Geometriyada nuqtadan keyin toʻgʻri chiziq, ehtimol, eng oddiy elementdir. U tekislikda va uch o'lchovli fazoda har qanday murakkab figuralarni qurishda qo'llaniladi. Ushbu maqolada biz to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini ko'rib chiqamiz va undan foydalanib, bir nechta muammolarni hal qilamiz. Boshlaymiz!
Geometriyada toʻgʻri chiziq
Toʻgʻri toʻrtburchak, uchburchak, prizma, kub va boshqalar kabi shakllar kesishgan toʻgʻri chiziqlardan hosil boʻlishini hamma biladi. Geometriyada to'g'ri chiziq - ma'lum bir nuqtani bir xil yoki qarama-qarshi yo'nalishga ega vektorga o'tkazish yo'li bilan olinishi mumkin bo'lgan bir o'lchovli ob'ekt. Ushbu ta'rifni yaxshiroq tushunish uchun kosmosda qandaydir P nuqtasi borligini tasavvur qiling. Bu fazoda ixtiyoriy u¯ vektorini oling. U holda chiziqning istalgan Q nuqtasini quyidagi matematik amallar natijasida olish mumkin:
Q=P + lu¯.
Bu yerda l - ijobiy yoki manfiy bo'lishi mumkin bo'lgan ixtiyoriy son. Agar tenglikyuqoriga koordinatalar bo'yicha yozing, keyin biz to'g'ri chiziqning quyidagi tenglamasini olamiz:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + l(a, b, c).
Bu tenglik vektor koʻrinishdagi toʻgʻri chiziq tenglamasi deyiladi. U¯ vektori esa yoʻlboshchi deb ataladi.
Teklikdagi toʻgʻri chiziqning umumiy tenglamasi
Har bir talaba uni hech qanday qiyinchiliksiz yozib olishi mumkin. Lekin ko'pincha tenglama quyidagicha yoziladi:
y=kx + b.
Bu yerda k va b ixtiyoriy sonlar. b soni erkin a'zo deb ataladi. Parametr k to'g'ri chiziqning x o'qi bilan kesishishidan hosil bo'lgan burchak tangensiga teng.
Yuqoridagi tenglama y oʻzgaruvchisiga nisbatan ifodalangan. Agar biz uni umumiyroq shaklda taqdim qilsak, biz quyidagi belgini olamiz:
Ax + By + C=0.
Toʻgʻri chiziqning umumiy tenglamasini tekislikda yozishning bu shakli osonlik bilan oldingi koʻrinishga oʻtishini koʻrsatish oson. Buning uchun chap va o'ng qismlar B omiliga bo'linib, y bilan ifodalanishi kerak.
Yuqoridagi rasmda ikkita nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq koʻrsatilgan.
3D maydonidagi chiziq
Keling, oʻqishimizni davom ettiramiz. To'g'ri chiziqning umumiy ko'rinishdagi tenglamasi tekislikda qanday beriladi degan savolni ko'rib chiqdik. Agar fazoviy holat uchun maqolaning oldingi bandida berilgan belgini qo'llasak, biz nimani olamiz? Hamma narsa oddiy - endi tekis chiziq emas, balki tekislik. Haqiqatan ham, quyidagi ifoda z o'qiga parallel bo'lgan tekislikni tasvirlaydi:
Ax + By + C=0.
Agar C=0 boʻlsa, bunday tekislik oʻtadiz o'qi orqali. Bu muhim xususiyat.
Unda fazodagi toʻgʻri chiziqning umumiy tenglamasi qanday boʻladi? Buni qanday so'rashni tushunish uchun siz biror narsani eslab qolishingiz kerak. Ikki tekislik ma'lum bir to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi. Bu nimani anglatadi? Faqat umumiy tenglama tekisliklar uchun ikkita tenglamalar tizimini yechish natijasidir. Keling, ushbu tizimni yozamiz:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Bu sistema fazodagi toʻgʻri chiziqning umumiy tenglamasidir. E'tibor bering, tekisliklar bir-biriga parallel bo'lmasligi kerak, ya'ni ularning normal vektorlari bir-biriga nisbatan qandaydir burchak ostida qiya bo'lishi kerak. Aks holda, tizimda hech qanday yechim boʻlmaydi.
Yuqorida toʻgʻri chiziq uchun tenglamaning vektor koʻrinishini berdik. Ushbu tizimni hal qilishda foydalanish qulay. Buning uchun birinchi navbatda ushbu tekisliklarning normallarining vektor mahsulotini topish kerak. Ushbu operatsiyaning natijasi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori bo'ladi. Keyin, chiziqqa tegishli har qanday nuqtani hisoblash kerak. Buning uchun siz o'zgaruvchilardan istalgan birini ma'lum bir qiymatga tenglashtirishingiz kerak, qolgan ikkita o'zgaruvchini qisqartirilgan tizimni yechish orqali topish mumkin.
