rsatilgan. Har bir o'q bo'ylab uning uchining koordinatalari rangli segmentlar bilan ko'rsatilgan. Vektorning boshlanishi barcha uchta koordinata o'qlarining kesishish nuqtasida joylashgan, ya'ni uning koordinatalari (0; 0; 0).
Teklikdagi vektor fazoviy yoʻn altirilgan segmentning maxsus holati boʻlgani uchun biz maqolada faqat uch oʻlchovli vektorni koʻrib chiqamiz.
Vektor koordinatalari uning boshlanishi va oxirining ma'lum koordinatalariga asoslangan
Faraz qilaylik, ikkita nuqta bor P(x1; y1; z1) va Q(x2; y2; z2). PQ¯ vektorining koordinatalarini qanday aniqlash mumkin. Birinchidan, nuqtalardan qaysi biri vektorning boshlanishi va qaysi biri oxiri bo'lishini kelishib olish kerak. Matematikada ko'rib chiqilayotgan ob'ektni uning yo'nalishi bo'yicha yozish odatiy holdir, ya'ni P - boshlanish, Q.- yakun. Ikkinchidan, PQ¯ vektorining koordinatalari oxiri va boshining mos keladigan koordinatalari orasidagi farq sifatida hisoblanadi, ya'ni:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Esda tutingki, vektor yoʻnalishini oʻzgartirganda, uning koordinatalari ishorani quyidagicha oʻzgartiradi:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Bu PQ¯=-QP¯ degani.
Yana bir narsani tushunish muhim. Yuqorida aytilgan ediki, tekislikda berilganga teng cheksiz vektorlar mavjud. Bu fakt fazoviy holat uchun ham amal qiladi. Aslida, biz yuqoridagi misolda PQ¯ ning koordinatalarini hisoblaganimizda, biz ushbu vektorni parallel ko'chirish operatsiyasini uning kelib chiqishi bilan mos keladigan tarzda amalga oshirdik. PQ¯ vektori boshdan M nuqtaga yoʻn altirilgan segment sifatida chizilishi mumkin((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Vektor xususiyatlari
Har qanday geometriya ob'ekti kabi vektor ham muammolarni hal qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan o'ziga xos xususiyatlarga ega. Keling, ularni qisqacha sanab o'tamiz.
Vektor moduli yoʻn altirilgan segment uzunligi. Koordinatalarni bilish, uni hisoblash oson. Yuqoridagi misoldagi PQ¯ vektori uchun modul:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vektor moduli yoqilgantekislik xuddi shunday formula bo'yicha, faqat uchinchi koordinataning ishtirokisiz hisoblanadi.
Vektorlarning yig'indisi va ayirmasi uchburchak qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi. Quyidagi rasmda bu obyektlarni qanday qo‘shish va ayirish ko‘rsatilgan.
Yig'indi vektorini olish uchun birinchi vektorning oxiriga ikkinchisining boshini qo'shing. Kerakli vektor birinchi vektorning boshida boshlanadi va ikkinchi vektor oxirida tugaydi.
Farqi ayirib tashlangan vektorning teskarisiga almashtirilishini hisobga olgan holda bajariladi va keyin yuqorida tavsiflangan qoʻshish amali bajariladi.
Qoʻshish va ayirish bilan bir qatorda vektorni songa koʻpaytirishni bilish ham muhimdir. Agar raqam k ga teng boʻlsa, moduli asl nusxadan k marta farq qiladigan va yoʻnalishi bir xil (k>0) yoki asl (k<0) ga qarama-qarshi boʻlgan vektor olinadi.
Vektorlarni oʻzaro koʻpaytirish amali ham aniqlangan. Maqolada buning uchun alohida paragraf ajratamiz.
Skalar va vektor koʻpaytirish
Ikki vektor bor deylik u¯(x1; y1; z1) va v¯(x2; y2; z2). Vektor bo'yicha vektorni ikki xil usulda ko'paytirish mumkin:
- Skalar. Bu holda natija raqam bo'ladi.
- Vektor. Natijada yangi vektor.
u¯ va v¯ vektorlarining skalyar koʻpaytmasi quyidagicha hisoblanadi:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(a).
Bu yerda a - berilgan vektorlar orasidagi burchak.
U¯ va v¯ koordinatalarini bilib, ularning nuqta mahsulotini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkinligini ko'rsatish mumkin:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Vektorni perpendikulyar yoʻn altirilgan ikkita segmentga ajratishda skalar mahsulotdan foydalanish qulay. U vektorlarning parallelligi yoki ortogonalligini hisoblash va ular orasidagi burchakni hisoblash uchun ham ishlatiladi.
u¯ va v¯ oʻzaro koʻpaytmasi asl vektorga perpendikulyar va modulga ega boʻlgan yangi vektorni beradi:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(a).
Yangi vektorning pastga yoki yuqoriga yoʻnalishi oʻng qoʻl qoidasi bilan aniqlanadi (oʻng qoʻlning toʻrt barmogʻi birinchi vektorning oxiridan ikkinchisining oxirigacha yoʻn altiriladi, bosh barmogʻi esa yuqoriga qarab turadi) yangi vektor yo'nalishini ko'rsatadi). Quyidagi rasmda ixtiyoriy a¯ va b¯ uchun oʻzaro mahsulot natijasi koʻrsatilgan.
