Geometriya aksiomalaridan birida aytilishicha, har qanday ikkita nuqta orqali bitta toʻgʻri chiziq oʻtkazish mumkin. Bu aksioma ko'rsatilgan bir o'lchovli geometrik ob'ektni noyob tarzda tavsiflovchi noyob sonli ifoda mavjudligidan dalolat beradi. Maqolada ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini qanday yozish kerakligi haqidagi savolni ko'rib chiqing.
Nuqta va chiziq nima?
Kosmosda va tekislikda turli nuqtalar juftligidan oʻtuvchi tenglamaning toʻgʻri chizigʻini qurish masalasini koʻrib chiqishdan oldin belgilangan geometrik jismlarni aniqlash kerak.
Nuqta ma'lum bir koordinata o'qlari tizimidagi koordinatalar to'plami bilan yagona aniqlanadi. Ularga qo'shimcha ravishda, nuqta uchun boshqa xususiyatlar yo'q. U nol oʻlchamli obyekt.
To'g'ri chiziq haqida gapirganda, har bir kishi oq qog'ozda tasvirlangan chiziqni tasavvur qiladi. Shu bilan birga, aniq geometrik ta'rifni berish mumkinbu ob'ekt. To'g'ri chiziq - nuqtalar yig'indisi bo'lib, ularning har birining qolganlari bilan bog'lanishi parallel vektorlar to'plamini beradi.
Bu taʼrif toʻgʻri chiziqning vektor tenglamasini oʻrnatishda qoʻllaniladi, bu haqda quyida muhokama qilinadi.
Har qanday chiziq ixtiyoriy uzunlikdagi segment bilan belgilanishi mumkinligi sababli, u bir oʻlchovli geometrik obyekt deyiladi.
Raqam vektor funksiyasi
Oʻtuvchi toʻgʻri chiziqning ikki nuqtasidan oʻtuvchi tenglama turli koʻrinishlarda yozilishi mumkin. Uch o'lchovli va ikki o'lchovli bo'shliqlarda asosiy va intuitiv tushunarli raqamli ifoda vektor hisoblanadi.
Ayrim yoʻn altirilgan segment u¯(a; b; c) bor deb faraz qilaylik. 3D fazoda u¯ vektori istalgan nuqtadan boshlanishi mumkin, shuning uchun uning koordinatalari cheksiz parallel vektorlar to'plamini belgilaydi. Ammo, agar biz ma'lum bir nuqtani tanlasak P(x0; y0; z0) va qo'ying u u¯ vektorining boshi sifatida, bu vektorni ixtiyoriy haqiqiy son l ga ko'paytirib, fazoda bitta to'g'ri chiziqning barcha nuqtalarini olish mumkin. Ya'ni vektor tenglama quyidagicha yoziladi:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + l(a; b; c)
Shubhasiz, tekislikdagi holat uchun raqamli funksiya quyidagi shaklni oladi:
(x; y)=(x0; y0) + l(a; b)
Bu turdagi tenglamaning boshqalarga nisbatan afzalligi (segmentlarda, kanonik,umumiy shakl) yo'nalish vektorining koordinatalarini aniq o'z ichiga olganligidadir. Ikkinchisi ko'pincha chiziqlar parallel yoki perpendikulyar ekanligini aniqlash uchun ishlatiladi.
Segmentlarda umumiy va ikki oʻlchovli fazoda toʻgʻri chiziq uchun kanonik funksiya
Masalalarni yechishda baʼzan ikki nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasini maʼlum, oʻziga xos shaklda yozish kerak boʻladi. Shuning uchun bu geometrik ob'ektni ikki o'lchovli fazoda ko'rsatishning boshqa usullarini ko'rsatish kerak (oddiylik uchun biz ishni tekislikda ko'rib chiqamiz).
Umumiy tenglamadan boshlaylik. U quyidagi shaklga ega:
Ax + By + C=0
Odatda tekislikda toʻgʻri chiziq tenglamasi shu koʻrinishda yoziladi, faqat y x orqali aniq aniqlanadi.
Endi yuqoridagi ifodani quyidagicha oʻzgartiring:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Bu ifoda segmentlardagi tenglama deb ataladi, chunki har bir oʻzgaruvchining maxraji chiziq segmentining boshlangʻich nuqtasiga (0; 0) nisbatan mos keladigan koordinata oʻqida qancha vaqt kesishishini koʻrsatadi.