Vektor tenglamani umumiy tenglamaga qanday aylantirish mumkin? Nuanslar
Bu ikki nuqtaning ma'lum koordinatalaridan foydalangan holda to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini yozish kerak bo'lganda paydo bo'lishi mumkin bo'lgan dolzarb muammo. Keling, bu muammoni qanday hal qilishini misol bilan ko'rsatamiz. Ikki nuqtaning koordinatalari ma'lum bo'lsin:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Vektor shaklidagi tenglamani tuzish juda oson. Yo'nalish vektor koordinatalari:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
E'tibor bering, agar P nuqtaning koordinatalaridan Q koordinatalarini olib tashlasak, farq yo'q, vektor o'z yo'nalishini faqat teskari tomonga o'zgartiradi. Endi siz istalgan nuqtani olib, vektor tenglamasini yozishingiz kerak:
(x, y)=(x1, y1) + l(x2 -x1, y2-y1).
Toʻgʻri chiziqning umumiy tenglamasini yozish uchun l parametri ikkala holatda ham ifodalanishi kerak. Va keyin natijalarni solishtiring. Bizda:
x=x1 + l(x2-x1)=> l=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + l(y2-y1)=> l=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Ikki ma'lum nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqning umumiy ifodasini olish uchun qavslarni ochish va tenglamaning barcha shartlarini tenglamaning bir tomoniga o'tkazishgina qoladi.
Uch oʻlchovli masalani yechish algoritmi saqlanib qoladi, faqat uning natijasi tekisliklar uchun ikkita tenglama sistemasi boʻladi.
Vazifa
Umumiy tenglama tuzish kerakx o‘qini (-3, 0) da kesib o‘tuvchi va y o‘qiga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziq.
Tenglamani vektor ko’rinishida yozish orqali masalani yechishni boshlaylik. Chiziq y o'qiga parallel bo'lganligi sababli, uning yo'n altiruvchi vektori quyidagicha bo'ladi:
u¯=(0, 1).
Unda kerakli qator quyidagicha yoziladi:
(x, y)=(-3, 0) + l(0, 1).
Endi bu ifodani umumiy shaklga aylantiramiz, buning uchun l: parametrini ifodalaymiz.
- x=-3;
- y=l.
Shunday qilib, y o'zgaruvchining har qanday qiymati chiziqqa tegishli, ammo unga faqat x o'zgaruvchining yagona qiymati mos keladi. Shunday qilib, umumiy tenglama quyidagi shaklda bo'ladi:
x + 3=0.
Fazoda toʻgʻri chiziq bilan muammo
Ma'lumki, ikkita kesishuvchi tekislik quyidagi tenglamalar bilan berilgan:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Bu tekisliklar kesishgan toʻgʻri chiziqning vektor tenglamasini topish kerak. Boshlaymiz.
Aytganidek, uch oʻlchamli fazodagi toʻgʻri chiziqning umumiy tenglamasi allaqachon uchta nomaʼlumli ikkitadan iborat sistema koʻrinishida berilgan. Avvalo, biz tekisliklar kesishadigan yo'nalish vektorini aniqlaymiz. Normallarning vektor koordinatalarini tekisliklarga ko'paytirsak, biz quyidagilarga erishamiz:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Vektorni manfiy songa koʻpaytirish uning yoʻnalishini teskari tomonga oʻzgartirgani uchun:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Kimgato'g'ri chiziq uchun vektor ifodasini topish uchun yo'nalish vektoridan tashqari, bu to'g'ri chiziqning qaysidir nuqtasini bilish kerak. Toping, chunki uning koordinatalari masala shartidagi tenglamalar tizimini qanoatlantirishi kerak, keyin ularni topamiz. Masalan, x=0 ni qo'yaylik, keyin biz quyidagilarni olamiz:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Demak, kerakli toʻgʻri chiziqqa tegishli nuqta koordinatalariga ega:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Unda biz bu masalaga javob olamiz, kerakli chiziqning vektor tenglamasi quyidagicha ko'rinadi:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + l(2, 1, 5).
Yechimning toʻgʻriligini osongina tekshirish mumkin. Buning uchun siz l parametrining ixtiyoriy qiymatini tanlashingiz va tekisliklar uchun ikkala tenglamaga toʻgʻri chiziq nuqtasining olingan koordinatalarini qoʻyishingiz kerak, ikkala holatda ham identifikatsiya olasiz.