Koʻpaytma raqamlarning maydonlarini hisoblash, shuningdek, berilgan tekislikka perpendikulyar vektor koordinatalarini aniqlash uchun ishlatiladi.
Vektorlar va ularning xossalaridan tekislik tenglamasini aniqlashda foydalanish qulay.
Samolyotning oddiy va umumiy tenglamasi
Samolyotni aniqlashning bir necha usullari mavjud. Ulardan biri to'g'ridan-to'g'ri unga perpendikulyar vektor va tekislikka tegishli bo'lgan ba'zi ma'lum nuqta haqidagi bilimlardan kelib chiqadigan tekislikning umumiy tenglamasini chiqarishdir.
Faraz qilaylik vektor n¯ (A; B; C) va P nuqta (x0; y0; z 0). Qanday shart tekislikning barcha Q(x; y; z) nuqtalarini qanoatlantiradi? Bu holat har qanday PQ¯ vektorining normal n¯ ga perpendikulyarligidan iborat. Ikki perpendikulyar vektor uchun nuqta mahsuloti nolga aylanadi (cos(90o)=0), buni yozing:
(n¯PQ¯)=0 yoki
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Qavslarni ochib, biz quyidagilarni olamiz:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 yoki
Ax + By + Cz +D=0 bunda D=-Ax0-By0-Cz0.
Bu tenglama tekislik uchun umumiy deyiladi. X, y va z oldidagi koeffitsientlar n¯ perpendikulyar vektorning koordinatalari ekanligini ko'ramiz. U samolyot yoʻriqnomasi deb ataladi.
Samolyotning vektor parametrik tenglamasi
Samolyotni aniqlashning ikkinchi usuli - unda yotgan ikkita vektordan foydalanish.
Vektorlar bor deb faraz qilaylik u¯(x1; y1; z1) va v¯(x2; y2; z2). Aytganimizdek, ularning har biri fazoda cheksiz miqdordagi bir xil yo'n altirilgan segmentlar bilan ifodalanishi mumkin, shuning uchun tekislikni yagona aniqlash uchun yana bitta nuqta kerak. Bu nuqta P(x0 bo'lsin;y0; z0). Har qanday Q(x; y; z) nuqta, agar PQ¯ vektorini u¯ va v¯ kombinatsiyasi sifatida tasvirlash mumkin bo'lsa, kerakli tekislikda yotadi. Ya'ni, bizda:
PQ¯=au¯ + bv¯.
Bu yerda a va b haqiqiy sonlar. Bu tenglikdan quyidagi ifoda kelib chiqadi:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + a(x1; y1; z1) + b(x 2; y2; z2).
U 2 ta u¯ va v¯ vektorga nisbatan tekislikning parametrik vektor tenglamasi deyiladi. Ixtiyoriy a va b parametrlarni almashtirib, ushbu tekislikka tegishli barcha nuqtalarni (x; y; z) topish mumkin.
Bu tenglamadan tekislikning umumiy ifodasini olish oson. Buning uchun u¯ va v¯ vektorlariga perpendikulyar bo'lgan n¯ yo'nalish vektorini topish kifoya, ya'ni ularning vektor mahsuloti qo'llanilishi kerak.
Samolyotning umumiy tenglamasini aniqlash masalasi
Geometrik masalalarni yechishda yuqoridagi formulalardan qanday foydalanishni ko’rsatamiz. Faraz qilaylik, tekislikning yo'nalish vektori n¯(5; -3; 1) bo'lsin. P(2; 0; 0) nuqta unga tegishli ekanligini bilib, tekislikning tenglamasini topishingiz kerak.
Umumiy tenglama quyidagicha yoziladi:
Ax + By + Cz +D=0.
Teklikka perpendikulyar vektor ma'lum bo'lgani uchun tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
5x - 3y + z +D=0.
Erkin D atamasini topish qoladi. Uni P koordinatalarini bilish asosida hisoblaymiz:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Shunday qilib, tekislikning kerakli tenglamasi koʻrinishga ega:
5x - 3y + z -10=0.
Quyidagi rasmda olingan tekislik qanday koʻrinishi koʻrsatilgan.
Nuqtalarning koʻrsatilgan koordinatalari tekislikning x, y va z oʻqlari bilan kesishgan joylariga mos keladi.
Ikki vektor va nuqta orqali tekislikni aniqlash masalasi
Endi oldingi tekislik boshqacha belgilangan deylik. Ikki u¯(-2; 0; 10) va v¯(-2; -10/3; 0) vektorlari, shuningdek P(2; 0; 0) nuqtasi ma'lum. Tekis tenglama vektor parametrik shaklda qanday yoziladi? Ko'rib chiqilgan mos formuladan foydalanib, biz olamiz:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + a(-2; 0; 10) + b(-2; -10/3; 0).
Esda tutingki, bu tekislikning tenglamasi, u¯ va v¯ vektorlarining ta'riflari mutlaqo istalgan bo'lishi mumkin, lekin bir shart bilan: ular parallel bo'lmasligi kerak. Aks holda, tekislikni yagona aniqlab bo'lmaydi, biroq nur yoki tekisliklar to'plami uchun tenglamani topish mumkin.