Kanonik tenglamaga misol keltirish qoladi. Buning uchun vektor tengligini aniq yozamiz:
x=x0+ la;
y=y0+ lb
Bu yerdan l parametrini ifodalaymiz va natijada olingan tengliklarni tenglashtiramiz:
l=(x - x0)/a;
l=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Oxirgi tenglik kanonik yoki simmetrik shakldagi tenglama deb ataladi.
Ularning har birini vektorga va aksincha aylantirish mumkin.
Ikki nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi: kompilyatsiya texnikasi
Maqolaning savoliga qaytish. Faraz qilaylik, fazoda ikkita nuqta bor:
M(x1; y1; z1) va N(x 2; y2; z2)
Ulardan yagona toʻgʻri chiziq oʻtadi, ularning tenglamasini vektor koʻrinishida tuzish juda oson. Buning uchun biz yo'n altirilgan MN¯ segmentining koordinatalarini hisoblaymiz, bizda:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Bu vektor tenglamasi olinishi kerak boʻlgan toʻgʻri chiziq uchun yoʻriqnoma boʻlishini taxmin qilish qiyin emas. M va N orqali ham o'tishini bilib, vektor ifodasi uchun ulardan istalganining koordinatalaridan foydalanish mumkin. Keyin kerakli tenglama quyidagi shaklni oladi:
(x; y; z)=M + lMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + l(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Ikki oʻlchovli fazodagi holat uchun z oʻzgaruvchisi ishtirokisiz ham xuddi shunday tenglikni olamiz.
Chiziq uchun vektor tengligi yozilishi bilan uni muammo savoli talab qiladigan boshqa istalgan shaklga tarjima qilish mumkin.
Vazifa:umumiy tenglamani yozing
Ma'lumki, (-1; 4) va (3; 2) koordinatali nuqtalardan to'g'ri chiziq o'tadi. Ulardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasini umumiy koʻrinishda, y ni x shaklida ifodalash zarur.
Muammoni yechish uchun avvalo tenglamani vektor ko’rinishida yozamiz. Vektor (yo‘riqnoma) koordinatalari:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
U holda toʻgʻri chiziq tenglamasining vektor koʻrinishi quyidagicha boʻladi:
(x; y)=(-1; 4) + l(4; -2)
Uni umumiy shaklda y(x) shaklida yozish qoladi. Biz bu tenglikni aniq qayta yozamiz, l parametrini ifodalaymiz va uni tenglamadan chiqaramiz:
x=-1 + 4l=>l=(x+1)/4;
y=4 - 2l=> l=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Olingan kanonik tenglamadan y ni ifodalaymiz va masala savoliga javobga kelamiz:
y=-0,5x + 3,5
Ushbu tenglikning haqiqiyligini muammo bayonida koʻrsatilgan nuqtalar koordinatalarini almashtirish orqali tekshirish mumkin.
Muammo: segment markazidan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq
Endi bitta qiziqarli masalani hal qilaylik. Faraz qilaylik, ikkita M(2; 1) va N(5; 0) nuqtalar berilgan. Ma'lumki, nuqtalarni tutashtiruvchi va unga perpendikulyar bo'lgan segmentning o'rta nuqtasidan to'g'ri chiziq o'tadi. Segmentning oʻrtasidan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasini vektor koʻrinishida yozing.
Istalgan sonli ifodani ushbu markazning koordinatasini hisoblash va yoʻnalish vektorini aniqlash orqali hosil qilish mumkin.segment 90o burchak hosil qiladi.
Segmentning oʻrta nuqtasi:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Endi MN¯ vektorining koordinatalarini hisoblaymiz:
MN¯=N - M=(3; -1)
Istalgan chiziq uchun yoʻnalish vektori MN¯ ga perpendikulyar boʻlgani uchun ularning skalyar koʻpaytmasi nolga teng. Bu rul vektorining noma'lum koordinatalarini (a; b) hisoblash imkonini beradi:
a3 - b=0=>
b=3a
Endi vektor tenglamani yozing:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + l(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + b(1; 3)
Bu yerda biz al mahsulotini yangi b parametriga almashtirdik.
Shunday qilib, segment markazidan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasini tuzdik.
